基于Matlab藍莓樹枝軸向有阻尼自由振動仿真研究

李志鵬，趙德金，郭艷玲

（1.東北林業大學交通學院，哈爾濱150040;2.東北林業大學機電工程學院，哈爾濱 150040）

天然抗氧化水果藍莓在食品、藥品和化工等方面具有巨大的市場潛力，種植藍莓的經濟效益十分顯著，擴大種植面積是一種必然趨勢。由于藍莓成熟期短，在我國完全依靠人工采摘，采摘耗資大、效率低，常因無法及時收獲造成很大的損失［1－6］。為實現藍莓采摘的機械化，需要研究一種高效智能的藍莓采摘機械并解決關鍵技術問題。要實現高效、安全地采摘，振動力大小和方向的確定是很關鍵的，需要現場實測，據此建立藍莓植株三維生長模型，還要在此基礎上分析果枝的受力模型，建立藍莓果樹的振動模型，從而為實際采摘機的設計奠定基礎［7－11］。

1 藍莓樹枝受力分析

由于藍莓樹枝的生長是多角度、空間分布的，當采摘力作用于藍莓側枝時，會在不同生長方向上的藍莓側枝產生不同角度的采摘力，作用于每一個藍莓側枝上的采摘力均會分解得到軸向力和徑向力。如圖1所示，當手指拍打藍莓側枝時，以藍莓側枝軸向為方向，建立空間直角坐標系，同時對力進行正交分解，可得作用在藍莓側枝上的力Fx、Fy、Fz。其中，垂直于藍莓側枝上的力Fy、Fz將引起藍莓側枝的徑向振動，平行于藍莓側枝的Fx力將引起藍莓側枝的軸向振動。

圖1 藍莓側枝受力分析圖Fig.1 Mechanical analysis of blueberry branch

此外，由于藍莓側枝的空間分布及采摘裝置末端執行機構的設置，不可能使所有藍莓側枝均受到采摘力的直接作用。沒有受到采摘力直接作用的藍莓側枝，會在其他藍莓樹枝所產生的軸向受迫振動和徑向受迫振動的影響下，在同一植株樹枝之間的相互連接約束關系條件下，相應地產生軸向自由振動和軸向受迫振動。根據藍莓側枝上是否作用有采摘力以及采摘力的分解分類情況，將長有藍莓果實的樹枝所產生的振動分為:軸向自由振動、軸向受迫振動、徑向自由振動和徑向受迫振動，分類情況見表1。

表1 藍莓樹枝振動分類Tab.1 Forces and vibration classifications for blueberry branch

表2 藍莓樹枝具體參數值Tab.2 Blueberry branch specific parameter value

表3 藍莓側枝激振力——位移表Tab.3 Excitation force of blueberry lateral branch-displacements

為了定量求解藍莓樹枝振動響應輸出，需要實測一組藍莓樹枝具體參數，并施加載荷測定變形量，表2是對品種為北陸的藍莓側枝實測得到的具體數據，表3是對藍莓側枝施加不同方向的作用力后產生的位移。

根據圖1所建立起來的力學模型，再依據表2和表3所提供的數據，可求解藍莓側枝在表1所歸納出振動響應輸出函數。

2 藍莓樹枝軸向有阻尼自由振動實驗仿真

前面在建模時將藍莓側枝簡化為密度均勻、質量均勻變化、無阻尼連續彈性體，而在實際的振動過程中是有阻尼的，由于阻尼的存在使得藍莓側枝無阻尼自由振動響應發生改變，經推導得藍莓側枝軸向自由振動有阻尼振動響應公式為:

式中:a為藍莓側枝有阻尼振動振型參數，a=Z為藍莓側枝縱截面的枝干延長線交點作為Z軸原點，Z軸方向設置為向下，樹枝上的坐標為z;E為藍莓側枝彈性模量;ωn為藍莓側枝軸向自由振動固有頻率;ωdn為藍莓側枝有阻尼自由頻率。

為了分析藍莓側枝自由振動過程中慣性力的大小，下面根據藍莓側枝軸向有阻尼自由振動公式推導藍莓側枝軸向自由振動慣性力公式:

式中:Fd為藍莓側枝軸向有阻尼自由振動慣性力;m0為藍莓果實質量;φr為偏移相位角a為藍莓側枝有阻尼振動振型參數。

為了能夠觀察到藍莓樹枝在做軸向有阻尼自由振動過程中振動曲線和慣性力的動態變化，采用MATLAB軟件對藍莓側枝軸向有阻尼自由振動響應公式（1）和藍莓側枝軸向有阻尼自由振動慣性力公式（2）進行動態仿真實驗，并對仿真結果進行分析。具體如下:

假定在t=0時刻，藍莓側枝根部z2處，在10 N的初始外力作用下產生一定的靜變形b，由此得到:初始位移x0=b;初始速度x′0=0;由表3中實測數據得到:當軸向外力為10 N時，藍莓側枝的軸向靜變形量為0.013 m。由此得到:x0=b=0.013m。

由表2得到:藍莓側枝面積衰減率β=0.23×10－3m2/m，藍莓側枝彈性模量E=506 MPa，藍莓側枝末端集中質量m=248 g，將以上數據代入藍莓側枝軸向自由振動固有頻率公式取n=1，n=2 得:ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1。

由表2得:ξ=1.3%，將ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1，ξ=1.3%代入有阻尼自由振動公式

將x0=0.013m，x′0=0，ξ=1.3%，ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1代入初始相位角公式

由表2得:藍莓樹枝根部坐標z2=0.66m，藍莓樹枝末梢坐標z2=0.66m，藍莓樹枝密度ρ0=0.78g/mm3，藍莓樹枝彈性模量E=506MPa，將g（z2）=0.013m及以上數據代入藍莓側枝軸向有阻尼振動振型參數公式 （1），得:

圖2 藍莓側枝有阻尼自由振動曲線Fig.2 Free vibration curve of blueberry lateral branch

圖3 藍莓側枝軸向有阻尼自由振動慣性力動態變化曲線Fig.3 Free vibration curve of inertial force from blueberry lateral branch

為提高計算精度，取n=10，計算得:a=0.008 3。

將振型參數a=0.008 3，藍莓樹枝密度ρ0=0.78g/mm3，藍莓樹枝彈性模量E=506MPa，ξ=1.3%，ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1，ωd1=959rad－1，ωd2=1 349rad－1，φd1= φd2=1.55，φr1=φr2=0.026代入公式（1）得到，表2所測藍莓側枝在t=0時刻、10 N初始外力作用于藍莓側枝根部產生初始條件為:x=0=0.013m，x′0=0的實測藍莓側枝軸向有阻尼自由振動響應公式（1）由表2得藍莓果實質量為:m0=3.91g，結合公式（1），由公式（2）得到表2所測藍莓側枝在t=0時刻、10 N初始外力作用于藍莓側枝根部產生初始條件為x0=0.013，x′0=0的實測藍莓側枝軸向有阻尼自由振動慣性力公式:

3 結束語

為了能夠定性分析藍莓受迫振動的響應過程，采用MATLAB軟件，仿真分析藍莓側枝軸向有阻尼自由振動輸出動態響應曲線，如圖2所示。從圖中可以看出藍莓側枝在不同時刻、不同位置的振動幅值大小和所產生的慣性力大小。由于阻尼比的存在，阻礙系統的振動，隨著振動時間的延長，藍莓側枝的振幅和所產生的慣性力越來越小趨于0，最后停止振動。

藍莓側枝軸向有阻尼自由振動慣性力動態變化曲線如圖3所示，可以看出在振動初期瞬態所產生的慣性力很小，所以軸向有阻尼自由振動很難實現對藍莓果實的采摘。為后續的研究奠定了基礎。

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