農產品價格波動時的數理微分模型分析

夏凡捷，夏新念

（1.武漢大學 經濟與管理學院，武漢 430072；2.武漢工程大學 機電工程學院，武漢 430074）

農產品價格波動時的數理微分模型分析

夏凡捷1，夏新念2

（1.武漢大學 經濟與管理學院，武漢 430072；2.武漢工程大學 機電工程學院，武漢 430074）

價格理論是微觀經濟學的核心，供求關系是經濟學研究的起點。長期以來，人們對價格形成機制以定性的探討為主，較少或缺乏定量的分析研究。文章嘗試運用數理分析方法，以典型農產品價格波動為例，探討在完全競爭條件下均衡價格的市場實現機制。文中不僅發現了采用標準二階微分模型最能恰當描述農產品在競爭條件下的價格波動過程，而且還揭示了決定二階微分模型參數的信息其實還隱藏在供求關系之中。

均衡價格；供求彈性；動態經濟學；數理微分模型；蛛網模型；價格變動加速度

0 引言

市場是商品交換的場所，也是商品的生產者之間、商品生產者與商品消費者之間競爭的場所。競爭的結果導致商品的供給、需求的變化，進而影響到商品價格的變化。商品的供求及價格決定，即市場中的均衡分析是經濟分析中的最基本的問題之一。其中價格理論是微觀經濟學的核心，供求關系是經濟學研究的起點。長期以來，對價格形成機制的探討一直是經濟學關注的重點問題之一，但常常是以靜態或比較靜態的方式研究該問題，缺乏動態和定量的考察。在國外，現代經濟學大量運用動態分析來考察有關的經濟問題[1]，發展出一門稱作動態經濟學（或經濟動力學）的學科。本文試圖從完全競爭市場出發，以典型農產品為例，借薦物理學分析方法，建立均衡價格（或均衡產量）的數理微分動態模型。

靜態均衡分析是在假定市場已處于均衡狀態的情況下，分析經濟變量達到均衡的條件，并考察均衡狀態的特性及其影響因素，這時不用考慮時間的影響。在均衡分析過程中，假定商品數量對價格的變化能夠得到即時的反應。也就是說商品價格的變化會立即作用于商品的供給和需求，并同時引起供給量和需求量的變化。

但在現實生活中，市場諸因數往往是隨時間而變的，當價格變化后，許多商品的需求量和供給量對價格變化的反應在時間上并不一致。一般來說，需求量對價格的反應是即期的，可以用即時反應來表示，而供給量對價格的反應往往有一個滯后期，尤其對于農產品類商品更為典型。如果能動態地研究均衡價格的實現過程就是一項很有意義的工作，為達到該目的，此時若借用物理學中動力學分析方法（或經濟學中被稱之為動態分析的方法），就能達到事半功倍的效果。

1 蛛網模型

蛛網模型是動態模型中出現得較早的一種模型，它雖是一種圖解模型，但由于具有形象直觀、便于分析等優點，長期以來一直用于價格形成機制的定性說明中。一般用作對生產周期較長的商品（如農產品、畜產品）的價格和產量的觀察、預測。

蛛網模型的假定條件[2]是：（1）生產者開始生產某種產品到該種產品上市需要一定的時間，市場信息極不靈通，生產者對其產品的預期價格和預期需求一無所知，只好以上期的價格作為本期供給量的依據QS(t)=QS(Pt-1)，但產品需求量卻可以隨市場價格做即期變動Qd(t)=Qd(Pt)；（2）產品均為不耐貯藏的商品，為了減少損失，需要在當期（年）清空市場，即Qd(t)=QS(t)；3）市場成交價格取決于在給定的供給量QS(t)下消費者愿意支付的價格，即成交價格Pd(t)=Pd(QSt)。

在上述假定下，只要供給和需求滿足一定的條件，是可以自動實現價格均衡的。現以一個西瓜市場（或生豬市場）以一年為周期的價格波動中自動趨向市場均衡的示例來做說明[3]。假設西瓜供給函數為：QS(t)=-0.5+8p(t-1)，西瓜的需求函數為：Qd(t)=7.0-12 p(t)。西瓜不易保存，為了減少損失，當年生產的西瓜必需當年銷售完畢，即：QS(t)=Qd(t)。如果供給過多，市場價格必然下降；如果供給不足，市場價格自然上升。市場價格完全取決于消費者愿意支付的價格。于是價格會往復波動起來。假設初期西瓜的價格是0.8元/千克，運用蛛網模型可畫出價格蛛網圖。如圖1所示。

圖1 市場價格波動的蛛網模型

從圖中可看出，市場價格最后將趨于均衡價格。

2 一階差分模型

由于蛛網模型的定性意義大于定量作用，如果要想較好地使用數學，上述過程實際上可通過差分方法表示出來。若上年（2000年）西瓜價格是0.8元/千克，則當年（2001年）的價格是：7.0-12p(2001)=-0.5+8×p(2000)=-0.5+8×0.8 ，得：p（2001）=0.09166元/千克。依次類推，依據p(t+1)=7.5+p(t)2/3，可逐年算出西瓜其它年的價格：

由此可見，西瓜價格逐年變動，但總是圍繞均衡價格p*=0.375（元/千克）上下波動，并逐漸趨于均衡價格。

蛛網模型是一種圖解模型，能夠說明價格變動的趨勢，并判斷均衡價格。但模型相當粗糙，難以看出時間在其中的具體作用過程。不管是蛛網模型，還是一階差分模型，連續的時間在模型中都是離散的。價格在一年中只能取一個值，但這個值是平均值、最終值？還是最大值、加權平均值？難以辨別。蛛網模型只能看作是動態模型的初級近似。

3 一階微分模型

為了克服上述模型的不足，可將價格看作是隨時間連續變化的函數。假設在需求、供給曲線都不變的條件下，再來考察價格隨時間的變化過程。

已知需求函數為：Qd(t)=bd-adp(t)，ad＞0；供給函數為：QS(t)=-bs+asp(t)，aS＞0。并假定某一個時刻由于某種原因價格未能處在均衡價格位置。由瓦爾拉斯穩定性判定條件知[4]，如果存在超額需求，即E(pt)=Qd(t)-QS(t)并是正的，買主傾向于提高他們的出價；如果存在超額供給，即超額需求E(pt)=Qd(t)-QS(t)并是負的，則賣主傾向于降低他們的價格。于是有理由相信，超額需求（或超額供給）的存在是引起價格變動的主要原因。即價格變動量與超額需求成正比，據此可假設有一階微分方程成立：

從數學角度看，這是一階線性常微分方程式，它的通解是：p=Ce-(ad+as)t/μ+p*。其中：p*=(bd+bs)/(ad+as)。考慮初始條件，當t=0時，p=p0。故C=p0-p*。則一階微分模型的最終解為：p=(p0-p*)e-(ad+as)t/μ+p*。當t→∞時，p→p*。該模型也說明了經過一定的時間后，產品價格將趨于均衡價格。

圖2 一階模型價格變動趨勢

一階微分模型雖是數學解析模型，可以對價格進行分析和計算，也能判斷價格的走勢。但從圖2看，它并沒有即時反映價格在均衡價格上下隨時間波動的情況，這說明它還只是反映了價格變動規律的一個側面。因此它應屬于一個不完全的動態模型。

4 二階微分模型辨析

一階微分模型認為，超額需求（或超額供給）的存在是影響價格變動的主要原因。表面上看，此觀點不錯，但若仔細思考起來，卻似乎沒有這么簡單。回想物理學在伽利略及以前時代，人們對力的認識，雖已有所了解，但仍很模糊。對力是如何影響運動的以及是不是引起物體運動的直接原因還認識不清。自從亞里士多德時代以來，人們就曾樸素地認為，重力是致使物體下落（位置變化）的直接原因，并且憑直覺直觀地認為越重的物體下落越快。直到伽利略做出傳說中的比薩斜塔實驗，并在“關于兩門新科學的對話”等名篇中說明了兩個不同重量（但同體積）的物體下落也能一樣快，通過實證推翻了近兩千年存在于人們頭腦中的不正確的東西。并將運動區分出速度與加速度的不同，并首次提出了加速度的概念。在這個實驗的基礎上，才由天才的牛頓總結出牛頓定律，說明力是產生運動變化的原因，而不是直接對運動（位置變化）發生影響。

伽利略自由落體實驗給我們對經濟學的研究帶來這樣啟示：它說明重力在一般情況下雖然導致物體的下落（位置變化），但重力不是引起物體位置變化的直接原因，重力不與速度成正比，重力直接影響的實際上是加速度（速度的變化率）大小。若物體有加速度，則物體速度必然變化，物體最終位置當然相應發生變化。有重力，就有加速度，這是現代物理學常識，但正是這一點在當時還經歷了一個相當漫長的認識過程。

此解顯示出，價格將作無休止的波動，并不收斂于均衡價格。與一階模型相比較，一階模型只收斂，不波動；此處二階模型只波動，不收斂。看來它們都未完全準確反映價格既波動又收斂的實際情況。

5 有阻尼二階微分模型建立

上述二階模型為什么不收斂于均衡價格，就在于該模型只考慮影響價格波動的彈性因素，未考慮影響價格波動的阻尼因素。而在蛛網模型中，阻尼因素是隱含存在于圖形之中的，故價格才能收斂于均衡價格。但蛛網模型只能給出了圖解結果。我們知道，在蛛網模型的討論中，并不是任意的供求彈性都能使價格自動調節到均衡價格，在總共三種變化情形中其實只有一種情形才是收斂的，即是要求需求曲線的斜率ad大于供給曲線的斜率aS。否則就不收斂于均衡價格。

圖3 價格波動隨時間變化關系

從圖3可以形象看出價格隨時間的瞬時變化關系，并圍繞均衡價格 p*上下波動。波幅Aj=Ae-nTr是隨著時間的延長而越來越小的，最后趨于零。這說明這種二階模型比較好地反映了價格系統的動態均衡。在現實生活中，完全競爭的農產品市場與上述模型較為接近。可以用上述模型解釋農產品價格波動規律。

6 二階微分模型參數的統計推斷

余下的問題是，假若有某種方法能夠確定二階模型中的參數n和ω或c和μ，那么描述價格波動的微分方程就完全決定了下來。此時解決問題的辦法是：如果價格波動的周期能為某種統計學數據統計推斷出來，上述問題就迎刃而解。

7 阻尼系數與供求彈性的關系分析

但是，上述計算二階模型參數的方法尚存在不足，它需借助于蛛網模型或需單獨計算兩個時期的Aj和Aj+1，然后才能計算出ln(Aj/Aj+1)。能不能直接預測出這些參數的數值呢？

因此，Aj/Aj+1=(ad/aS)2，則 n=ln(Aj/Aj+1)/Tr=2ln|ad/aS|/Tr。這樣就直接建立了阻尼系數n與供求彈性之間的關系。代入前述相應數據后，可以立即算出阻尼系數n=2ln|12/8|/2=0.40546（1/年），仍然與前述計算結果相同。當|ad|=|aS|時，價格系統將處于循環波動之中。當|ad|＜|aS|時，價格系統是發散的。只有當|ad|＞|aS|時，價格系統波動才是收斂的，這與前面蛛網模型的分析也是一致的。

8 結論

本文針對完全競爭農產品市場這一典型市場形態，運用完全的數理分析方法，實證分析了西瓜的生產和銷售中的價格波動過程，剖析了價格形成機理，得到了一些有趣的結論。其動態分析以二階微分方程作為價格波動的主要數學模型，是較為全面和準確的。它雖不能準確解釋現實生活中更多的經濟現象（因其影響因素眾多，太復雜），但作為一種基本數理模型，二階微分模型還是揭示了價格波動的本質的，是在一種理想狀態中反映價格周期性波動情況的。該法為市場供求關系中的價格動態均衡分析帶來了新思路，并為價格均衡的數理分析增添了新方法。

[1]羅納德.肖恩（英）.，動態經濟學[M].吳漢洪等譯北京：中國人民大學出版社，2003.

[2]馮濤.微觀經濟學[M].西安：陜西人民出版社，2001.

[3]張金水.應用微觀經濟學[M].北京：清華大學出版社，2001.

[4]鄭玉歆.中級微觀經濟學[M].北京：經濟管理出版社，2004.

F016

A

1002-6487（2013）14-0058-04

（責任編輯/亦 民）