小學數學實物教學與圖形教學芻議

杜昕靜，伍 軍

小學數學實物教學與圖形教學芻議

杜昕靜，伍 軍

兒童數學學習是從實物和圖形這些具體可感的直觀教學上升到抽象思維的過程，即表象認識—抽象概括—回歸生活—運用提升。文章通過對小學數學實物與圖形的教學實踐相關問題的表征和析因，并在數學直觀教學中進一步探討增強學生經驗及實物與圖形教學的方略。

小學數學；實物教學；圖形教學

西方哲學家通常認為，“直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識”。M·克萊因認為，“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直覺上”。心理學家則認為，“直觀是從感覺的具體的對象背后，發現抽象的、理想的能力”[1]在小學數學教學中，要注重培養學生的數學直觀，有意識地利用實物與圖形等直觀教學手段，幫助學生實現從具體思維向抽象思維的過渡，把看似枯燥無味的數學課程變得生動、形象，從而提高教學效率。

一、實物教學與圖形教學：直觀教學的必然要求

實物教學是指借助與研究對象有著一定關聯的現實世界中的實際存在物，借助其與研究對象之間的關聯，進行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷的一種直觀教學方式。圖形教學是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀而進行的一種直觀教學方式。[1]從“實物教學”到“圖形教學”其實是在幫助學生進行數學化的過程，幾何與圖形的認識其實就是在實現“點—線—面—體”的過程。

在小學數學中進行實物教學與圖形教學對于兒童形成空間觀念有重要作用。根據兒童形成空間觀念的心理特點來說，兒童形成空間觀念是一個逐步發展的過程，總的來看，兒童的空間觀念的形成大致經歷了這樣幾個階段：具體（實物直觀，例如已被構造出來的實物模型）→半抽象（圖像抽象，例如用圖呈示的標準圖形）→抽象（概念抽象，在大腦中建立對象的本質屬性）。[2]在這個過程中，兒童（尤其是低年級兒童）對直觀的依賴較大，因此，在小學數學課堂中進行實物教學與圖形教學是十分必要的。

二、實物教學與圖形教學中教學實踐的問題表征

實物教學與圖形教學作為一種教學手段，是為學生掌握數學知識服務的。心理學上的信息加工理論認為，知識的獲得是由以下四部分組成的，即信息的獲得、加工、儲存和運用，[3]也可以理解為，信息的輸入、感知、加工和輸出。其中，感知是知識正確輸出的最關鍵的環節之一，實物教學與圖形教學就是使學生運用直觀材料感知數學信息的過程。

在小學數學課堂中運用實物教學和圖形教學受到越來越多的教師的重視，但是在實施的過程中，還存在以下問題。

（一）教學方法失當，使抽象到抽象

《義務教育數學課程標準 （2011年版）》（以下簡稱 《課標》）中 “圖形與幾何”的內容是所有內容標準中最多的，占50%。[4]“圖形與幾何”代表了第一、二學段和第三學段的側重點：在第一、二學段中主要是通過觀察、操作等直觀、整體認識圖形及其某些特征，并通過操作等加以確認；第三學段，則主要是從數學上細致刻畫基本圖形的基本性質，并通過邏輯推理加以證明。[5]即《課標》強調要先從整體上認識圖形再從局部了解圖形。在小學數學教學實踐中，有的教師教學強調先學習平面圖形，再學習立體幾何的知識，偏重數學的邏輯與抽象，忽視小學生合情推理的認知過程，往往這種教學取得的效果并不好。究其原因，我們認識一個立體圖形，首先要對它有一個整體的認識，然后才關注它的各個部分（平面圖形）；反過來當你關注了它的各個部分（平面圖形）以后，你再去整體認識這個立體圖形，你就會有一個更新的認識。

（二）實物圖展示過度，為直觀而直觀

在小學數學課堂中運用多媒體技術可以把復雜的數學知識轉化為直觀形象的數學知識。在實際的小學數學課堂中，有些教師過度利用多媒體展示大量實物圖，片面的追求形式的多樣化和直觀化，把教學僅僅停留在直觀演示上，使其偏離了數學的本質。比如，在教學三角形的認識中，教師往往利用多媒體展示大量實物圖讓學生觀察，幫助建立三角形的概念。但是學生通過觀察實物圖像建立起來的僅僅是三角形的表象，大量的實物圖并不能幫助學生建立準確的三角形概念。教師忽視了除去大量實物圖表象中的非本質的東西，不利于學生抽取表象中的本質內涵。

（三）圖形思考意識缺乏，抽象邏輯思維薄弱

在小學數學課中，教師容易囿于規范的幾何圖形，認為圖形是有形可視的，忽視了無形想象的圖形，硬性要求學生必須畫出圖來。教師缺乏圖形思考意識，僅僅把實物與圖形教學停留在幾何直觀中，忽視了學生從感性認識到理性認識，從經驗發展到理論的認知規律，不利于學生初步抽象邏輯思維的形成，阻礙學生數學品質的發展。

三、小學數學實物教學與圖形教學的實踐探索

數學學科不同于其他學科，它有一個顯著的特點，就是抽象性。人的理性認識過程是由思維的表象到思維的抽象，再由思維的抽象上升到思維的具體的過程。小學生的思維特點是，從以具體形象思維為主要形式向抽象性思維為主要形式過渡，他們的抽象思維在很大程度上還是直接與感性經驗相聯系的，帶有很大的具體形象性，所以在小學數學教學中要特別注意運用實物和圖形教學的策略。

（一）實物與圖形教學，相輔相成

在小學數學課堂中一般是實物教學到圖形教學，兩者相輔相成。比如，“圖形的認識”的編排順序是，感知立體圖形—辨認平面圖形—角和直角—長方形、正方形的認知—銳角和鈍角—認識線段、射線—角—相交和平行—認識平行四邊形和梯形—三角形—長方體和正方體—圓—圓柱—圓錐。[6]可見，實物教學和圖形教學具有一定的順序性，實物教學是圖形教學的基礎，圖形教學是實物教學的補充和延續，兩者相互聯系，缺一不可。教師要正確理解《課標》中從整體到局部認識圖形的意義，并在教學實踐中認識到實物教學和圖形教學的作用和重要性，樹立數學生活化意識。

1.注意培養學生直觀意識，促進抽象思維的形成。數學教學中的直觀是幫助學生從“具體形象”思維過渡到“抽象邏輯”思維的手段，是幫助學生理解抽象數學知識的工具，對于啟發學生的求知欲，發展學生的智力，培養和提高學生的抽象思維能力有著極其重要的作用和意義。

2.引導學生從生活中概括出基本圖形，提高學生探究能力。生活與數學的辯證關系是當今教育的熱點問題。《課標》更多地強調學生用數學的眼光從生活中捕捉數學問題，主動的運用數學知識分析生活現象，自主地解決生活中的實際問題。因此，在數學教學中應重視學生的生活體驗，把數學教學與學生的生活體驗相聯系，把數學問題與生活情境相結合，讓數學生活化，讓生活數學化。[7]學生在具體的生活情境中學數學，并完成如下的數學課堂教學過程：生活問題—數學問題—數學模型—數學問題—生活問題。

3.引導學生通過圖形與幾何的教學，培養學生空間想象能力。實物與圖形教學是幾何直觀的一部分，幾何直觀首要的是學習如何用圓（圈）或三角形等幾何圖案去替代實物，畫出所述情境的示意圖來。這個描述題意的過程，關注的是幾何圖案與具體實物間的一一對應。從實物圖到示意圖，學習的是用幾何圖形去表征數量的多少。借助圖形直觀的把握數學對象，進行數學思考，把研究“對象”抽象成“圖形”，再把“對象之間的關系”轉化為“圖形之間的關系”，這樣就把研究的問題轉化為“圖形的數量或位置關系”的問題，進行思考分析，[8]通過圖形與幾何的教學，培養學生空間想象能力。因此，實物與圖形教學強調的是三維與二維的轉化，即從立體轉換到平面，反過來再由平面轉換到立體。

（二）實物與圖形教學與現代信息技術有機結合

在小學數學課堂中運用多媒體技術可以把復雜的數學知識轉化為直觀形象的數學知識。但是直觀本身不是目的而是手段，是為了形成學生的生動表象并借以形成概念，促進抽象思維的發展。如果過多過濫地使用直觀教學手段解決簡單問題，那就是為直觀而直觀，會降低對學生抽象思維能力的培養要求，而且會把簡單的教學過程復雜化，從而降低了教學效益。

針對這個問題，我們可以從以下幾點，促進實物與圖形教學和現代信息技術相結合。

1.運用直觀教學，提高學生學習興趣。數學知識比較抽象，小學生年齡比較小，缺乏生活經驗，會覺得學習很困難。因此，我們在數學教學中，可以運用多媒體技術，把復雜的數學知識轉化為直觀形象的數學知識，形成直觀的圖形。比如，在教授關于角的概念時，可以利用多媒體技術，引導學生觀察一些實物，三角板，五角星等，讓學生從這些實物中感悟角的概念。教師要在教學過程中要通過示范、引導的方式，啟發學生用圖形來學習相關概念，激發學生思考，最大限度地調動學生的積極性和主動性。

2.運用直觀教學，促進學生對數學知識的理解。引導學生學會從具體活動過渡到抽象思維。實現這個過渡,要有適當的順序,要求過高,不注意依靠直觀現象,學生對抽象的概念就不能理解和掌握;過于依賴直觀形象,學生就不會運用概念進行思維。在處理具體活動與抽象思維的關系上，我們按照“實物模型—圖式—數式”的程序安排。[9]

3.運用直觀教學，幫助學生發現數學規律。教師要適度運用多媒體進行實物教學與圖形教學，幫助學生在直接觀察的基礎上除去非本質的東西，抽取其本質內涵；利用直觀的手段，在加強直觀演示的基礎上，幫助學生歸納出事物本質特征及數量關系，發揮多媒體實物教學和圖形教學的優勢，幫助學生由具體形象思維到抽象思維的轉化；適時的將實物教學和圖形教學與多媒體技術結合起來，使其發揮最大功效。

（三）實物與圖形教學，具體與抽象的轉化

數學教育中抽象思維能力的發展，關鍵在于來自具體而又不為具體所局限。數學教師應該根據數學理論體系的抽象層次和結構，幫助學生構造抽象思維的思想基礎，自覺實現抽象和具體層次的相互轉化，使抽象思維不斷由低層次向高層次發展，在這個過程中訓練學生的抽象思維能力。

1.實物與圖形教學，促進數學邏輯思維的形成。在實物與圖形直觀的、經驗的表征中，讓學生明白數學關系的理解和表述受感性直觀或特定原型的影響，并夾雜一些非本質的成分。數學探索往往從一些經驗性問題開始，積累有關數學概念及其關系的原始線索，從中追尋規律性的東西。邏輯思維的作用是把零散的經驗性材料組織起來，構成理論的雛形，幫助建立理論系統的框架，把所有的經驗性材料加工成一個嚴格的演繹系統。

2.引導學生突破“具體”的局限，由經驗上升到抽象思維在自然科學和社會科學研究中，一般的過程是從感性認識發展到理性認識，從經驗發展到理論。實物與圖形教學也是由具體到抽象的過程，它提供數學認識活動的生動素材，供邏輯思維加工，形成思想成果，擴大人們的認識領域，使整個數學理論體系不斷發展壯大，呈現勃勃生機。[10]

3.注意培養圖形思考意識，提高邏輯思維能力。圖形與實物教學的本質是憑借圖形進行數學思考，不必囿于規范的幾何圖形，要杜絕為了直觀而直觀，把幾何直觀反而變成了麻煩，只要學生能順暢思考，可以不必硬性要求學生必須畫出圖來。[8]教師要善于培養學生從實物和圖形等感性的具體表象出發，通過思維活動分析出各種孤立的、抽象的數學本質，提高邏輯思維能力。

總之，實物直觀和圖形直觀是影響小學生數學發展的重要因素之一，教師要深化直觀教學意識，恰當運用直觀教學策略，借助恰當的圖形、直觀的模型，揭示數學對象的性質和關系，促進學生良好的抽象思維品質的形成。

[1]孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義及表現形式[J].課程·教材·教法,2012（7）:93

[2]楊慶余.小學數學教學研究[M].北京:中國廣播電視大學出版社,2004

[3]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京:北京師范大學出版社,2002:135

[4]康玥媛，曹一鳴.中英美小學和初中數學課程標準中內容分布的比較研究[J].課程·教材·教法,2013（4）:120

[5]劉鳳翥.我看義務教育數學課程改革[J].課程·教材·教法,2013（3）:54

[6]范文貴.小學數學教學論[M].上海:華東師范大學出版社,2008

[7]楊九俊.小學數學課堂診斷[M].北京:教育科學出版社,2006:68

[8]蔡宏圣.幾何直觀：小學數學教學的視角[J].課程·教材·教法,2013（5）:111

[9]陳國盛.小學數學的啟發式教學[J].課程·教材·教法,1985（4）:89

[10]徐利治，王前.數學與思維 [M].遼寧:大連理工大學出版社,2008:28,63,137

責任編輯：姚 旺

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1671-6531(2013)20-0086-02

新疆師范大學人文社會科學重點研究基地新疆兒童發展與教育研究中心基金資助

杜昕靜/新疆師范大學初等教育學院在讀碩士（新疆烏魯木齊 830054）；伍軍/新疆師范大學初等教育學院副教授，碩士生導師（新疆烏魯木齊 830054）。