基于Matrix Pencil的低頻振蕩辨識及PSS優(yōu)化配置研究

張軍財 金 濤

（福州大學電氣工程與自動化學院，福州 350108）

電力系統(tǒng)低頻振蕩的傳統(tǒng)分析方法是建立在小干擾穩(wěn)定分析基礎上的，在平衡點線性化處理得到近似的狀態(tài)空間方程，繼而求解系統(tǒng)矩陣的特征值。互聯(lián)的電力系統(tǒng)無疑是龐大而復雜，為高階系統(tǒng)，參數(shù)繁多。因而，建立準確的數(shù)學模型并求解高維數(shù)的系統(tǒng)矩陣無疑是非常困難的[1]。基于辨識的振蕩模態(tài)識別方法能夠直接從系統(tǒng)輸出的受干擾軌跡的信號中提取系統(tǒng)的模態(tài)信息。

PSS抑制電力系統(tǒng)低頻振蕩是目前公認的最為經(jīng)濟的，有效一種手段[2]。在PSS優(yōu)化設計過程中除了PSS參數(shù)設計重要外，PSS的地點配置亦是一個重要課題[3]。在實際電力系統(tǒng)中每臺機組都安裝PSS是不現(xiàn)實的，而且過多的控制器之間也有可能產(chǎn)生耦合效果，會降低控制效果。因此，研究如何在復雜多機系統(tǒng)的低頻振蕩中PSS的優(yōu)化配置是有意義的，為合理的安裝PSS阻尼控制器提供指導，提高電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在多機電力系統(tǒng)的低頻振蕩中，通常認為對其中參與振蕩主導模態(tài)的發(fā)電機組安裝PSS進行控制。

在對PSS配置地點的問題研究中，通常是基于特征值分析法的基礎上，對系統(tǒng)矩陣以及控制和輸出矩陣進行一定的變化，分解出主導振蕩模態(tài)在各輸出量上可觀性向量和控制量上的可控性向量。此類方法有最早的右特征向量法[4]，以及后來發(fā)展而來的參與因子法等[5-6]。然而特征值分析是需對電力系統(tǒng)進行建模前提下進行的，這必須要有所研究的電力系統(tǒng)的完備的參數(shù)以及復雜而處理、計算，顯然不太現(xiàn)實。文獻[7]提出用傳遞函數(shù)留數(shù)進行PSS和SVC的選址方法，無需對電力系統(tǒng)建模，能定量評價系統(tǒng)狀態(tài)變量的可控性和可觀性指標。

在給定的已知干擾信號情況下，本文研究了基于Matrix Pencil算法的建立系統(tǒng)低階近似傳遞函數(shù)，并對建立的系統(tǒng)低階近似傳遞函數(shù)輸出與仿真系統(tǒng)輸出對比驗證該方法的有效性。并在此基礎上，對系統(tǒng)傳遞函數(shù)基于SVD分解分析系統(tǒng)各輸出和輸入量對電力系統(tǒng)的主導振蕩模態(tài)的影響，找出對主導振蕩模態(tài)能觀性顯著的輸出狀態(tài)量，和對主導振蕩模態(tài)能控性顯著的輸入量，從而找出最適合的PSS安裝機組，對分析結果進行仿真試驗驗證其有效性。

1 基于Matrix Pencil的傳遞函數(shù)辨識

對于一個單輸入單輸出的線性時不變系統(tǒng)，輸入輸出滿足如下關系：Y( s)為輸出，G( s)為傳遞函數(shù)，I( s)為輸入。

因為是線性時不變系統(tǒng)，傳遞函數(shù)G( s)可寫成含特征值和對應留數(shù)的形式，如下：

式中，jλ為系統(tǒng)特征值，Rj對應的留數(shù)。

對于輸入I( s)，可給予如下特定特征的信號，由一系列延遲信號相加而成，表示如下：

式中，D0=0，λn+1輸入信號特征值，Dk為延遲信號時間常數(shù)，ck延遲信號的幅值。

則輸出Y( s)根據(jù)是式（1），求得為

按部分式展開得：

其中：

對Y( s)進行拉普拉斯變換，

在t≥Dk時，輸出信號y( t)可以簡化為下式：

對輸出信號，可以利用Matrix Pencil算法對獲得的輸出數(shù)據(jù)進行低頻振蕩辨識分析，求得各振蕩模態(tài)的振蕩頻率、阻尼系數(shù)、振蕩幅值和相對相位等有關信息。

將辨識得到的輸出信號與式（8）對比，得

因此，傳遞函數(shù)留數(shù)Rj則據(jù)下式可求：

在本文中對于輸入信號I( s)，令 λn+1=0，c1=-c0，ck=0 （ k = 2 ,3,…） 。所以輸入信號簡化為I(s)=

2 奇異值分解分析PSS優(yōu)化配置

n×n的多輸入多狀態(tài)變量輸出之間的傳遞函數(shù)有如式（12）成立

對傳遞函數(shù)進行奇異值分解如下：

U(s)=[U1( s), … ,Un(s )]為G(s)奇異值分解后左奇異值向量，V(s)=[ V1( s) ,… ,Vn( s )]為右奇異值向量，且滿足

Λ(s) = diag (Λ1(s ),… ,Λn(s ))為G(s)奇異值分解得到的奇異值矩陣。

如此，左右奇異值向量則構成n維狀態(tài)輸出空間與n維輸入空間的標準正交基，Λ(s)則是輸入向量和輸出狀態(tài)在各自的酋空間中的各對應坐標值之間的增益。

在低頻振蕩中，只考慮低頻振蕩主導振蕩模態(tài)i，其振蕩頻率 w ，將s=jw帶入G(s)得G(jw)，得到的G(jw)即為主導振蕩模態(tài)的矩陣。對G(jw)進行奇異值分解如下：

式中，Λ(jw)是由G(jw)的奇異值構成

且滿足有關系：

U(jw)和VT(jw)則為對應于G(jw)的左、右奇異值向量。

若abs(σ1(j w))? abs(σ2(j w))

則有：

U1(j w)反映了輸出狀態(tài)量x對模態(tài)i的能觀性，反映了輸入量對模態(tài)i的能控性。

3 仿真實驗分析

3.1 求辨識傳遞函數(shù)

對于如圖1所示的4機2區(qū)域系統(tǒng)，對機組1的勵磁參考電壓在1s時刻施加幅值為0.05，持續(xù)時間為0.1s的方波脈沖干擾，則輸入信號拉普拉斯變換為I( s)=。用Matrix Pencil方法分別對干擾消失后的 4機轉速變化曲線擬合求取y(τ)。求出的信號極點如圖2所示，從此圖可以看出有一對極點在復數(shù)圖的右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖1 4機2區(qū)域電力系統(tǒng)

圖2 信號極點分布圖

根據(jù)前文中的方法求取低階近似辨識傳遞函數(shù)，取4階近似。分別以G11、G12、G13、G14表示以機 1的勵磁參考擾動電壓為輸入，4臺發(fā)電機的轉速變化為輸出建立的傳遞函數(shù)。表1給出了辨識傳遞函數(shù)的參數(shù)，Num、 Den分別為傳遞函數(shù)分子、分母。

表1 機1的勵磁參考擾動電壓為輸入，4機的轉速變化為輸出的傳遞函數(shù)

將求得的辨識傳遞函數(shù)給以的輸入和系統(tǒng)對于4機2區(qū)域系統(tǒng)的機組1的勵磁參考電壓給以的輸入一樣：在 1s時刻受到幅值為 0.05，持續(xù)為 0.1s的方波脈沖干擾信號輸入，然后對比輸出如圖3所示。從圖3可以看出，降階辨識傳遞函數(shù)的輸出與4機 2區(qū)域系統(tǒng)的轉速變化輸出基本一致。在開始受到干擾的時刻出時段，輸出誤差比較大，原因是辨識傳遞函數(shù)是降階的擬合，忽略掉了不是弱阻尼的振蕩模式，在干擾后一段時間（4～5s后），擬合度越來越好，原因是弱阻尼振蕩模式衰減較快，經(jīng)過一段時間衰減到很小。

圖3 辨識傳遞函數(shù)輸出與4機2區(qū)域系統(tǒng)輸出比較

用同樣的方法，分別以機2、3、4的勵磁參考擾動電壓為輸入，4機組的轉速變化為輸出求取低階近似辨識傳遞函數(shù)，建立4×4的多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

3.2 SVD分解分析PSS配置

用 Matrix Pencil分析輸出干擾軌跡得到振蕩主導模態(tài)的角頻率w=2×pi×0.65rad/s。圖4是4×4低階近似辨識傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線特性曲線，從圖4也可以看出系統(tǒng)的在角頻率w=4.095rad/s附近最大。

圖4 4×4傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線

基于SVD分解主導振蕩模態(tài)的矩陣G(jw)可得到Λ(jw)、、分別如下：

Λ( jw)=diag(1.1555, 0.1198,0.0947,0.0170)

左奇異向量

右奇異向量

對應于最大奇異值，從左右奇異值向量分別取絕對值后的第一列，可以看出，機3的主導模態(tài)的能觀性最好，機2的主導模態(tài)的能觀性最差；機4的主導模態(tài)的能控性最好，機1的主導模態(tài)的能控性最差。本文的 PSS的反饋信號采用各自的機組轉速變換信號，因此將左右奇異向量點乘取絕對值，并除以向量中最大的值，得[0.5936,0.4254,0.9626,1]。從該向量可以看出配置PSS效果好的機組是機3、4，效果差的是機1、2。

對上述分析結果進行仿真驗證。分別在機1、2、3、4上單獨裝設以各自的轉速變化為輸入的PSS控制器。PSS采用IEEE標準的單通道PSS模型，結構框圖如圖5所示，包含放大環(huán)節(jié)、隔直環(huán)節(jié)、兩個相位補償環(huán)節(jié)和限幅環(huán)節(jié)四個環(huán)節(jié)。本文實驗設計PSS參數(shù)采用留數(shù)法設計，得到的各機PSS參數(shù)見表2。

圖5 IEEE單通道PSS模型

表2 4機PSS的參數(shù)表

實驗條件則仍在機1上施加小脈沖干擾，1s時刻受到幅度為0.05，持續(xù)時間為0.1s勵磁電壓干擾信號，觀察其各自抑制振蕩效果。圖6是顯示的是聯(lián)絡線上功率振蕩曲線圖。從圖6中的PSS效果可以看到，在機4上裝設PSS效果最好，其次是機3，機1、2效果不好，不能很好地抑制區(qū)域間振蕩。說明基于 SVD分解法的能夠定量地分析多機系統(tǒng)中各機組參與振蕩主導模態(tài)的程度，并據(jù)此配置 PSS是實現(xiàn)低頻振蕩抑制是合理的。

圖6 不同PSS配置點下的聯(lián)絡線上功率振蕩曲線

電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行一般要求系統(tǒng)阻尼比不小于0.05，大約5個周波振蕩要衰減至很小。考慮到機3、4參與區(qū)間振蕩模式程度深，于是在機3、4裝PSS并設計好參數(shù)。仿真運行比較無PSS、全部裝PSS，機3、4裝PSS聯(lián)絡線功率振蕩曲線如圖7所示。從圖可知在機3、4上裝可以抑制低頻振蕩，滿足穩(wěn)定運行的要求。

圖7 不同PSS配置點下的聯(lián)絡線上功率振蕩曲線

4 結論

本文通過基于Matrix Pencil方法的傳遞函數(shù)辨識，并對建立的系統(tǒng)低階近似傳遞函數(shù)，并與4機2區(qū)域系統(tǒng)輸出對比，結果驗證該方法能準確地得到系統(tǒng)低階近似傳遞函數(shù)模型；并在此基礎上，對系統(tǒng)傳遞函數(shù)基于SVD分解方法分析了多機系統(tǒng)PSS優(yōu)化配置，并實驗仿真分析結果說明基于SVD分解方法的多機系統(tǒng)PSS優(yōu)化配置是可行有效的。

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