●曹鴻德 沈新權 (嘉興市第一中學 浙江嘉興 314050)

本文通過對2個非線性遞推數列問題的求解，探討非線性遞推數列與二階線性遞推數列之間的關系，探究一些二階遞推數列的命題是如何構造而成的，并由此討論如何通過構造二階線性遞推數列來解決遞推數列問題，希望能夠給讀者帶來一些啟發.文中的命題都選自高中數學競賽和高校自主招生考試試題.筆者假定本文的讀者已經掌握了如下的基本知識：

定義 二階線性遞推數列{an}滿足：初始項a1，a2為已知，且

則稱方程x2=px+q為數列{an}的特征方程，方程的2個根稱為特征根(特征根可以是共軛無理根，也可以是共軛虛根);稱數列{an}是由特征方程導出的二階線性遞推數列.

定理設二階線性遞推數列(1)的特征方程x2=px+q的2個特征根為 x1，x2，

其中待定系數 λ1，λ2由初始項 a1，a2確定.

1 分式非線性遞推數列與二階線性遞推數列間的相互轉換

例1 設數列{an}滿足：a1=a2=1，且

試問數列{an}是否是整數列?若是，請給出證明;若不是，試說明理由.

證法1 先來看參考書上的一般解法.

式(6)-式(5)(目的是消去常數2)，整理得

由式(1)可知an≠0(n∈N*)，故上式可化為

用數學歸納法容易證明數列{an}是整數列(略).

注證法1較為簡潔，但這樣的證法是如何得到的呢?為此筆者作了如下探索.

證法2 式(4)是二階非線性遞推數列，由證法1可猜想它等價于一個二階線性遞推數列(非線性的可以轉化為線性的).由a1=a2=1以及式(4)，得

根據二階線性遞推數列的定義，設

用 a3=3，a4=11 代入，得

用a5=41，a6=153代入適合.于是猜想，當n≥3時，

恒成立.下面用數學歸納法證明.

歸納法的奠基成立.假設當n≤k(k≥3)時，式(7)成立，則當n=k+1時，由歸納假設以及式(4)，得

即當n=k+1時式(7)仍成立，故對一切n≥3的自然數n，式(7)恒成立.

因為a1=a2=1，所以由式(7)可用數學歸納法再證明數列{an}是整數列，并且可進一步證明數列{an}是正奇數列：這是因為a1=a2=1為奇數，an≡ -an-2(mod2).

注證法2同樣完成了對例1的證明，接下來筆者關心的是例1是如何構造出來的?能否從a1=a2=1，an=4an-1-an-2(n≥3)構造出例1?

把λ1，λ2的值代入就得到數列{an}的通項公式.

由假設可知anan-2和a2n-1的展開式都是關于x1，x2的齊2(n-1)次表達式，它們之間有某種聯系嗎?事實上，

兩邊除以an-2，得

這樣，就構造了例1.這一構造過程揭示了二階線性遞推數列與它的特征方程、特征根之間的關系.綜上所述，得到以下等價命題：

即例1是數列(7)的逆命題，例1把背景抽掉后很隱蔽，也給解題帶來一定的難度.

2 數列不等式與二階線性遞推數列之間的相互轉換

例2 數列{an}滿足：a1=2，a2=7，且

求證：當n≥2時，an是奇數.

把a1=2，a2=7代入，依次得到

根據二階線性遞推數列的定義，設

把 a3=25，a4=89 代入，得

又a5=317代入是適合的.于是猜想：對于數列{an}滿足

對一切n≥2的自然數n成立.下面用數學歸納法證明.

歸納法的奠基成立，且a2＞2a1.假設當n≤k(k≥2)時，ak+1=3ak+2ak-1以及 ak＞2ak-1＞0 成立，則當n=k+1時，由已知

若能證明

即當n=k+1時，ak+2=3ak+1+2ak成立，故對一切n≥2的自然數 n，an+1=3an+2an-1成立.

接下來要證明式(12)成立.由歸納假設，得

成立.即當 n=k+1時，ak+2=3ak+1+2ak以及ak+1＞2ak＞0成立，故對一切 n≥2的自然數 n，an+1=3an+2an-1成立.因為 an+1≡an≡1(mod2)(n≥2)，所以從第2項起，an都是奇數.

把λ1，λ2的值代入，可得到數列{an}的通項公式.

用數學歸納法可證明

因此式(13)可化為

3 構造二階線性遞推數列解題

例1和例2命題構造的經驗給解決以下2個問題(例3、例4)提供了策略上的幫助和指導.例3 設數列{an}滿足：a1=1，a2=-1，

證法1 首先考慮例3的構造過程：數列(14)的特征方程為

2個特征根為

其中i為虛數單位，且

把λ1，λ2代入得到數列{an}的通項公式.因為

接下來，用數學歸納法證明數列{bn}是整數列.

這就是例3的構造過程，也是例3的一種證明方法.為了進行比較，下面給出另一種證法.

證法2 用數學歸納法易證明 an∈Z(n∈N*)(略).

所以數列{cn}的前若干項為

猜想cn=(2an+an-1)2對一切n≥2的自然數n成立.下面用數學歸納法證明.

歸納法的奠基成立.假設當n=k(k≥2)時，

成立，則當n=k+1時，由歸納假設以及式(14)，得

從上面的分析可以看出，構造過程的證明方法(即證法1)：從已知到未知，意圖明確，不需要太強的運算技巧;而證法2：從已知?未知?已知?未知，其中當n=k+1時命題成立的證明，運算技巧要求頗高.這2種證明方法留給我們一個命題(留給讀者自行證明)：

(2012年北約自主招生數學試題)

設x1=1+，它的共軛無理根為x2=1-構造數列從而

并當n≥3時，有

因為x1x2=-1，所以

顯然由式(15)可知{an}是正整數列，且2|an(n≥1).

根據構造所得的數列{an}和{bn}，知