速率理論中渦流擴散項的置換模擬與經濟學思考

游士兵，吳 比，張 佩，毛鍇苑，夏素云

（武漢大學經濟與管理學院，武漢 430072）

速率理論中渦流擴散項的置換模擬與經濟學思考

游士兵，吳 比，張 佩，毛鍇苑，夏素云

（武漢大學經濟與管理學院，武漢 430072）

基于色譜分析的速率理論，文章對渦流擴散過程進行模擬和置換。渦流擴散是速率理論中引起色譜峰擴張的一個基本因素，即同一組分分子沿色譜柱內各路徑形成紊亂的渦流流動。以消費者行為為研究對象，認為渦流擴散體現在消費者由于消費場所區域分布或外界環境的刺激而發生消費滯后或消費提前的行為。模擬結果表明，經濟領域的渦流擴散項的存在會使色譜峰展寬，從而分離效果下降。

色譜經濟分析法；渦流擴散；滯后消費；提前消費

0 引言

游士兵等（2011）在前期的有關色譜經濟分析法的研究中對色譜經濟分析法中的有關概念（分配比、保留時間等）做出了相應的置換，并對塔板理論進行了模擬，初步闡明了待分離物質通過色譜柱形成流出曲線的內在機制（游士兵等，2012）。塔板理論所依據的平衡分配在色譜過程中只是一種理想和極限狀態，它忽略了色譜過程中分子擴散、傳質阻力等因素，故其理論假設未能全面反映色譜分離本質。而速率理論正是在此基礎上，把色譜過程看作一個動態非平衡過程，研究過程中的動力學因素對峰展寬（即柱效）的影響，在一定的程度上彌補塔板理論的不足。游士兵等（2013）對分子擴散項進行了經濟學思考和置換，并模擬了分子擴散項對消費者不同組分分離的影響。基于此，本文將對速率理論進行進一步探究與現實模擬。

1 速率理論置換理論

在速率理論之分子擴散項的置換研究中，游士兵等（2013）對速率理論的基本原理進行了詳細闡述，以1956年荷蘭學者Van Deemter等提出的色譜過程的動力學理論-速率理論為代表。速率理論，是在吸收塔板理論中塔板高度（H）這一概念的前提下，充分考慮組分在兩相間的擴散與傳質過程，從而在動力學基礎上較好解釋影響板高H各種因素的理論。其理論模型Van Deemter方程的數學簡化式為：

其中 A=2λdp為流動相平均線速度，A=2λdp、A=2λdp、A=2λdp為常數分別代表渦流擴散項系數、分子擴散項系數、傳質阻力項系數。當色譜柱內同時起步的組分隨流動相在固定相顆粒間的空隙間穿行，朝柱出口方向移動，如果固定相顆粒不均勻，則組分在穿過這些空隙時碰到大小不一的顆粒而必須不斷地改變方向，由于路徑的不同，會在柱內形成了紊亂的“渦流”的流動，使流經障礙情況不同的流路中的分子先后到達柱出口，而使譜帶展寬。

鑒于分子擴散項已在之前的研究中予以討論，本文以渦流擴散項A作為置換對象進行討論，傳質阻力項將另文研究。

2 渦流擴散項（A）及其置換思考

2.1 渦流擴散項（A）

在填充色譜柱中，當組分隨流動相向柱出口遷移時，流動相由于受到固定相顆粒障礙，不斷改變流動方向，使組分分子在前進中形成紊亂的類似“渦流”的流動，故稱渦流擴散。流動相沿柱內各路徑形成紊亂的渦流運動，有些組分分子沿較窄或較直的路徑運行，以比較快的速度通過色譜柱，發生分子超前；而另一些組分分子沿較寬或彎曲的路徑運動，遷移速度比較慢，發生分子滯后；介于二者平均路徑的分子，則處于中間。假若以組分分子中間路徑為準，那么某些分子顯然或前或后到達柱出口處，使沖洗它們的時間產生一個統計分布，即色譜峰具有一定展寬。

組分不同路徑的流速差異會引起組分流出曲線的擴張，用公式表現為：

式中，λ為常數項，稱為填充不規則因子，dp為固定相的直徑。λ取決于固定相大小、分布范圍及填充方法。λ越大表明色譜柱填充越不均勻，當固定相間孔隙越不一致，分子走過的路徑差別越大，則距離偏差越大，峰形越加寬。對于dp小的顆粒，組分分子移動步幅小，不僅可以補償由于固定相顆粒小而使不均勻因子λ值的增加，而且可以使整個A=2λdp值下降。所以，在色譜柱系統可能的情況下，盡量選擇細顆粒固定相填充均勻。

2.2 渦流擴散項的置換思考

2.2.1 渦流擴散項

本文為旨在探究渦流擴散項在色譜經濟學領域的定義及置換問題。在塔板理論中，色譜柱被認為是均勻填充的，而速率理論假設色譜柱是非均勻填充的，這種假設更加符合現實狀況。在化學領域中，填充不均勻會導致進入色譜柱同一組分物質路徑的不同。故渦流擴散從本質上來說，是由于待分離物質受到固定相的阻礙作用。這種阻礙作用不同于固定相對組分的化學作用（如溶解或吸附），而是固定相對組分在路徑上的阻礙作用，因此它并不會改變組分的分配比，而是使組分分子在前進中形成紊亂的類似“渦流”的流動。

經濟學研究的是經濟主體的決策問題，所以化學領域中的組分在經濟領域中被置換為像個人、家庭、企業這樣的行為主體，而流動相和固定相被置換為某種傾向（如消費傾向、分紅傾向、投資傾向等）。換言之，在經濟領域中，固定相是阻礙行為主體進行某種行為的一種傾向，這種帶有阻礙性質的傾向除了決定主體的行為結果，還會使主體在行動過程中形成類似“渦流”的運動。經濟領域的渦流擴散運動，在形式上雖然表現為一種“隨機游走”狀態，但是在時間和空間上又會與一些經濟因素存在一定聯系，在經濟學中，我們通常用解釋變量和被解釋變量來表示相關經濟現象的內在聯系。

以消費行為為例，消費者會出現兩種情況的渦流運動，一種是消費者已形成的消費決策不得不滯后完成，即以較彎或長的路徑運行，延遲進入到下一塔板；一種是消費者已形成的消費決策會提前完成，即以較直或短的路徑運行，更快地進入到下一塔板。換言之，消費者在消費傾向的作用下形成了消費決策，不一定會立刻得到實行。當這種消費行為由于外界經濟環境的影響不得不滯后或提前時，經濟領域的渦流擴散就形成了。在本文中，我們假設消費者之所以會滯后消費，可能是源于消費者與消費目的地之間的距離，此時消費者需要耗費更多的時間在準備和前往目的地；而消費者之所以會提前消費，可能是在優惠券到期的驅動或者“從眾”心理，或者政策環境或者促銷活動等提前了原來的消費打算。

2.2.2 渦流擴散項的影響因素及其置換

在化學領域中，渦流擴散會引起組分流出曲線的擴張，用公式表現為：A=2λdp。渦流擴散項取決于填充不規則因子λ和固定相的直徑dp有關。

（1）填充不規則因子λ

當固定相間孔隙越不一致，分子走過的路徑差別越大，即λ越大表明色譜柱填充越不均勻。以消費行為為例，固定相是阻礙消費者進行消費的傾向。即使消費者已經形成消費傾向，也可能由于固定相的個體差異導致消費行為實現的不同。在分配比保持不變時，若消費者的消費行為發生滯后或提前，消費者會由于渦流運動而引起組分流出曲線的擴張。所以，λ在經濟領域中衡量的仍是色譜柱的填充不規則程度。

填充不規則因子λ被置換為全部消費者與目標消費場所距離的標準差，衡量的是消費場所分布的便利性，在一定程度上體現了消費場所區域分布的合理性。當消費者距離目標消費場所較遠時，消費者不得不在準備和路程上花費更多時間，從而導致消費行為的相對滯后；當消費者距離目標消費場所很近時，消費者可能會立刻將消費決策付諸實踐，從而造成消費行為的相對提前。所以，消費者與目標消費場所距離的標準差λ通過影響消費行為的實施速度，形成經濟領域的“渦流”。

（2）固定相直徑dp

化學領域中，dp是影響渦流擴散項A=2λdp的重要因素。一方面，在其他條件相同時，dp越大渦流擴散效果越顯著；另一方面，dp會通過影響λ從而改變A=2λdp值。經濟領域中，由于λ為全部消費者與目標消費場所距離的標準差，是一個常數項，并不直接取決于dp，但λ和dp之間仍然存在相關關系。當消費場所區域分布越合理，即λ越小時，消費者對外界環境的敏感程度也會越強。

固定相直徑dp被置換為消費者對外界環境的敏感性。這里的外界環境主要是指可能會影響消費行為的實現的經濟環境因素，包括優惠券的到期、商品促銷活動、新開張的商業街、以及銀行利率的變化等。當消費者對上述經濟環境因素足夠敏感時，可能會引起消費行為的提前或滯后；當消費者對上述經濟環境極不敏感時，可能根本不會改變已有的消費決策，所以消費者對外界環境的敏感性dp通過影響消費行為的實施速度，形成經濟領域的“渦流”。

3 對消費者行為的速率理論置換實例及模擬

3.1 分離過程假設

本文沿用游士兵等（2012）塔板理論中的研究，以特定消費群體的消費行為為研究對象，對速率理論中的渦流擴散項進行置換。有如下假設：

⑴假設待分類組分為兩類消費群體，這些消費人群對于可支配收入只有兩種選擇——消費和儲蓄。其中，流動相為消費傾向，固定相為儲蓄傾向，且A類消費群體的分配比k=1：1，B類消費群體的分配比為1：4。

⑵假設可支配收入以脈沖式增加，且每次增加M元。當可支配收入每增加一次時，消費者會進行一次消費和儲蓄的選擇。

⑶若考慮渦流擴散，則消費者會出現兩種情況的渦流運動，一種是消費者已形成的消費決策不得不滯后完成，即以較彎或長的路徑運行，延遲進入到下一塔板；一種是消費者已形成的消費決策會提前完成，即以較直或短的路徑運行，提前進入到下一塔板。

⑷為了更簡單明了地體現渦流擴散作用，本文假設消費行為滯后的時間間隔為T=1，即消費者在t期形成的消費決策并沒有在t期實現，而是在t+1期才進行消費。在色譜柱中，表現為原本在t期應該進入下一塔板的消費者在t+1期才完成該行為。同樣，消費行為提前的時間間隔也設為T=1。

3.2 速率理論模擬

以下模擬過程以上述分離過程假設為基礎，當可支配收入約束每增加一次時，消費者在消費和儲蓄之間進行一次選擇。于是，前一個塔板中的消費者有一半選擇進入下一個塔板（即選擇消費），同時另一半消費者由于選擇儲蓄會留在原塔板中。在不存在渦流擴散的情況下，經過多次的分配平衡后，A類消費群體會形成如表1中的分配情況。可以看到，t=2時，塔板1上的50位消費者中有25位消費者進入塔板2，如表1所示。

表1 不存在渦流擴散的分配情況（分配比k=1）

3.2.1 待分離組分為單一組分的流出曲線

（1）消費者存在消費行為的滯后

考慮渦流擴散作用，以第一種情況為例，假設t=3時，塔板1中的25位消費者里有10位消費者可能由于消費場所區域分布問題，不得不延遲消費。由于消費行為滯后的時間間隔設為T=1，則可支配收入約束再次增加時，這10位消費者會繼續之前的消費。于是，這10位消費者在t=4才進入下一個塔板（塔板2），表現為t=3時塔板中的消費者僅有15位進入到下一塔板，而有35位留在原塔板。表2反映了消費者選擇提前消費時塔板內的組分分布情況，是渦流擴散作用的核心體現。

表2 消費者存在提前消費行為下3、4塔板的分配情況①對于存在渦流擴散項的情況，為簡單起見表2，表4只顯示第2、3、4次脈沖情況下的塔板分配情況，整個分配過程則分別在表3、表5中予以描述。

存在第一類渦流擴散的A類消費群體的分配表如表3所示。

表3 存在第一類渦流擴散的分配情況（分配比k=1）

3.2.2 消費者存在消費行為的提前

考慮渦流擴散，以第二種情況為例，消費者可能由于外界經濟環境的刺激（比如消費券的到期、商品促銷活動等），在效用最大化原則下會選擇提前已有的消費打算。不妨假設t=4時塔板1中的50位消費者，有10位在經濟環境刺激下影響選擇提前消費。于是，這10位消費者在t=3時即進入下一個塔板（塔板2），表現為t=2時塔板中的消費者有35位進入到下一塔板，而有15位留在原塔板。表4反映了消費者選擇提前消費時塔板內的組分分布情況，是渦流擴散作用的核心體現。

表4 消費者存在提前消費行為下3、4塔板的分配情況

如表5所示，其為存在第二類渦流擴散情況的的完整分配表。

表5 存在第二類渦流擴散的分配情況（分配比k=1）

圖1 三種消費行為流出曲線的比較

從三種消費行為的流出曲線可以看出，相對于不存在渦流擴散相的情況，滯后消費行為主要表現為峰的向右擴張；提前消費行為則主要為峰的向左擴張。結果與實際經濟生活相吻合，可以認為滯后消費行為的存在使得更多消費者在后階段時期進行消費，反之。現實中，渦流擴散的存在會同時使消費行為提前或滯后的情形，所以更普遍的情況應是流出曲線雙向展寬。

3.2.2 待分離組分為混合物的流出曲線

現考慮B類消費群體（分配比為1：4），在此僅考慮存在滯后消費的渦流擴散作用。假設t=3時，塔板1中的32位消費者里有10位消費者可能由于消費場所區域分布問題，不得不延遲消費。由于消費行為滯后的時間間隔設為T=1，于是，這10位消費者在t=4才進入下一個塔板（塔板2），表現為t=3時塔板中的消費者僅有15.6位進入到下一塔板，而有19.6位留在原塔板。表5給出了B類消費者選擇提前消費時塔板內的組分分布情況。

表5 情況下消費者存在滯后消費行為3、4塔板的分配情況(k=1：4)

在表6中給出了B類消費者中存在滯后消費情況下的塔板分配情況。

表6 存在第二類渦流擴散相的消費情況（k=1：4）

根據以上分配結果，可得到A、B兩類消費群體的流出曲線。其中，圖2為不存在渦流擴散下的流出曲線；圖3為存在渦流擴散下的流出曲線圖。

圖2 不存在渦流擴散的流出曲線

圖3 存在渦流擴散的流出曲線

3.3 結果與分析

速率理論假設色譜柱為非均勻填充，而不均勻的填充會導致渦流擴散作用的存在，從而使得峰寬擴展。填充不均勻導致進入色譜柱同一組分物質路徑的不同，組分分子的路徑可大致分為三種情況：第一，填充均勻狀態下的路徑；第二，填充密度相對較大時的路徑；第三，填充密度相對較小時的路徑。上述過程即置換和模擬了經濟領域中的這一情況，第一種情況（表1）即為塔板理論下的狀況，后面兩種情況（表3、表5）分別對應著上例中消費行為的滯后和提前。在一類消費群體中，消費行為的提前和滯后往往共存。為了方便起見，表3、表5對這兩種消費情況分別進行模擬。從圖1中可以看出，當消費者選擇滯后消費時，流出曲線相對向右展寬；當消費者選擇提前消費時，流出曲線相對向左展寬。現實中，渦流擴散的存在會同時使消費行為提前或滯后的情形，所以更普遍的情況應是流出曲線雙向展寬。

由于待分離物質為兩類消費群體，在不存在渦流擴散時流出曲線如圖2所示，當存在渦流擴散時，A、B類消費者峰同時展寬，分離效果有所變差，增加了混合組分分離的難度。在現實經濟生活中，因經濟環境或個體差異等原因導致的滯后消費和提前消費普遍存在，任何影響填充不規則因子λ和固定相的直徑dp的因素都會引起渦流擴散項的改變，從而使得某些消費者的消費行為發生滯后或提前，那么某些分子顯然或前或后到達柱出口處，使沖洗它們的時間產生一個統計分布，即色譜峰具有一定展寬。當待分離物質為混合組分時，由于各組分的分配系數有差異，不同組分的色譜峰會相應展寬，流出曲線會有較大的重合，從而使得分離效果降低，整個色譜柱的柱效下降。在經濟領域中，渦流擴散作用是普遍存在的經濟現象，本文著重討論填充不均勻時復雜經濟中的組分分離效果不能達到理想狀態、分離效率降低的情況，使得色譜經濟分析法的運用更加貼近經濟現實。理論上，本文旨在對存在渦流擴散相情況下組分的流出情況做詳盡描述，彌補塔板理論的不足也為后續研究打下堅實基礎。實際運用中，本文為把握消費者行為、制定相關政策建議提供新的切入點。

4 結語

本文以消費者的消費行為為研究對象，對速率理論中的渦流擴散現象進行初步探究與現實模擬。渦流擴散是速率理論中引起色譜峰擴張的一個基本因素，即組分分子沿色譜柱內各路徑形成紊亂的渦流流動。以消費行為為例，λ被置換為消費者與目標消費場所距離的標準差，dp被置換為消費者對外界環境的敏感性，由于消費者已形成的消費決策可能由于消費場所區域分布（λ）和外界環境的刺激（dp）而發生消費滯后或提前，這種改變“路徑”的消費行為于是形成了類似化學領域的渦流運動。模擬的結果表明，當消費者選擇滯后消費時，流出曲線相對向右展寬；當消費者選擇提前消費時，流出曲線相對向左展寬。現實中，由于消費行為的提前和滯后同時發生，故經濟領域的渦流擴散最終會造成峰的展寬。本文的研究重點在于渦流擴散，后續的研究會關注速率理論的傳質阻力，以期對速率理論進行深入全面的研究。

[1]游士兵,吳比,沈萍,梅敏,蘇正華.復雜經濟現象分類方法創新的理論前瞻——基于化學“色譜分析法”的借鑒與思考[J].統計與決策，2011，（7）.

[2]游士兵，梅敏，吳比.色譜分析法在經濟領域中的應用展望[J].統計與決策,2011（,11）.

[3]沈萍，張佩，毛鍇苑，李跟強，游士兵.色譜經濟分析法置換系列研究：分配比[J].統計與決策，2011，（7）.

[4]沈萍，游士兵，毛鍇苑，張佩，李跟強.色譜經濟分析法置換系列研究：保留時間[J].統計與決策，2012，（13）.

[5]蘇立強，鄭永杰.色譜分析法[M].第1版.北京:清華大學出版社.2009.

[6]游士兵，蘇正華，崔婭雯，楊藝芳，陳蔚妮.速率理論中分子擴散項的置換模擬與經濟學[J].統計與決策，2013，（1）.

F069

A

1002-6487（2013）04-0004-04

教育部博士研究生學術新人獎資助項目（5052011105002）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（201110501020001）

游士兵（1964-），男，湖北天門人，教授，博士生導師，研究方向：統計學、數量經濟學。

吳 比（1987-），男，黑龍江大慶人，博士研究生，研究方向：統計學。

（責任編輯/亦 民）