關于泛函分析教學方法的研究

呂美英

呂美英/重慶師范大學數學學院講師，博士（重慶401331）。

泛函分析是從變分法、積分方程、微分方程、逼近論和理論物理的研究中發展起來的一個數學分支，它綜合地運用分析、代數和幾何的方法，研究無限維線性拓撲空間和這類空間之間各種映射的一般性質。改革開放以來，全國眾多高等院校為數學專業的本科生和理工科研究生都開設了泛函分析課程，并且泛函分析已經成為數學專業本科生學習分析學的一門重要的基礎課程，國內外許多著名的數學家也編著了泛函分析教材。泛函分析課程綜合了代數、分析、幾何的觀點和方法，所涉及的內容和技巧對數學專業各研究方向都極其重要。但由于該課程的高度抽象性，國內外普遍存在難教難學的問題。筆者承擔了重慶師范大學研究生一年級的泛函分析的教學任務，現從優選教材、優化內容；做好與數學分析、實變函數等基礎課程的銜接；充分利用直觀形象的教學手段；注重習題的訓練；以及以培養學生創新精神為目標，積極開展科研活動等五個方面，就如何教好泛函分析課程進行闡述如下。

一、選擇適合教學對象的教材，合理安排教學內容

最近幾年，隨著各個高校本科生、研究生的擴招，以及學生地域性、受教育程度的不同，致使學生數學基礎參差不齊；同時，有的高校不斷擴充公選課的數量與課時，增加學生參加社會實踐的時間，致使泛函分析的課時大大減少。在這樣的雙重矛盾下，教師必須選擇適合自己教學對象的教材才能達到良好的教學效果。教材過于簡單、容易，學生學之甚少，不利于人才的培養；教材內容過多、過深，學生則很難消化，不利于泛函分析理論體系的掌握。目前，在全國高校中使用最多的有以下四本教材：復旦大學夏道行等編的《實變函數與泛函分析》下冊泛函分析部分，這本書出版時間較長，內容較為豐富，包含了泛函分析的許多研究專題；華東師范大學程其襄等編著的《實變函數與泛函分析基礎》泛函分析部分，該書以精簡的方式介紹了泛函分析的核心內容，直觀易懂與嚴密處理相結合，本教材注重師范性與泛函分析科學體系的統一性，是目前師范院校廣泛采用的泛函分析教材；武漢大學劉培德編著的《泛函分析基礎》，該書是國家理科基地教材之一，本教材著意較強基礎理論的講解，在突出基本理論框架的同時有重點地介紹了對于其他學科的應用，以簡短的篇幅敘述泛函分析的基本理論，并以適當的深度挖掘其中的思想和方法，是一本適合學生基礎較好且課時數較多的情況下使用的教材；北京大學張恭慶等編著的《泛函分析講義》，該書系統介紹了線性泛函分析的基礎知識，他側重于分析若干基本概念和重要理論的來源與背景，強調培養學生運用泛函分析方法解決問題的能力，并注意介紹泛函分析理論與數學其他分支的聯系，是適合理工科本科生與研究生使用的一本教材。

在選好教材的同時，也要注重教學內容的安排，要明確哪些內容要講或者不講，哪些內容精講或者略講。就以程其襄等編著的《實變函數與泛函分析基礎》為例，如果課時數量較少，可只介紹度量空間、Banach空間和Hilbert空間；而在課時數量稍多的情況下，可講解線性泛函和線性算子的重要定理；如果能達到50學時以上，可介紹全部內容。

二、注意與數學分析、事變函數等基礎課程的銜接

泛函分析的基礎建立在集合的兩種結構之上，一種是代數結構即線性結構，另一種是拓撲結構。泛函分析與經典分析、線性代數、復變函數、實變函數、微分方程等基礎課程有著密切的關系。例如，在實變函數中，我們接觸過的有界變差函數類、絕對連續函數類、滿足Lipschitz條件的函數類以及有號測度類等，都可以賦以適當的范數使之納入賦范空間的框架。在經典分析中，我們知道函數是數集與數集之間的對應關系，而泛函則是函數集與數集之間的對應關系，算子是函數集與函數集之間的對應關系。在數學分析中，我們有Cauchy列必收斂。但這一論斷在抽象空間中并不成立，造成這一現象的原因在于這些抽象空間中的點“不夠多”，由此引出了Banach空間的概念。又如，在數學分析中，我們有Bolzano-Weierstrass定理即有界數列必存在收斂子列，而這一定理在無限維抽象空間中也不成立，由此導出了緊集的概念。

可見，泛函分析與數學基礎課程之間有著密切的聯系，所以要做好與數學分析、實變函數等基礎課程的銜接，使泛函分析中基本概念與基本理論的教學更透徹易懂。

三、充分利用直觀形象的教學手段

泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化，而且還把這些概念和方法幾何化。例如，不同類型的函數可以看作是“函數空間”的點和向量，這樣最后得到了“抽象空間”這個一般的概念，它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數空間。又如，泛函分析中的凸集隔離定理，又稱為Hahn-Banach定理的幾何形式，它在規劃論、控制論與Banach空間幾何理論等方面都有重要的作用。對于該定理，我們首先考慮平面的情況，若，是平面上的兩個不相交凸集，我們一定可以用一條直線將兩者隔離開來。同樣地，對于三維空間中的兩個不相交凸集可以用一個平面來隔離。推廣到一般的線性空間就是我們的凸集隔離定理，事實上對于一般線性空間的兩個凸集是用超平面隔離開來的。

由于泛函分析的許多結論都是來源于古典分析，因此，在許多情況下，我們以平面上的情形代替，這雖不準確但也能很好地說明問題，并且這要比空間中的模型簡單許多，提高了講授效率。

四、注重習題的訓練

學數學從某種程度上說就是做數學。對數學工作者而言，無論是學習還是研究，保持對數學問題的濃厚興趣最重要，在數學學習中要不斷嘗試解題，屢遭挫折是正常的，有時雖未獲得解決，但嘗試解題過程本身加深了對基本概念與基本理論的理解，是提高能力的正確途徑。所以，教師應適當地補充一些習題，供學生練習。讓學生對學習到的知識進行強化，從而達到保存知識的目的，否則學生不可能掌握這類問題，更不可能利用這種理論去解決實際問題，學生將越學越怕這門學科。

五、積極開展科研活動，培養學生的創新精神

在泛函分析的教學中，結合課堂教學內容，引導學生將所學理論應用于其他課程中，這會使學生增強獨立思考的勇氣和信心，培養學生的創新能力。例如，在學習了共鳴定理、開映射、閉圖像以及Hahn-Banach定理之后，可以試著引導學生將這些定理應用到Fourier分析，微分方程適定問題、逼近論以及近似計算等方面，寫成應用型的小論文。又如，在學了Banach不動點定理之后，可以指導學生，收集更多不動點定理的理論，比如，Brouwer不動點定理、Schauder不動點定理以及Kakutani不動點定理等，并找出實際的例子加以應用，最后寫成綜述型的小論文。這樣不僅可以增加學生學習泛函分析的興趣，同時可以培養學生的論文寫作能力與技巧，為畢業論文的寫作以及進一步的深造打下基礎。

總之，在規定課時的情況下，盡量優選教材、優化內容，做好與數學分析、實變函數等基礎課程的銜接，充分利用直觀形象的教學手段，并以培養學生創新精神為目標，注重習題的訓練，積極開展科研活動，可以提高泛函分析教學的質量與成果。

[1]劉培德.泛函分析基礎[M].北京：科學出版社，2006

[2]夏道行，吳卓人，嚴紹宗等.實變函數論與泛函分析（第二版）下冊[M].北京：高等教育出版社；1985

[3]謝永安，黃文韜.研究生泛函分析課程教學探討[J].信息系統工程，2010，（5）

[4]徐西安.泛函分析教學方法探討[J].高等數學研究，2008，11（1）：73-75