基于解釋結構模型的結構主義數學教學

張健

（廣東省高級技工學校 廣東 惠州 516100)

基于解釋結構模型的結構主義數學教學

張健

（廣東省高級技工學校 廣東 惠州 516100)

結構主義教學強調知識結構的重要性，運用解釋結構模型（ISM）來構建和分析知識結構的優勢是顯然的。本文通過數學教學實例展示了解釋結構模型在結構主義教學中的應用，為結構主義教學的實現提供了運用實例。

解釋結構模型；結構主義；數學教學；知識結構

所謂學科的基本結構，就是指學科的基本概念和原理之間的那種內在聯系并起普遍作用的知識體系。布魯納強調了學科知識結構的重要性。從布魯納的《教育過程》一書中可知：“不論選教什么學科，務必使學生理解學科的基本結構。”基于這一點，數學教師的教學設計必須從目標知識結構和現階段的學生知識結構出發。所謂目標知識結構也就是說學生的知識構建應該按該結構進行組織，這是我們的教學目標，而學生的知識結構，也就是現階段中學生實際掌握的知識點所呈現的拓撲結構。

結構主義數學教學的理論基礎

首先，結構主義方法最初是由瑞士語言學家索緒爾于20世紀初在語言研究中提出來的，自此以后，許多思想家爭相把結構主義方法與其他學科相結合，從而形成一股思潮。作為結構主義教育理論的代表人物布魯納就是一個結構主義者，他深受結構主義心理學家皮亞杰的影響。結構主義強調整體性，強調整體優于部分，強調關系等，而這些恰好屬于系統科學的范疇。所以，運用系統方法來探討結構主義教學的優勢是顯而易見的。

其次，為學生提供最佳理解的知識結構的前提是教師必須對知識領域的基礎結構充分了解，只有這樣才能合理地設計出適合學生認知水平的教學過程。教師的經驗為知識基礎結構的理解帶來一定的方向性，但是對形而上學主觀經驗的依賴也會導致對知識基礎結構理解的局限。布魯納指出了形而上學主觀經驗帶來的局限性：“按照反映知識領域基礎結構的方式來設計課程，需要對那個領域有極其根本的理解。沒有最干練的學者和科學家的積極參與，這一任務是不能完成的。”這個觀點是在1960年出版的《教育過程》（The Process of Education）中首先提出來的，以當時的條件確實缺乏一種量化的、直觀的方法去理解知識的基礎結構。同理，了解學生的知識結構同樣存在局限性，缺乏量化原則。目前，利用結構主義教育理論研究教學的文獻很多，但是很少運用一種量化的方法去探討結構主義教學。

從上面分析可知，探索結構主義教學需要一套量化的、直觀的系統方法。而解釋結構模型技術提供了這種方法。解釋結構模型技術是研究系統結構中最基本和最具特色的方法。通過解釋結構模型技術去構建知識的基礎結構更具有科學性和合理性，使教學更具效率。

利用解釋結構模型技術構建結構主義教學

ISM技術是美國J.N.沃菲爾教授于1973年作為分析復雜的社會經濟系統結構問題的一種方法而開發的。其基本思想是：通過各種創造性技術，提取問題的構成要素，利用有向圖、矩陣等工具和計算機技術對要素及其關系等信息進行處理，最后用文字加以解釋說明，明確問題的層次和整體結構，提高對問題的認識和理解程度。其基本工作原理如圖1所示。其中虛線部分是解釋結構模型的核心，理論性較強，計算量較大，需由計算機處理。

圖1 ISM工作原理圖

本文選擇了成人高考復習資料的代數部分進行分析，以此為切入點，探討利用解釋結構模型技術進行結構主義數學教學的方法。利用解釋結構模型技術進行結構主義教學共分三個階段：建立目標知識結構模型階段、了解學生知識結構模型階段以及分析學生知識結構中的缺失環節階段。

（一）構建目標知識結構模型階段

1.梳理知識點，確定系統結構要素。首先就要梳理知識點，確定結構要素，為理清知識點間的關系提供前提條件。參考2011年成人高等學校招生考試的數學考試大綱確定知識點，并給每個知識點編號，見下頁表1。

2.設定二元關系，建立鄰接矩陣。首先要強調的是該教學屬于復習性質，知識點與知識點的關系不是呈簡單的“鏈狀”關系，知識點與知識點之間是相互作用、相互影響的，是呈現網狀的拓撲結構。比如，數的認識為集合概念的掌握提供了前提；集合的概念又是函數概念學習的基礎；二次函數理解幫助一元二次不等式的求解；不等式的解法為求函數的定義域提供了可能，等等。為形成一個合理的ISM模型，首先就要理清各要素之間的關系，根據成人高考數學的實際情況，再運用解釋結構模型的方法建立鄰接矩陣。其中鄰接矩陣A的元素定義為：（1）當Si影響Sj時，值為1；（2）當Si不影響Sj時，值為0。鄰接矩陣A見表2。

表1 知識結構中的知識點表

表2 確定各知識點關系的鄰接矩陣A表

3.進行區域劃分和級位劃分，確定可達矩陣。設A為鄰接矩陣，M為可達矩陣，I為單位陣，滿足布爾運算規則，運用以下公式可求可達矩陣M：(A+I)k-1≠(A+ I)k=M。但是運用手工的方法進行計算時，計算量較大，這時可通過Matlab計算可達矩陣M。求出可達集R (Si)、先行集A(Si)，共同集C(Si)=R(Si)∩A(Si)，再進行區域劃分和級位劃分，發現各知識點區域不可分，而級位劃分為 L1={S4、S7、S9、S10}，L2={S6}，L3={S3、S5、S8}，L4= {S2}，L5={S1}。根據級位劃分后而得到的可達矩陣為M (L)，見表3。

表3 確定各知識點關系的可達矩陣M(L)表

4.提取骨架矩陣。求骨架矩陣過程為：（1）刪除強連接要素，由可達矩陣M(L)得到縮減矩陣M’(L)；（2）去掉M’(L)中的越級二元關系，得到新矩陣M’’(L)；（3）最后A’=M’’(L)-I（其中I為單位矩陣）。A’就是要求的骨架矩陣。在本系統中，S3、S5、S8為強連接關系，以S3為代表元素，刪除S5、S8所素得到縮減矩陣M’(L)。關鍵在于第二步，由于縮減矩陣M’(L)的階數為8，通過手工的方法去掉越級二元關系顯得很煩瑣。黃志同提供的思路是：“設M是無圈可達陣，我們對M中非對角線上的‘1’元素mij逐一檢驗，看它是基本元素還是誘導元素。若在M中去掉mij(即令mij=0)所得之矩陣S仍然屬于 [M]R類，則mij是誘導元素，若S不屬于[M]R類，則mij是基本元素。”這里所說的“無圈可達陣”就是剔除了強連接要素后得到的縮減矩陣；“誘導元素”就是指所代表的二元關系是越級二元關系；“基本元素”就是指所代表的二元關系是基本二元關系。其程序框圖如圖2所示。

圖2 求骨架陣的程序框圖

根據這一思想編寫出求骨架矩陣的Matlab程序，并求出骨架矩陣A’，見表4。

表4 確定各知識點關系的骨架矩陣A’表

5.繪制多級遞階有向圖D(A’)。根據求出的骨架矩陣A’，繪制出多級遞階有向圖D(A’)，見圖3。

圖3 構建目標知識結構模型圖

顯然，知識點應該按目標知識結構模型提供的拓撲結構進行構建的。

（二）了解學生的知識結構模型階段

如何做到了解學生的知識結構？殷文輝提供了測試學生知識空間的方法。但知識結構不等同于知識空間。高純和王睿智認為：“知識結構(Q,K)中，當K中的所有元素滿足對并運算封閉時，稱該知識結構為一個知識空間。”本文討論的重點是知識結構，而非知識空間。雖然如此，殷文輝提供的思路對于我們了解學生的知識結構還是相當有益處的。他提供的基本思想是知識點之間的二元關系可以通過回答題目來確定，如果被測試者回答正確，則說明被測試者掌握該二元關系；如果被測試者回答錯誤，則說明被測試者沒有掌握該二元關系。但是，他沒有詳細說明如何確定知識點之間層級關系，作者把該工作歸為由該領域的教師或課程專家來確定。其實，在級位劃分時已經確定了知識點之間的層級關系。

結合殷文輝提供的思路，再由解釋結構模型技術確定的知識點之間的二元關系進行設計題目，就可以測試出學生對各知識點二元關系的掌握情況。假設學生對各知識點之間的二元關系掌握情況用矩陣SA來表示，其中鄰接矩陣SA的元素定義為：（1）當學生掌握Si到Sj的二元關系時，值為1；（2）當學生沒有掌握Si到Sj的二元關系或知識點Si不影響Sj時，值為0。見表5。

表5 反映學生所掌握知識點之間的二元關系矩陣SA表

根據反映學生所掌握知識點之間的二元關系矩陣SA，繪出多級遞階有向圖D（SA）如圖4所示。

圖4 反映學生實際知識結構模型圖

（三）分析學生知識結構中的缺失環節階段

目前，我們得到兩個結構模型：一個是目標知識結構模型，即圖3，一個是反映學生實際的知識結構模型，即圖4。我們把這兩個模型進行對比，就可以發現學生知識結構中缺失了哪部分的環節。從上面的例子可發現，學生在第一級區域中，知識點S4和S7沒有掌握好，在第二級區域中知識點S6沒有掌握好，顯然知識點S7的缺失是由知識點S6的缺失所造成的。

結論

了解了學生知識結構中的缺失環節，教師就可以以此為根據進行課程設計，更好地構建學生的認知結構，提高教學效率。通過解釋結構模型技術實現的結構主義教學，確實比以往的結構主義教學更具科學性、合理性，更符合量化原則，更能貼近教學的實際需要。本人以數學教學為切入點，介紹解釋結構模型技術在結構主義教學中的應用，這有助于教師安排教學計劃、課堂設計，更使學生的知識結構呈層次化、條理化和系統化發展。

通過解釋結構模型技術實現的結構主義數學教學共經歷三個階段：建立目標知識結構模型階段、了解學生知識結構模型階段以及分析學生知識結構中的缺失環節階段。在建立目標知識結構模型階段中，反映要素之間邏輯關系的鄰接矩陣是通過討論、調查來確定的，因此鄰接矩陣的主觀依賴性比較強。在了解學生知識結構模型階段中，有一個環節是“由解釋結構模型技術確定的二元關系進行設計題目，就可以測試出學生對各知識點之間的二元關系的掌握情況”。由此，題目的設計也帶來較強的主觀性。這就為解釋結構模型技術在結構主義教學中的推廣帶來一定的不明朗因素。

[1]（美)布魯納.布魯納教育論著選[M].北京：人民教育出版社，1989：41.

[2]汪應洛.系統工程[M].北京：機械工業出版社，2008：40-54.

[3]金桂，劉德蔭.數學（文史財經類)[M].北京：北京教育出版社，2008.

[4]黃志同.解釋結構模型中的級劃分和骨架陣[J].華東工程學院學報,1982（4)：93-102.

[5]殷文輝.學生知識結構測試系統的設計與開發[D].呼和浩特：內蒙古師范大學，2009.

[6]高純，王睿智.知識空間理論析取模型下最小技能集的生成[J].計算機科學與探索，2010（12)：1109-1114.

[7]毛琦，馬冠中，宦強.解釋結構模型（ISM)法在教材分析中的應用實例研究[J].物理教師，2010，31（4)：5-7.

[8]何剛.博士學位論文評價系統的解釋結構模型研究[J].黑龍江高教研究，2010（6):55-56.

[9]丁旭.利用解釋結構模型構建網絡學習對象模型[J].福建電·腦，2010（2):173.

G712

A

1672-5727（2013）06-0113-03

張健（1981—)，男，在職碩士研究生，廣東省高級技工學校講師，研究方向為系統科學與數學教學。