高職工科專業數學教學中幾個典型案例的探討*

高建云

（天津職業大學基礎課部 天津 300410)

高職工科專業數學教學中幾個典型案例的探討*

高建云

（天津職業大學基礎課部 天津 300410)

本著加強高等數學知識和應用的聯系，針對高職工科專業高中生源的班級設計了幾個典型案例：sinθ≈θ與第一重要極限，無理數e與第二重要極限，誤差傳遞與微分，交流電的有效值與定積分。這些案例均從實際應用出發逐步過渡到知識的講授，期望有助于學生學習動機的激發和知識遷移能力的提高。

高職；工科專業；數學教學；典型案例

案例教學的必要性

當今社會經濟的迅速發展，要求勞動者具備很強的適應能力，能夠迅速地遷移所學的知識于新的環境中，能夠迅速地更新知識以適應新生行業或職業的要求。在此背景下，職業教育更加關注學生素質的全面培養，終身教育思想已成為職業教育的核心。高等數學作為學生整體素質培養的一個重要載體，作為學生理解專業概念和相關理論及計算的重要工具，在學生的整體培養中起著非常重要的基礎性作用。

在學生的認知中，不知高等數學有何用，只是聽說高等數學有用，或者只是因為開了高等數學課程必須學。在這種認知狀況下，學生很難做到積極主動的去學習高等數學，學習效率很低。對于數學的學習與應用的關系，數學家C.雷波特（Report，Cambridge）指出：在某種意義上，把數學的思考方式傳遞給我們智力工作的其余部分，就是數學的一個應用。當代著名數學家、教育家、沃爾夫獎獲得者H.惠特尼（Whitney，Hasselr）指出：“學數學意味著什么？當然是希望能用它……最好的學習就是用，并且古今皆知僅在你有自己的想法時才有真正的學習?！币虼?，在實際數學教學中適當運用與實際應用有關的教學案例，往往會獲得較好的教學效果。如通過微積分的學習，學生不僅可以直接體會到數學是確切表達科學思想的語言，而且可以了解到數學可以為許多重要科學問題提供答案。

高職工科專業高中生源班級的典型教學案例

教學案例是架起數學和應用之間的橋梁，是密切聯系數學與應用它的各學科的紐帶。適合學生實際情況的教學案例，既可以培養學生應用數學的意識，提高數學應用和知識遷移的能力，也可以調動學生學習的積極性，提高學習效率。下面列舉幾個可以在高職工科專業高中生源班級中使用的教學案例，這些案例可以讓學生體會到高等數學與其他學科的淵源，體會數學的基礎性和廣泛應用性。

（一）小角度時，sinθ≈θ與第一重要極限

當角度很小時，sinθ≈θ是在工程計算中經常采用的一個近似公式。角度很小是條件，結論是sinθ≈θ，用極限的觀點來說就是當θ→0，sinθ→θ，稍加變換為，把θ變為數學上更一般的自變量x就是數學上的第一重要極限，可見，第一重要極限就是其理論依據。由上述的分析可知，在課堂上可以從工程計算中常用到的近似公式sinθ≈θ引入第一重要極限的教學。學生肯定特想知道為什么，此時用單位圓簡單地證明一下。

如圖1所示，在單位圓中取∠AOB=x（弧度），，AC為切線，BD為△OAB的高。

由圖容易得知S△OAB＜S扇形OAB＜S△OAC，即：

圖1 第一重要極限證明示意圖

從函數的變化趨勢上分析，當x從零的右側趨近于零時，cosx的極限是1，常數1的極限也是1，所以的極限也應該為1。當x從零的左側趨近于零時，可令的極限為1，即。

綜上所述，當x趨向于零時，。

（二）無理數e與第二重要極限

e和π是常用的兩個無理數，與圓周率π易于理解不同的是，e常令人難以理解。e是一個奇妙的無理數，其值是2.71828……，在科學技術中一般不使用以10為底數的對數，而代之以e為底便可使許多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對數”，在人口增長、細菌繁殖、放射物衰變、冷卻定律、電路電流等很多場合都會出現e的身影。

e在微積分中常常出現，但它的誕生比微積分還要早上幾百年，它的出現很可能和計算利息有關。我們都知道復利計息的計息周期越短，本利和就越高。若計息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計息一次，甚至每秒或者每一瞬間（理論上來說），會發生什么狀況，本利和會無限制地加大嗎？答案是不會，它的值會穩定下來，趨近于一極限值，這一極限值就是e。因為當時還沒有極限的概念，所以，e的值很可能是觀察出來的。而復利計息的計息周期無限縮短，本利和的計算本就可以用數學的極限表示為所以我們可以用下面的案例引入第二重要極限的教學，用歸納和觀察得到第二重要極限。

例如，某顧客在銀行存入本金p元，n年后他在銀行的存款額是本金及利息之和。設銀行規定年復利率為r，試根據下述不同的結算方式計算顧客n年后的最終存款額。

（1）每年結算一次；

（4）當m趨于無窮時，結算周期變為無窮小，這意味著銀行連續不斷地向顧客付利息，這種存款方式稱為連續復利。試計算連續復利情況下顧客的最終存款額。

教師可用遞進的形式通過學生討論、歸納、適當提示的方式得到連續復利的極限表達式，然后通過觀察m取不同值時此函數的變化趨勢，畫出草圖，從圖上升華得到第二重要極限和自然常數e。

（三）誤差傳遞與微分

在實際實驗和測量中，對精密度較高且較易測量的量采用直接測的方法，對不易直接測量的量采用間接測的方法，即利用已知的函數關系通過對直接測量量的計算得到間接測量量。由直接測量量的誤差導致的間接測量量的誤差就是誤差傳遞。用數學的語言去分析可以這樣說：把直接測量量作為自變量，間接測量量作為函數，直接測量量的誤差可理解為自變量的微小改變，間接測量量的誤差認為是由自變量的微小改變導致的函數的改變量，這正是微分的含義。

為了使上述分析更易理解，可用下面的具體問題來引入微分教學：在生產實際中往往需要了解圓柱體的橫截面積，而橫截面積不易直接測量，直徑較易測量，我們已測得一根圓柱的直徑為43cm，并已知儀器的最大絕對誤差為0.2cm，那么，該圓柱橫截面積的絕對誤差與相對誤差分別為多少?

（四）交流電的有效值與定積分

在電機、電器上常會標有功率、電流、電壓的數字.如電機上標有xxKW，xxxV，在燈泡上標有xxW、220V等，這些數字表明交流電在單位時間內所做的功和交流電壓。但交流電流、電壓的大小和方向都隨時間作周期性的變化，怎樣確定交流電的功率、電流、電壓呢？

由于交流電隨時間做周期變化，電器上標注的功率是一個周期內的平均值。交流電雖然在不斷變化，但在很短的時間間隔內，可以近似地認為是不變的（即近似地看作是直流電），

因而在dt時間內對“i=i（t）”以常代變，可得到功的微元：

在一個周期的時間內吸收（消耗）的電能W可以用定積分表示為：

我國的生產生活用電的頻率是50Hz，周期為0.02s，所以1s內電壓的平均值為零，所以工程師標注

結語

本文針對高職工科專業高中生源的班級設計了幾個教學案例，體現了如何從應用到數學知識的過渡，可以在課堂上使用。由于高等數學教師多為數學專業出身，對于應用數學的學科背景不是很熟悉，微積分課程也多在大學一年級開設，學生的專業知識也不多，若案例涉及過多的專業背景會沖淡學生對數學基本概念和基本方法的掌握，所以，我認為案例按專業大類劃分即可，不必細分到學生所在的每一個專業。

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G712

A

1672-5727（2013）06-0116-02

高建云（1979—)，女，河北阜城人，碩士，天津職業大學基礎課部講師，研究方向為高職數學和物理教學改革。

天津市高等教育學會“十二五”教育科學規劃課題《網絡化共享型高職校本教學資源庫建設的研究與實踐——以高職數學校本教學資源庫為例》（項目編號：125y112)；天津職業大學“十二五”教育教學改革研究項目《高職數學教學案例的開發》