2012年高考解析幾何大題亮點之定點、定值

☉北京豐臺二中 甘志國（特級教師）

2012年高考解析幾何大題亮點之定點、定值

☉北京豐臺二中 甘志國（特級教師）

筆者發現，在2012年高考卷中有多道解析幾何大題是考查定點、定值問題的，本文將分析、推廣這樣的五道高考題.

高考題1（2012年湖南理21）在直角坐標系xOy中，曲線C1上的點均在C2：（x－5）2+y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=－2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.

（1）求曲線C1的方程；

（2）設P（x0，y0）（y0≠±3）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當P在直線x=－4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值.

下面給出這道高考題的一般情形.

定理1 在平面直角坐標系xOy中，動點P在定直線x=h上，過點P能作定圓Ω：（x－p）2+y2=r2（r＞0）的兩條不同切線（切線的斜率存在），且分別與定拋物線Γ：y2=4px（p＞0）交于點A，B和C，D（這四個點互不相同），則這四個點的縱坐標之積為定值的充要條件是p2=r2+h2，且定值為16p2h2.

設切線PAB，PCD的斜率分別為k1，k2，得

所以可得欲證結論成立.

（1）求曲線C的方程；

（2）動點Q（x0，y0）（－2＜x0＜2）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為l.問：是否存在定點P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都相交，交點分別為D，E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數？若存在，求t的值.若不存在，說明理由.

本題第（2）問的一般情形：

定理2 設定點A，B在定拋物線Γ：x2=2py（p＞0）上且關于y軸對稱，點Q是拋物線弧A（B上的任意一點（但不是端點），則存在定點P（0，t）（t＜0）使得Γ在點Q處的切線l與直線PA，PB都相交，交點分別為D，E且△PDE與△QAB的面積之比是定值λ的充要條件是t為點A的縱坐標的相反數（且定值λ=）.

可求得切線l：y=2x0x－2px02，切線l與y軸的交點C（0，－2px02），直線

圖1

即切線l與直線PA，PB都相交的充要條件是t≤－2pa2.

當t≤－2pa2時，可求得切線l與直線PA，PB的交點D，E的橫坐標分別為

從而可得欲證結論成立.

高考題3（2012年上海理22）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2=1.

（1）過C1的左頂點引C1的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；

（2）設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OP⊥OQ；

（3）設橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值.

本題第（3）問的一般情形是：

設點O到直線MN的距離是d，得

從而可得欲證結論.

高考題4 （2012年福建文21）如圖2，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py（p＞0）上.

（1）求拋物線E的方程；

（2）設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=－1相交于點Q.證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.

參考答案：（1）x2=4y；（2）以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點（0，1）.

圖2

（1）求橢圓E的方程.

（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

圖3

上述兩道高考題的一般情形：

定理5 設動直線p與圓錐曲線Γ相切于點P，與Γ的一條準線l交于點Q，則以PQ為直徑的圓恒過定點，且該定點就是Γ的與準線l對應的焦點F.

證明：（1）先證拋物線的情形.

因為t∈R時該式恒成立，所以由多項式恒等定理，得

（2）再證橢圓的情形.

因為該式在0＜θ＜π時恒成立，所以左邊在θ→0時的極限為0，得v=0，所以

所以以PQ為直徑的圓恒過定點，且該定點就是Γ的與準線l對應的焦點F（c，0）.

（3）再證雙曲線的情形.

還可驗證當u=c，v=0時，③式恒成立.

所以以PQ為直徑的圓恒過定點，且該定點就是Γ的與準線l對應的焦點F（c，0）.