Cabri3D軟件在一節立體幾何課的輔助教學實踐

李彤

摘 要 Cabri 3D是三維幾何模型軟件，是高中立體幾何教學革命性的工具。其特點是可以制作非常逼真、生動的幾何體圖形，使用Cabri 3D，仿佛是進入了一個數學實驗室，可以對作出的幾何體隨意轉動，從不同的空間視角去觀察幾何體，使學生能產生深刻的印象，不僅大大降低了空間想象的難度，更重要的是可以促使學生形成敏銳的觀察力，對提高學生的空間想象力大有好處。

關鍵詞 Cabri 3D;立體幾何;輔助教學;實踐

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）29-0200-02

棱錐的外接球是近幾年高考的一個熱點和難點，筆者嘗試借助多媒體技術，以Cabri 3D軟件輔助教學設計了一節《棱錐的外接球問題》專題課，取得了令人滿意的效果。

一、教學內容

本課教學的主要內容是：通過例題與變式，研討求棱錐的外接球半徑的兩種常見方法：一、補形法;二、畫截面圖、勾股定理法。

二、教學流程圖

三、教學難點分析及突破

本課的教學難點是：1.棱錐外接球轉化為柱體外接球的空間想象。2.畫棱錐與外接球的截面圖，構造與球半徑有關的直角三角形。為了突破教學上的難點，本課對例題及其練習引入Cabri 3D軟件制作相應的幾何體（內嵌于PowerPoint課件中），對于補形法（方法一），主要是讓學生能夠想象復雜的幾何體的結構特征，并使學生能從不同的角度觀察，使形成直觀想象;對于畫截面、勾股定理法（方法二），則使學生能從不同的角度觀察其截面圖形。

四、典型例題及練習的教學策略：

（1）方法一：補形法求棱錐的外接球問題：

例1：三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為2 的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=2，則此三棱錐外接球的表面積為_______。

題目分析及教學策略：

本題的典型特點是“側棱垂直于底面”，適用方法是補形法，把三棱錐補成一個直棱柱，所以解決本題之前要有鋪墊，學生對長方體外接球問題要已有所了解，能求直棱柱外接球的半徑，為此，筆者設計了以下題組讓學生在上課前一天完成：

同時課堂上通過Cabri 3D軟件演示棱錐、直椎柱、外接球之間的內在組合體的結構，以下是設計的部分圖形，它們都是可以隨意轉動的幾何體。

此外，通過方法歸納環節，讓學生明確這一題型的方法特點，并結合以下的兩個變式題的鞏固及幾何體的多媒體展示，讓學生更好地把握和強化補形法：

變式1 已知球O的表面上有P、A、B、C四點，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，若PA=PB=PC=a，求這個球的表面積和體積。

變式2已知正四面體ABCD的棱長為a，求其外接球的半徑。

對于變式2，上課時設計的動態圖形是一個可以隨意轉動的正方體，里面有顏色的幾何體就是正四面體，通過演示圖形的自動旋轉，學生一下子就被吸引住了，清晰的結構展示，使得空間想象幾乎是毫無難度。

（2）方方法二：畫截面、勾股定理法求棱錐的外接球問題。

例2：在三棱錐P-ABC中，側面PAB垂直于底面ABC，△ABC與△PAB都是邊長為 的正三角形，求該三棱錐的外接球的表面積。

題目分析及教學策略：

本題特點是“面面垂直”，適用于方法二，即通過畫截面、使用勾股定理法。分別過△PAB和△ABC的外接圓圓心作垂線，得到交點就是球心，從而進一步使用勾股定理求出球的半徑。由于結構復雜，學生有限的空間想象力和作圖能力使得思考時會感覺比較困難，這時候，通過Cabri 3D軟件的作圖和對組合體多角度展示，無疑大大降低了難度。

同時課堂上也特別強調對例題的方法歸納，讓學生學有所獲，同時為了學以致用，再配以以下兩道相似題，做進一步地鞏固和強化訓練，效果還是很明顯的：

側棱PA與底面ABC所成的角為60o，則該三棱錐外接球的體積為（ ?）。

跟蹤訓練2.已知四棱錐P﹣ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD為等邊三角形，求球O的表面積。

五、教學反思

1.經過上課實踐，最大的感受是體會到Cabri 3D軟件在立體幾何的教學輔助作用非常明顯，不僅可以大大降低教學難度，使學生在突破空間想象上仿佛長了翅膀一樣，對于復雜的幾何體構造不再會感到很難想象，而且可以激發學生的學習興趣，在促進學生觀察力和空間想象力的提高上也非常有好處，經過很長一段時間，臨近期末的時候，仍有學生向筆者反饋：“超喜歡上這種課！”值得一提的是，Cabri 3D軟件的操作簡單，類似幾何畫板，數學教師很容易上手，特別適合立體幾何的教學，而且遠比幾何畫板好用，值得向數學同行們推廣。

2.本教學設計考慮內容的完整性，容量比較大，但由于使用了Cabri 3D軟件等多媒體技術，大大降低了教學難度，使得能在一節課完成主要內容，得到了聽課的本校和外校老師高度評價。當然，讓學生完全消化吸收恐怕不是一節課就能完成的， 所以還需要教師后續作鞏固、強化訓練工作。

3.Cabri 3D軟件的工作原理類似幾何畫板，但在立體幾何的應用上則比幾何畫板軟件功能強大很多，不僅提供了作立體幾何基本圖形的工具，如作直線、線段、向量、圓、平面、三角形、多邊形、圓柱、圓錐、棱錐、球體、長方體、正方體等等。還提供了常見數學作圖方法，如交點、垂直、平行、垂直平分、中點、中心對稱、軸對稱等等。作圖的時候，只需要按照數學的思考方式，從數學的角度思考，就能像搭積木一樣搭建圖形，構造出各種各樣復雜的幾何體圖形。當在操作上有疑惑時，隨時可以按F1調出幫助信息，使操作非常容易上手，是數學教師值得掌握的又一教學利器，特向廣大數學教師同行們推薦。

參考文獻：

[1]吳光潮.“模型+題組”，激活學生觀察能力[J].高中中學數學，2018（06）.