主動轉向系統魯棒控制的研究

季鵬凱，沈 斌，陳 慧，章 桐

(1.同濟大學機械工程學院，上海 200092;2.同濟大學中德學院，上海 200092;3.同濟大學新能源汽車工程中心，上海 201804)

前言

主動轉向系統是可靠性與靈活性的有效結合，為汽車轉向性能的提升提供了更大的發展空間。主動轉向系統是在保持轉向系統機械連接的基礎上集成了變傳動比機構而引入一個疊加轉向轉角到轉向系統中，通過此疊加的轉向角可以對轉向過程進行主動干預，同時在主動轉向控制系統失效時還可通過機械連接實現轉向功能。主動轉向控制策略是實現其性能的基礎之一，現代最優魯棒控制技術在主動轉向系統的應用獲得了廣泛研究［1-3］，它考慮了車輛模型的各種不確定性、外界的各種干擾和傳感器噪聲等因素，來實現系統的魯棒穩定性和魯棒性能。主動轉向系統對整車動力學特性將產生一定的影響，會減小整車的轉向剛性，并產生柔性轉向。針對模型參數不確定性，按H∞標準算法設計的控制器往往過于保守，而采用μ綜合的方法可降低控制器的保守性，更容易獲得相對精確的控制器。本文中將主動轉向系統與2自由度整車模型集成，對模型參數不確定性進行了分析，采用了H∞標準算法、環路成形和μ綜合的方法分別設計了最優魯棒控制器。針對此3種控制器分別進行了μ分析和非線性仿真分析，并進行比較。

1 系統模型分析

1.1 整車模型

在近似恒定車速的平面運動情況下，2自由度整車模型可很好地體現整車在轉向過程中的動力學特性。平面運動的2自由度整車模型結構如圖1所示。忽略轉向系統動力學特性、懸掛動力學特性、空氣阻力和前輪轉角Ackerman幾何約束等的影響，車輛恒速行駛，汽車只做平面運動，整車可以簡化成2自由度的非線性模型，即y軸方向的移動和繞z軸的橫擺運動。

整車模型［1，3］可表達為

輪胎側偏角［3-4］可表示為

式中:γ為橫擺率，β為整車側偏角，m為整車質量，I為整車z軸轉動慣量，lf和lr分別為質心距前、后軸的距離，v為質心車速，fw為側風干擾，δs為前輪轉角，αi和fyi(i=f，r分別表示前輪和后輪)分別為輪胎側偏角和橫向力。前、后輪胎的側向力采用Pacejka的“魔術公式”計算［4］:

式中 bi，ci，di和 ei(i=f，r)分別為剛性因子、形狀因子、峰值因子和曲率因子，其參數決定于輪胎特性、路面狀況和車輛操縱狀態等因素。設路面摩擦因數為1，輪胎模型的各參數的數值如表1。

表1 輪胎模型參數

在小側偏角假設的情況下進行如下的線性近似處理:

式中Kf和Kr分別為前、后輪的側偏剛度。則可以得出忽略側風干擾的線性2自由度整車模型為

1.2 主動轉向系統模型

主動轉向系統中動力學模型如圖2所示。圖中，Th、δc和 Jc分別為轉向盤轉矩、轉向盤位置和轉向盤轉動慣量，Tm1、δm1和 Jm1分別為主動轉向控制電機轉子的輸出轉矩、位置和轉動慣量，Ts、δs和 Js分別為轉向機和輪胎等集中質量轉換到前輪主軸銷的轉矩、位置和轉動慣量，Bc和 kc為管柱的阻尼和剛度系數，Bm1和km1為主動轉向控制電機的阻尼和剛度系數，δp為小齒輪的位置，im為主動轉向電機轉子到小齒輪的傳動比，ic為轉向盤到小齒輪的傳動比，is為小齒輪到輪胎主軸銷的傳動比，ζ為輪胎拖距。

忽略各轉動慣量與阻尼的影響，根據主動轉向系統的結構可以列出如下方程組［5］:

從而得出轉向車輪轉角 δs與 δc，δm1，β 和 γ 的關系式:

1.3 引入主動轉向系統、模型參數不確定性和側向干擾的整車模型

轉向系統模型的動力學特性對整車動力學特性會產生較大的影響，所以主動轉向系統的模型應該集成到整車模型中，同時考慮側風等側向力的干擾，定義:x=［β，γ］T，υ =［δc，fw，δm1］，則

因為ρ總是小于1，由上述方程中可以看出，主動轉向系統的引入使得前輪側偏剛度變得偏小，使整車動力學特性更加偏向不足轉向特性，適當的不足轉向可提高轉向過程的安全性，但過度的不足轉向特性會使車輛駕駛變得困難，增加駕駛者微調節的負擔。

考慮到汽車速度信號可以通過傳感器和觀測器精確獲得，所以本文中僅考慮前、后輪胎的側偏剛度的不確定性和整車轉動慣量的不確定性，同時注意到ρ和Kf總是同時出現，設定不確定性參數如下:

其中，p1，p2和 p3反映了各參數 ρKf，Kr和 I與名義參數和偏離的百分比。定義輔助信號:

其中:Δ =diag(δ1，δ2，δ3)

可以得到如下具有不確定性的整車模型:

其中:u=δm1;ω =［δc，fw］T;yu=γ

2 魯棒控制器的設計

2.1 系統廣義模型分析與加權函數設計

主動轉向控制系統的開環結構如圖3所示。圖中:yd為期望的橫擺速率;yn為帶有量測干擾(Noise)的整車模型橫擺速率響應;yu為整車模型的響應輸出;ey和eu分別代表對性能和控制量的評價指標;Gr為參考模型;Gv為整車模型;Wp、Wu和Wn分別為性能加權函數、控制量加權函數和量測噪聲加權函數。

Gr定義為一階傳遞函數［2］:

式中isd為期望轉向傳動比。

魯棒控制器的設計在一定程度上取決于各加權函數的選擇。Wp和Wu體現各變量的頻率特性和指標間的相對重要性。Wp-1約束了閉環系統靈敏度函數的頻響幅值范圍，對閉環系統與理想模型的跟蹤誤差范圍和外界干擾對系統輸出的影響程度進行了限制，一般要求在低頻范圍內獲得較高的跟隨精度，在高頻部分考慮高頻量測干擾等的影響而降低跟隨精度的限制。Wu用于限制控制作用的最大輸出量，確保高頻時的控制能量消耗低和低頻時的控制精度高。Wn定義為高通濾波器，用于模擬傳感器的噪聲頻域模型，并體現傳感器在不同頻率時的量測精確程度。各加權函數定義如下:

將轉向盤的輸入看做是擾動，將開環系統結構表示為Gop，集成魯棒控制器 C和不確定性模塊的閉環系統結構表示為圖4。

2.2 控制器的設計

設計目標是求解有理控制器C使增廣被控對象Gop內部穩定，且輸入w到輸出z的傳遞函數‖LFTL(LFTU(Gop，Δ)，C)‖∞＜1，LFTL和 LFTU分別表示下分式變換和上分式變換。考慮結構不確定性，為了同時獲得魯棒穩定性和魯棒性能，采用μ綜合方法進行魯棒控制器設計［6］。μ綜合方法是基于結構奇異值的迭代算法，分別交替保持D和K不變，逐次迭代求解，每次計算使式(16)的左側減小。

式中DΔ為一對角陣集合，其中的任意元素D滿足D·Δ=Δ·D，DΔ可定義為

迭代過程中首先預設對角常數縮放矩陣D的初值(例如單位矩陣)，然后固定D通過求解標準H∞最優問題求解C:

然后固定所求得的C，在選定的頻率范圍內通過求解凸最優問題，即求解D:

并通過曲線擬合D(jω)獲得D(s)，此D(s)可用于下次求解C的迭代中，重復上述過程反復進行迭代計算，直到終止條件達到，來求得魯棒控制器。

車輛參數見表2，基于表2中的參數，采用μ綜合方法經過9次D-K迭代計算可以獲得一個23階控制器Cmu，最大結構奇異值為0.97。

基于相同的權函數，采用標準H∞算法，即通過求解Riccati方程的設計方法可獲得一個7階魯棒控制器Cinf，其H∞范數為0.33。

另外還可以采用H∞環路成形的設計方法進行魯棒控制器設計［1］，H∞環路成形方法不采用上述的加權函數，而是采用前、后補償器，即W1和W2，分別設為

表2 車輛參數

可獲得一個最大穩定邊界為0.4的4階魯棒控制器 Clsp。

控制器的階次代表控制器動力學模型的內部狀態數量，控制器的輸出可看作是各狀態的加權和，所以控制器的階次越高越容易實現對復雜對象的控制，越容易獲得高的綜合性能指標，但高階次控制器同時也會帶來實施的困難、高成本和可靠性降低等不利因素。在確保控制效果的前提下忽略模型的次要部分可實現對控制器動力學模型的降階。

2.3 控制器降階處理

μ綜合分析方法獲得的控制器Cmu的階次一般較高，為便于實際工程應用，須對獲得的控制器進行降階處理［7］。將控制器模型平衡處理后，采用Hankel范數近似方法實現降階處理，獲得10階的降階控制器Cmrd如下:

2.4 控制器對比分析

各控制器的頻響曲線如圖5所示。由圖可見:全階(23階)控制器與降階(10階)控制器的bode圖直到104rad/s的頻率范圍，兩者的曲線都很接近，表明由各控制器實現的閉環系統將具有相近的性能;Clsp的低頻增益最大，Cmrd與Cinf的低頻相位響應相近，而Clsp的低頻相位滯后最大。

圖6為結構奇異值(μ)分析結果。由圖可見:雖然在給定的參數范圍內，3個控制器都可以保證常規穩定性和性能指標，但Cinf不能完全確保魯棒穩定性和魯棒性能，Clsp可確保魯棒穩定性但不能確保魯棒性能，Cmrd的魯棒性能指標在低頻部分不很理想，但在此頻段的整體范圍內可同時確保魯棒穩定性和魯棒性能。

3 非線性仿真

計算機系統仿真實施框圖如圖7所示，其中P為非線性整車模型。仿真時間均為5s。仿真中增加了最大橫擺率限制功能，設置參數 Yawlmt為0.35rad/s，以便當參考模型輸出的橫擺率超出車輛穩定限值時對汽車轉向進行限制，實現主動安全，Yawlmt可以看做是對Gr模型的擴展。

雙移線仿真結果如圖8所示，因為3個控制器的響應性能比較相近，所以圖中僅給出采用控制器Cmrd的結果曲線。由圖可見:非線性整車模型橫擺率響應很好地跟隨參考模型Gr的期望響應輸出，從而可以控制轉向系統對整車動力學特性的影響，并可以獲得期望的整車動力學特性和期望的轉向傳動比。例如隨速動態調整isd，在高速時提高轉向傳動比來提高駕駛穩定性，在低速時降低轉向傳動比來提高操縱靈活性。

側風干擾仿真結果如圖9所示，假設在1～2s時間區間突然受到4kN的側風干擾，并假設駕駛人員沒有對此干擾進行響應，并分別采用3種控制器進行仿真。由圖可見:各魯棒控制器都能有效抑制橫擺率的波動，使整車基本保持原行駛航向;控制器Cmrd的穩態誤差最大，超調量最小，另兩個控制器的表現則相反，這與圖6的魯棒性能曲線表現相一致。

轉向盤轉角階躍輸入仿真結果如圖10所示，假設轉向盤在0.5s時階躍輸入1.5rad轉角，并分別采用3種控制器進行仿真。由圖可見:采用3個控制器的各主動轉向系統都可自動彌補轉向系統的柔性轉向，提高轉向靈敏度，也可在橫擺率最大限值的情況下，抑制轉向靈敏度，提高整車穩定性和主動安全性;控制器Cinf表現出較快的響應速度，超調量最大和穩態精度略差，控制器Clsp和Cmrd具有較好的穩態精度，3種控制器對橫擺率的控制或抑制，和行駛軌跡的影響具有相近的效果。由圖10(c)可見:對最大橫擺率的限制使行駛軌跡產生一定偏離，所以最大橫擺率限值的設定應在合理范圍內，以降低對汽車目標行駛軌跡的影響。

4 結論

在2自由度線性整車模型的基礎上集成了主動轉向系統模型，并考慮了前、后輪側偏剛度和整車轉動慣量的不確定性，建立了線性和非線性整車系統模型。通過標準求解Riccati方程、環路成形和μ綜合等方法分別設計了最(或次)優魯棒控制器，對Cmu進行了降階處理，對各控制器進行了魯棒穩定性和魯棒性能分析。基于非線性整車模型采用3種魯棒控制器進行了系統仿真。μ分析結果表明，Cinf不能完全確保魯棒穩定性和魯棒性能，Clsp可確保魯棒穩定性但不能確保魯棒性能，雖然Cmrd的魯棒性能指標在低頻部分不很理想，但在此頻段的整體范圍內可同時確保魯棒穩定性和魯棒性能。尤其考慮結構不確定性，Cmrd更容易獲得較小的保守性和整體較高的控制精度。非線性仿真結果表明，3種魯棒控制器都能較好抑制模型參數不確定性、側向干擾和量測噪聲干擾，并能降低主動轉向系統對整車動力學特性的影響，獲得期望的轉向傳動比，有利于提高整車的靈活性、穩定性和主動安全性。

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