基于思維導(dǎo)圖的數(shù)學(xué)題解后反思及啟示

☉江蘇省常熟市海虞中學(xué) 張文明

基于思維導(dǎo)圖的數(shù)學(xué)題解后反思及啟示

☉江蘇省常熟市海虞中學(xué) 張文明

*本文系江蘇省十二五重點(diǎn)立項(xiàng)課題“基于思維導(dǎo)圖的高效法的實(shí)踐研究”(課題編號(hào)：B-b/2 0 1 1/0 2/0 0 7；主持人：韓建光)及子課題“關(guān)于初中生運(yùn)用思維導(dǎo)圖進(jìn)行學(xué)后總結(jié)的實(shí)踐研究”(主持人：朱仁紅)的研究成果之一.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，“理解”無(wú)疑是第一位的［1］.這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)后及時(shí)總結(jié)反思以減少被動(dòng)性、滯后性、無(wú)序性、盲目性和低效性，提高自覺(jué)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的意識(shí)，從而使知識(shí)序列條理化、系統(tǒng)化.思維導(dǎo)圖正是幫助學(xué)生學(xué)后反思以理清思維秩序、增進(jìn)程序性理解的有效工具.

一、思維導(dǎo)圖

思維導(dǎo)圖是英國(guó)“記憶之父”托尼·巴贊（Tony Buzan）開(kāi)發(fā)出來(lái)的一種組織性思維工具，是從一個(gè)中心主題發(fā)散出來(lái)的自然結(jié)構(gòu)，通過(guò)符號(hào)、關(guān)鍵詞、圖像、線條和顏色，遵循一套基本、簡(jiǎn)單、自然易被大腦接受的規(guī)則，逐步建立一個(gè)有序的發(fā)散的樹(shù)狀圖，它是對(duì)思維過(guò)程的導(dǎo)向和記錄［2］.這是一種將放射性思考具體化的方法，放射性思考是人類(lèi)大腦的自然思考方式，以大腦中的某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)為思維中心，從這個(gè)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)引發(fā)出與之相關(guān)的其他知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)又可以成為另外的思維中心.這種發(fā)散性的結(jié)構(gòu)符合大腦工作的原理，體現(xiàn)了人們思維過(guò)程中的多向性和跳躍性，是一種能夠幫助人們分析問(wèn)題、整理思路、快速學(xué)習(xí)的方法和工具.

思維導(dǎo)圖具有使“單調(diào)的知識(shí)形象化，抽象的知識(shí)具體化，零碎的知識(shí)系統(tǒng)化，復(fù)雜的知識(shí)簡(jiǎn)單化，隱性的知識(shí)顯性化［3］”等特點(diǎn)，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，思維導(dǎo)圖有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合理解.

二、解后反思案例

例題 如圖1，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ.試判斷△CPQ的形狀.

分析：由題設(shè)易求∠PCQ=60°，觀察圖形，感知猜測(cè)△CPQ是一個(gè)等邊三角形.現(xiàn)在有兩個(gè)思路可以選擇：一是推理出∠PQC=60°（或∠QPC=60°），從而得到∠PCQ=∠PQC=∠QPC，根據(jù)“三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形”證得猜測(cè)成立；二是推理出CP=CQ（或CP=PQ或CQ=PQ），根據(jù)“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”證得猜測(cè)成立.

解：因?yàn)椤鰽BC和△CDE都是正三角形，

圖1

所以△CPQ是等邊三角形.

1.解后反思

由于授課班級(jí)學(xué)生已經(jīng)有了使用思維導(dǎo)圖進(jìn)行解后反思的基礎(chǔ)與實(shí)踐，因此不少學(xué)生都用思維導(dǎo)圖進(jìn)行了解后反思.

2.反思解題過(guò)程

在解后反思環(huán)節(jié)的師生交流中，一些學(xué)生采取的思路是列示意圖，然后對(duì)解題思路進(jìn)行甄別與整合，其實(shí)質(zhì)是分析法，解題思路如下.

所以這條思路不便推理出猜想.

所以這條思路是可行的.

薛同學(xué)所畫(huà)的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

圖2

3.反思問(wèn)題涉及的基礎(chǔ)知識(shí)

問(wèn)題中涉及的基礎(chǔ)知識(shí)有全等三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識(shí).學(xué)生需從復(fù)雜圖形中識(shí)別基本圖形，排除干擾，從而獲得有效信息，進(jìn)行正確推理.同時(shí)，由于本題結(jié)論并未給出，需要學(xué)生先觀察、操作，猜想結(jié)論（甚至在這個(gè)環(huán)節(jié)還有幾位學(xué)生采用了度量邊或角來(lái)猜測(cè)△CPQ的形狀），再進(jìn)一步演繹推理.學(xué)生在反思中基本能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)，圖3即是一份較好的對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行反思的思維導(dǎo)圖.

圖3

4.反思解題思想

本題結(jié)論未直接明確告知，且難以一步達(dá)成結(jié)論（△CPQ是等邊三角形），所以既要先猜測(cè)，又要進(jìn)行證明，故采用分析法較為合理.當(dāng)思維比較順暢時(shí)，解題適宜按照由因?qū)Ч捻樞蚴褂镁C合法；當(dāng)思維遇阻時(shí)，則解題適宜執(zhí)果索因，分析法就會(huì)大顯身手.而對(duì)于一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們可以從一般解題步驟、常用解題方法、基本數(shù)學(xué)思想、解題元認(rèn)知策略等方面進(jìn)行反思（如圖4）.

圖4

5.反思問(wèn)題的拓展與歸類(lèi)

對(duì)于本問(wèn)題，如果能夠有“腳手架”，學(xué)生更容易順利完成，因此學(xué)生對(duì)此進(jìn)行了思維導(dǎo)圖式反思.該生還提出了一些拓展性問(wèn)題，并對(duì)問(wèn)題的架構(gòu)進(jìn)行了解構(gòu)與重組（如圖5）.

圖5

由上述典型的思維導(dǎo)圖可觀察出學(xué)生的“圖式”思路，學(xué)生的反思基本是圍繞基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等方面進(jìn)行的，這正是《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》與《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版）》的較大區(qū)別之一.具體反思內(nèi)容可綜合為如圖6所示的思維導(dǎo)圖.

圖6

三、思考與啟示

1.基于思維導(dǎo)圖的解后反思調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施后，學(xué)生的主體性地位得到明確，但是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中仍然存在為數(shù)不少的學(xué)生對(duì)教師具有極強(qiáng)的依賴(lài)性.這部分學(xué)生等著教師總結(jié)知識(shí)模塊、總結(jié)規(guī)律，然后記筆記.這種被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式既抑制了學(xué)生的主體創(chuàng)造性，又降低了學(xué)習(xí)效率.歸根到底，是由于學(xué)生的積極性不夠造成.而思維導(dǎo)圖的圖式化表示既有規(guī)則要求，又允許有個(gè)性化發(fā)揮，這擴(kuò)大了學(xué)生的自我發(fā)揮空間，學(xué)生的積極性大有提高，從而切實(shí)提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性.

2.基于思維導(dǎo)圖的解后反思呈現(xiàn)了知識(shí)系統(tǒng)的直觀化

學(xué)生的思維過(guò)程是抽象的，思維導(dǎo)圖的圖式化直觀地表現(xiàn)了學(xué)生的思維過(guò)程，從而使得隱性知識(shí)顯性化.這樣的直觀化、可視化的思維過(guò)程有助于學(xué)生對(duì)問(wèn)題表征、問(wèn)題變式進(jìn)行思考和理解，從而達(dá)到舉一反三的功效.從某種意義上說(shuō)，思維導(dǎo)圖式的解后反思與“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想具有異曲同工之妙.

3.基于思維導(dǎo)圖的解后反思建構(gòu)了知識(shí)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)化

由于課堂時(shí)間的限制，每一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)生所收獲的知識(shí)點(diǎn)總是相對(duì)孤立和分散的，學(xué)生難以從整本書(shū)甚至整個(gè)學(xué)段（比如初中三年或者中學(xué)六年）上把握整個(gè)知識(shí)脈絡(luò)，從而難以建構(gòu)出相對(duì)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).這也是有些學(xué)生每節(jié)課的練習(xí)都做的不錯(cuò)，但是一遇到綜合問(wèn)題就不知所措的原因之一.基于思維導(dǎo)圖的解后反思恰好有效彌補(bǔ)了這個(gè)空缺，使得整個(gè)知識(shí)體系在多次的圖式化表示中得以趨近系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化.

四、結(jié)束語(yǔ)

反思是數(shù)學(xué)思維的核心和動(dòng)力［4］，而基于思維導(dǎo)圖的解后反思順應(yīng)了大腦的自然思維模式，引領(lǐng)學(xué)生從題目的分析與架構(gòu)、解題方法、相關(guān)變式等方面進(jìn)行發(fā)散性思考，使得學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)具有“隨風(fēng)潛入夜”的自然與平適.這種反思方式不僅提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，使得學(xué)生在思考和表達(dá)中深化了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的表征與理解.

1.馬復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類(lèi)型——從R.斯根普的工作談起［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001（3）.

2.［英］托尼·巴贊.思維導(dǎo)圖：大腦使用說(shuō)明書(shū)［M］.張鼎昆，徐克茹，譯.北京：外語(yǔ)教學(xué)與研究出版社，2005.

3.吳丹，丁青.思維導(dǎo)圖在英語(yǔ)聽(tīng)說(shuō)教學(xué)中的應(yīng)用與探索［J］.外語(yǔ)周刊，2012（81）.

4.楊紹平.反芻數(shù)學(xué)中考，思索數(shù)學(xué)教學(xué)——一道中考試題引發(fā)的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（11）.