Bootstrap方法和SV模型在風險測度中的應用

張保帥，周孝華，李 強

（重慶大學經濟與工商管理學院，重慶 400030）

Bootstrap方法和SV模型在風險測度中的應用

張保帥，周孝華，李 強

（重慶大學經濟與工商管理學院，重慶 400030）

文章用SV-GED模型刻畫收益率序列的尖峰厚尾、波動集聚以及異方差等特征，在得到標準殘差序列的基礎上，與Bootstrap方法結合構建一個基于參數---非參數估計的新的風險度量模型——基于Boot?strap-SV-GED模型的風險度量模型，最后對模型的有效性進行了分析。研究表明：Bootstrap-SV-GED模型能很好的刻畫收益率序列的特征，并且能在一定程度上提高金融風險測量的精度。

Bootstrap方法；SV-GED模型；風險

0 引言

VaR方法主要是利用金融資產回報誤差項的分布設定和波動率對風險進行估計，傳統的辦法是將市場因子看成是具有固定方差的正態分布從而簡單估計VaR值。而大量的實證研究表明，資產回報序列并不服從正態分布，而是具有尖峰厚尾性、波動聚集性和偏倚性等非正態分布序列，還有資產回報序列之間往往存在非線性相關性和尾部相關性，而且是時變的。傳統的非條件正態分布假設已經不再適用，而更具厚尾特征的條件分布才是更加符合實際市場波動和風險狀況的收益分布假定。

本文的研究主要是通過引入SV-GED模型刻畫金融收益序列的波動特征，在得到標準殘差序列的基礎上，進而結合Bootstrap方法，計算收益率序列的VaR值，最后對計算結果進行分析。主要創新之處就是把Bootstrap方法與SV模型結合起來組建一個新的風險度量模型。

1 Bootstrap方法及風險度量模型構建

1.1 Bootstrap方法

Bootstrap方法是1979年Efron首先提出的，在1987年被引入到國內，在過去的幾十年時間，該方法在理論和應用上得到了充分的發展，尤其被應用到金融風險度量領域。Bootstrap方法不需要對總體分布作假設或事先推導估計量的解析式，而且還適用于小樣本的情形，它要做的僅僅是重構樣本并不斷計算估計值，顯然，它本質上是一種非參數方法。其基本思想為：用已知的經驗分布代替未知的總體分布，通過對原始樣本采用有放回的抽樣來產生偽隨機數，從而對總體的特征做出推斷。

1.2 基于Bootstrap-SV-GED風險度量模型

為了能充分反應資產收益的異方差性及“尖峰肥尾”特征，本文在基本SV模型基礎上采用JP Morgan在Risk Metrics提出廣義誤差分布(GED)，得到SV-GED模型：

其中：式(1)為均值方程，式(2)為波動率方程；誤差項εt和ηt互不相關；φ為持續性參數，反映了當前波動對未來波動的影響，對于φ＜1，SV-GED模型是協方差平穩的。GED是一種更為靈活的分布，通過對參數的調整可以擬合不同的情形。

θt服從均值為μ+φ(θt-1-μ)，方差為τ-1的正態分布，即：

依據公式（1）可以推導出當θt給定時，yt的分布密度函數為：

SV類模型的常用的參數估計主要有偽極大似然法（QML）及廣義矩法（GMM）等，但以上方法由于其對樣本條件的限制等常會使得參數估計值偏誤較大，我們這里采用基于MCMC(Markov Chain Monte Carlo)的貝葉斯估計方法對SV-GED模型的參數進行估計，應用的軟件為Winbugs。根據MCMC參數估計的基本原理可知，平穩分布與初始分布無關，Markov鏈在經過足夠多的次數迭代后，若各個時刻狀態的邊際分布都是平穩分布，則認為該Markov鏈為收斂的，因此，參數的后驗分布不會隨著參數的先驗分布發生顯著變化，由此我們參照Kim、Shephard、Eric等的經驗選取以下分布作為先驗分布：

考慮到Bootstrap方法主要應用對象是獨立同分布的殘差序列，而在SV-GED模型中，標準殘差zt是一個獨立同分布的隨機變量，因此可以對zt進行重復再抽樣，進而估計出收益率序列的VaR值和區間估計。Bootstrap方法應用過程中需要編寫一定的統計程序，主要使用R軟件。具體的步驟如下：

（1）有殘差序列zt=(z1,z2,…,zn)構造經驗分布函數Fn;

（2）從Fb中又放回地隨機抽取簡單樣本z?=(z?1,…z?b)，m≤n，稱為Bootstrap子樣，z?i～Fn，在隨機抽樣時，采用模特卡羅模擬的方法；

（3）重復步驟（2）抽樣N次，由Bootstrap子樣得到N個樣本的估計值ξi，i=1，…N，樣本估計量可以用ξb相應的分為數來表示;

2 實證分析

2.1 樣本選取及統計描述

本文以上證綜指為應用研究對象，選取上證綜指自2010年2月9日到2012年3月21日的共510個每日收盤指數進行分析，數據來源是大智慧炒股軟件。定義上證綜指的對數收益：

表1、圖1給出了上證綜指收益序列的描述性統計。從表1中可以看出，上證綜指收益均值均接近于0，偏度都為負，峰度大于3，這說明上證綜指收益率左偏且具有明顯的尖峰厚尾特征；J-B正態性檢驗也說明收益率顯著異于正態分布；從圖1可以看出，上證綜指具有典型的尖峰厚尾特點，且呈現非對稱的分布，還有就是收益率的序列呈現一定的集聚性和爆發性。

表1 上證綜指收益率序列的統計特征

圖1 上證綜指收益率序列圖

2.2 SV-GED模型參數及檢驗

首先對SV-GED模型的待定參數做貝葉斯估計，MCMC的Gibbs的抽樣次數為50000次，由于Markov鏈收斂前的一段時間的迭代中，各狀態的邊際分布還不能認為是平穩的，因而選擇“燃燒”舍去前25000個抽樣值，用后25000次的抽樣作為各參數的穩定分布抽樣，參數估計結果如表2所示。

表2 SV-GED模型的估計結果

由表2可知，自由度值υ的估計值為1.351，明顯小于2，表明了收益率明顯不同于正態分布，有較強的尖峰厚尾特征，φ接近于1表示收益率序列有很強的波動集聚性，因此，可以認為SV-GED模型很好地刻畫了收益率序列的特征。而采用MCMC估計，參數估計值序列的收斂性診斷異常重要，如果一個參數估計值序列不收斂，那就意味著它不會圍繞一個值來波動，方差將會很大，也就是等價于一個回歸模型中的回歸參數的t值非常小，從而無法通過統計檢驗?；诖?，我們要對SV-GED模型進行收斂性診斷。

有表2可以看到，各個參數的MC誤差遠小于標準差，我們可以得到一個初步的結論，參數的估計趨于收斂；然后參數估計值收斂性的判斷可以通過觀察各參數估計值的演進圖、變化趨勢圖、以及自相關圖獲得一個進一步的判斷。我們就以參數φ為例，看下φ的演進圖、變化趨勢圖、以及自相關圖，在圖2的演進圖中可以看出兩條Markov鏈很快就絞合在一起了，變化趨勢圖也是如此，而且兩條鏈都沒有表現出明顯的變化趨勢，而在自相關圖中各參數經過將Markov鏈打薄處理后明顯不具有記憶性了，其他的不再列舉，因此可以判斷各參數的估計值是收斂的。

圖2 參數φ估計值的收斂情況、概率分布及自相關圖

2.3 基于Bootstrap-SV-GED模型的VaR估計及檢驗

2.3.1 Bootstrap-SV-GED模型的VaR估計

接下來，我們應用Bootstrap方法計算出殘差序列的極大似然估計和區間估計（表3）。

表3 Bootstrap下95%、99%置信水平VaR估計

有表3可以看出，在95%置信水平下，在抽樣次數100次的時候，區間估計表現不是很好，而隨著抽樣次數的增加，區間估計就比較穩定了，并且區間估計顯得比MLE估計更加緊湊，這說明，引進Bootstrap方法可以在一定程度上彌補數據不足的缺陷；而在的99%的置信水平下，區間估計整體表現的都比MLE估計緊湊。接下來我們對Bootstrap-SV-GED模型效果進行分析。

2.3.2 Bootstrap-SV-GED模型的統計檢驗

為了檢驗模型的計量效果，將計算出的VaR與實際損失做比較，通常采用的是Kupiec失敗率檢驗法，具體就是當實際損失大于VaR時，稱之為一次“異?！?，可通過檢驗發生的“異?！眰€數診斷估計模型。Kupiec給出了這種檢驗方法的置信域，在置信域內異常的次數越低，模型的預測效果越好，但異常次數過低，卻意味著模型過于保守。依次選擇置信度為0.95、0.99，為了比較模型的效果，分別用Bootstrap-SV-GED的VaR模型與基于SV-GED的VaR模型與Bootstrap-GRACH模型的VaR模型預測樣本數據樣本的VaR值，然后與實際VaR值對比做后驗測試，檢驗結果見表4。

表4 VaR失敗率的Kupiec LR檢驗結果

由表4看出，置信度越高，各模型通過檢驗的失敗次數越少，其中Bootstrap-SV-GED模型和另外兩個模型相比失敗次數更少，對VaR的預測效果更好。同時Bootstrap-GRACH模型表現比SV-GED模型要好，說明應用Bootstrap方法度量金融風險是比較有效的。因此可以得出結論，Bootstrap-SV-GED模型能在一定程度提高VaR的預測效果，說明Bootstrap-SV-GED模型是合理有效的。

3 結論

VaR己經成為金融風險度量的重要工具之一，近些年獲得了重大的發展，對于VaR方法的改進主要體現在兩個方面：一是計算速度和計算精度的改進；另一方面是對所謂“標準VaR”的擴展。本文提出的基于Bootstrap方法和SV模型的VaR計算，是在計算精度方面的改進，將這種統計方法應用到了金融領域中的，克服了樣本不夠時估計VaR不準確的缺陷，并且還能得到VaR的區間估計。同時，Bootstrap-SV-GED模型既考慮了金融數據的尖峰厚尾、波動集聚、異方差等特征，又很好的模擬了殘差序列的特征，這種靈活的參數-非參數風險度量模型能在很大程度上提高風險測量的精度，有很廣闊的應用前景，譬如投資組合的風險、極值尾部的風險以及波動率等，其中基于Bootstrap方法和SV模型與極值理論結合研究風險度量是我們下一步研究方向。

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F224

A

1002-6487（2013）04-0066-03

中央高校基本科研業務費資助項目（CDJXS11021112）；重慶市自然科學基金計劃項目（CSTC2011BB2088）

張保帥（1981-），男，河南泌陽人，博士研究生，研究方向：金融風險管理。

周孝華（1965-），男，湖南武岡人，教授，博士生導師，研究方向：金融工程、金融市場及風險管理。

李 強（1969-），男，河南焦作人，博士研究生，研究方向：金融工程和風險管理。

（責任編輯/亦 民）