基于模態綜合和移頻方法的中頻段模態計算

李興泉，鄧兆祥，李英強，章竟成，王騰騰

(1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030;2.汽車噪聲振動和安全技術國家重點實驗室，重慶 400039;3.重慶長安鈴木汽車有限公司，重慶 401321)

固定界面模態綜合方法將復雜結構劃分為若干個子結構，采用各子結構的靜力模態和低階主模態對該子結構進行降階變換，再將各子結構降階矩陣綜合成系統降階動力學方程，即可求解系統低階動態特性［1-2］。相對于傳統有限元方法，模態綜合方法僅保留少數低階子結構主模［3］，因此，其構建的系統動力學方程階數較低，更適用于復雜結構的低頻動態特性計算。但對于劃分成多個子結構的復雜結構來說，其界面自由度多，這影響了系統動力學方程的求解效率。為了進一步降低界面自由度的數量，部分文獻采用特征約束模態進行界面自由度降階，即基于特征約束模態降階的模態綜合方法［4-6］該方法減少了系統方程中的界面自由度數，提高了模態綜合方法計算效率。但在實際的結構設計問題中，常常只需要計算某頻段處的振動特性。文獻［3］研究表明，各子結構的低階主模態對較高頻率的系統模態有重要影響，這說明即使只需要計算系統中頻段模態，也要保留各子結構的低階主模態，這使中頻段模態的計算效率不高。在傳統有限元方法計算系統中頻模態時，可以采用移頻方法來提高結構振動特性的計算效率［7-8］。SHYU 等［9-10］采用該移頻方法來計算靜力模態，提出了準靜力模態方法，該準靜力模態考慮結構慣性質量的影響，提高了模態綜合的求解精度，但文中仍然采用原來的子結構主模態，這導致經過坐標變換后的子結構剛度矩陣不解耦，影響了模態綜合的計算效率。文獻［3］在此基礎上采用移頻后的剛度矩陣計算子結構主模態，這使坐標變換后的子結構剛度矩陣實現了解耦，文中還研究表明:采用移頻方法后，子結構的低階主模態對系統中頻段模態的影響較小，因此低階的主模態可以截斷，這提高了系統中頻模態的計算效率。但在復雜結構的中頻段振動特性計算中，界面自由度多，此時系統界面自由度對應的特征約束模態的截斷問題也顯得相當重要，如何減少特征約束模態的數量，以進一步提高復雜結構中頻段振動特性的計算效率，未見相關文獻報道。本文推導了低階特征約束模態對系統中頻模態的影響，并采用移頻技術來解決了低階特征約束模態的截斷問題，提高了模態綜合方法對復雜結構中頻段特性計算的效率。

1 特征約束模態降階的模態綜合方法

本文是研究采用特征約束模態降階的模態綜合方法計算復雜結構中頻段模態時，低階特征約束模態的截斷問題，因此，首先對該模態綜合方法進行簡單介紹。

基于特征約束模態降階的模態綜合方法，是在固定界面模態綜合方法的基礎上，對系統質量和剛度矩陣中界面自由度對應的部分進行特征分解及降階變換，再由降階后的界面矩陣組集成系統降階動力學方程，從而求解系統低階振動特性。假設固定界面模態綜合方法計算的廣義坐標下無阻尼系統動力學方程為［1-2］:

式中:下標O和T分別為所有主模態對應的自由度標號和界面自由度標號，MOO、KOO分別為所有子結構主模態對應的系統降階質量矩陣和剛度矩陣，MTT、KTT分別為所有界面自由度對應的系統界面質量矩陣和剛度矩陣，Q表示系統模態坐標。

由于各子結構只取少數低階主模態，這使主模態對應的矩陣MOO和KOO的維數遠小于所有子結構的內部自由度之和，則式(1)所示的降階系統動力學方程的維數遠小于有限元模型的自由度數，系統低頻振動特性計算更容易，這是模態綜合方法更適合于復雜結構振動特性計算的原因。

但在式(1)中，系統界面質量矩陣MTT和剛度矩陣KTT的維數仍然等于結構的界面自由度，對于劃分成多個子結構的復雜結構來說，界面自由度多，界面質量和剛度矩陣的維數仍然較大，這影響了由式(1)計算系統低頻振動特性的計算效率。

針對系統界面矩陣維數較大的問題，文獻［4］等提出了采用特征約束模態來對系統界面矩陣進行降階的方法，以提高模態綜合的計算效率。該方法的基本原理為:界面質量矩陣MTT和剛度矩陣KTT是將結構的內部自由度靜力聚縮到界面自由度上的矩陣。對于結構的低頻特性計算問題，可以只取表征結構中低頻振動特性的模態來對質量和剛度矩陣進行降階，以減小振動特性的計算量。為此，先對式(1)中的界面矩陣進行特征分解:

式中，λc為特征值，Θc稱為特征約束模態［4］，取前m階特征約束模態Θcm(m＜T)，并對界面矩陣進行降階坐標變換:

式中變換后，Kcm和Mcm都是m維的方陣，遠小于界面自由度數T。對式(1)中矩陣副對角元素進行相應變換，即可重新構成系統降階動力學方程:

求解該方程并進行振型回代，即可得到系統中低頻模態頻率，這就是基于特征約束模態降階的模態綜合方法。相對于式(1)，式(4)所示的系統動力學方程的界面對應的自由度大為減小，提高了復雜結構低頻動態特性計算的效率。

2 低階特征約束模態的影響

在復雜結構的振動設計中，通常只關心某一中頻段的振動特性。采用基于特征約束模態降階的模態綜合方法計算中頻段模態時，保留了所有的中低頻主模態和特征約束模態，這影響了復雜結構中頻段模態的計算效率。文獻［3］研究了子結構的低階主模態對系統中頻模態有重要影響，并采用了移頻技術來對低頻主模態進行截斷。但對于特征約束模態與系統中頻段模態的關系，以及低階特征約束模態的截斷問題未見相關報道，下面將對這些問題展開研究。

首先研究基于特征約束模態降階的模態綜合方法中，低階特征約束模態對中頻段模態的影響。為此，將式(3)中所選取的特征約束模態Θcm分為需要保留的特征約束模態Θcma和準備截掉的模態Θcmb兩部分。由這兩部分特征約束模態重新進行變換，則變換后式(4)所示的系統降階方程可以重新寫為:

式中，Mcma、Mcmb分別為特征約束模態Θcma和Θcmb對應系統降階界面質量矩陣，系統界面剛度矩陣的相應部分的意義相同。對上式的第三行展開，則模態坐標Qmb可表示為:

以上分析表明，當需要計算系統中頻段模態時，低階特征約束模態不能夠截斷，這使采用基于特征約束模態降階的模態綜合方法計算復雜結構中頻段模態時計算效率不高。

3 移頻及低階特征約束模態截斷

在傳統有限元方法計算系統中頻模態時，可以采用移頻方法來提高結構振動特性的計算效率［7-8］。SHYU等［9-10］將該移頻方法應用到了固定界面模態綜合方法上，提出了準靜力模態方法，但子結構矩陣坐標變換時仍然采用移頻前的主模態，這使變換后的剛度矩陣不解耦，系統特性計算效率仍然不夠高。文獻［3］進一步采用移頻后的剛度矩陣計算了子結構主模態，并對低階主模態進行截斷。但在復雜結構的中頻段振動特性計算中，界面自由度多，此時系統界面自由度對應的特征約束模態的截斷問題也顯得相當重要，如何減少特征約束模態的數量，以進一步提高復雜結構中頻段振動特性的計算效率，未見相關文獻報道。下面將采用移頻方法，對低階特征約束模態的截斷問題進行研究。

假設需要計算結構某中頻段內的模態，該頻段內系統本身的圓頻率為ω，該頻段的中心圓頻率為ω0。根據傳統有限元計算中移頻方法的基本思想，對子結構的無阻尼自由振動微分方程進行移頻處理:

式中:x表示子結構物理坐標，k和m為子結構物理坐標下的剛度和質量矩陣。為移頻后的系統模態圓頻率，其表達式為:

式中，下標i和j分別為內部自由度和界面自由度標號，mii為子結構所有內部自由度對應的質量矩陣，其它矩陣的意義類似。

移頻之后，子結構的靜力模態變為:

準靜力模態中考慮慣性質量的影響，提高了系統模態的計算精度。但在子結構坐標轉換過程中如果仍然采用移頻前的主模態，將會使坐標轉換后的子結構剛度矩陣不解耦，這將影響系統模態的計算量［9］。因此，需要對子結構剛度矩陣和質量矩陣中的內部自由度對應的部分重新計算主模態，即求解如下特征方程。

式中:λ為子結構主模態的特征值，φ為子結構主模態。取子結構的前k階主模態構成向量矩陣:

由移頻后的子結構主模態和準靜力模態，即可構成子結構的坐標轉換矩陣為:

由該移頻后的坐標變換矩陣，就可以對子結構的質量和剛度矩陣進行變換，如對剛度矩陣的變換過程為:

式中，轉換后的剛度矩陣的對角元素的表達式為:

式(15)表明，移頻后的子結構剛度矩陣經過坐標變換后，對角元素為0，即剛度矩陣實現了解耦，這使后面模態綜合的計算效率較高。

由各子結構的坐標變換后的質量和剛度矩陣，按基于特征約束模態降階的模態綜合方法構建系統降階動力學方程。則(5)式所示的系統動力學方程可以重新表示為:

式(16)中，同樣將前m階特征約束模態對應的系統界面自由度分為保留的部分a和準備截掉的部分b，以研究移頻后各特征約束模態的貢獻。

將式(16)的第三行展開，并將式(17)代入，則式(6)可重新寫為:

以上推導表明，對于復雜結構的中頻段模態計算問題，采用移頻技術后，低階特征約束模態都可以截斷，需要保留的高階特征約束模態也更少。相對于不采用移頻方法，參與計算的特征約束模態數減小，提高了模態綜合方法對中頻段問題的計算效率。

4 算法驗證

圖1所示的白車身有限元模型中，采用網格尺寸為20 mm的殼單元來建立個板件有限元模型，并采用梁單元來模擬焊點。共有201 231個節點，138 032個單元，其中包括117 539個四邊形單元，14 951個三角形單元和5 542個梁單元。各板件的厚度及材料參數均由廠家提供。

圖1 白車身有限元模型Fig.1 Prototype vehicle mode

在車身上發動機右安裝點處施加一單位激勵，頻率為0～400 Hz，采用基于特征約束模態降階的模態綜合方法計算車身0～400 Hz頻率范圍內的模態，并采用模態疊加法計算了駕駛員座椅處地板上的振動加速度。在160～190 Hz的中頻段上，該點Z方向的振動加速度響應曲線有明顯的峰值。本文采用移頻方法，來計算該中頻段內的結構響應特性，以驗證移頻方法對提高復雜結構中頻段振動響應特性計算效率的有效性。在計算過程中采用NASTRAN軟件的DMAP語言編寫求解序列，并在一臺雙核2G內存的計算機上進行計算。

在160～190 Hz的中頻段上，其中心頻率為ω0=175 Hz。以該中心頻率對子結構動力學方程進行移頻處理，并對移頻后的子結構主模態和特征約束模態進行截斷。表1列出了是否采用移頻方法時，特征約束模態、子結構主模態和系統模態截斷的頻率及保留的模態數。

表1 模態頻率范圍及階數對比Tab.1 Modal frequency range and modal numbers comparison

表1中，fcc、fi、fs分別表示特征約束模態、主模態和系統模態保留的頻率范圍，Ncc、Ni、Ns表示各模態在其頻率范圍內保留的模態階數。

在表1中，第一行表示未采用移頻方法的基于特征約束模態降階的模態綜合方法的計算結果。按照模態疊加方法的原理，要計算最高頻率到190 Hz的響應加速度，需要2倍以上的系統模態來進行疊加，因此取系統模態為400 Hz。在基于特征約束模態降階的模態綜合方法中，需要保留系統最高計算頻率的2倍頻率范圍內的主模態和2.5倍頻率范圍內的特征約束模態［5］，因此保留了子結構0～800 Hz以內的主模態和0～1 000 Hz以內的系統模態。

表1的第二行表示采用移頻方法后的計算結果。在采用移頻方法計算的各階模態中，相當于考慮了關心頻段的中心頻率175 Hz處的慣性質量的影響，因此，可以取較窄頻段內的模態來進行振動響應的計算。文獻［3］中推薦保留關心頻段寬度的2倍頻帶范圍內的主模態來進行模態綜合計算。本文需要計算160～190 Hz頻段范圍內的振動響應，則保留該頻帶寬度的2倍頻段內的系統模態，即保留130～220 Hz范圍內的系統模態;相應地，取2倍系統模態頻段寬度，即85～265Hz內的子結構主模態和特征約束模態來進行振動特性的計算。

由表1可見，采用移頻方法后的計算結果中(第二行)，需要保留的特征約束模態頻率范圍fcc，由移頻前的0～100 Hz減小到80～270 Hz，保留的特征約束模態數Ncc由1134階減少到了179階。說明采用移頻方法后實現了低階特征約束模態的截斷，也保留了更少的高階模態數，這與移頻方法的理論推導結果一致。同時，采用移頻方法后，保留的子結構主模態頻率范圍fi和系統模態頻率范圍fs，以及它們對應的模態數Ni和Ns，也都相應地減小。說明采用移頻方法后，提高了模態綜合方法的計算效率。

采用移頻方法后，駕駛員座椅處地板上的振動加速度響應如圖2所示。

圖2 振動加速度響應對比Fig.2 acceleration computation error comparison

在圖2中，實線為基于特征約束模態降階的模態綜合方法計算的加速度響應，虛線為采用移頻方法后的模態綜合方法的加速度響應。由圖可見，在160～190 Hz的關心頻段范圍內，振動加速度響應具有較高的計算精度，離中心頻率175 Hz越遠，響應的計算精度逐漸變差。

在中頻段振動特性的計算時間上，采用基于特征約束模態降階的模態綜合方法計算時需要44分鐘，采用移頻方法后僅需要24分鐘。這是因為采用移頻方法后，由于保留的特征約束模態、子結構主模態和系統模態的頻率帶寬度都較窄(如表1中第二行所示)，這減小了系統動力學方程的維數，提高結構中頻段振動響應的計算效率。

由以上分析可見，在基于特征約束模態降階的模態綜合方法的基礎上，采用移頻方法對系統中頻段振動響應進行計算時，在保證較好的計算精度的同時，減小了計算時間，說明本文采用的移頻方法計算復雜結構中頻段模態時具有較高的計算效率。

5 結論

在復雜結構的中頻段模態計算時，理論推導表明:傳統的模態綜合方法的低階特征約束模態對系統中頻模態有影響，不能截斷;采用移頻方法后，低階特征約束模態和子結構主模態的低頻部分都能截斷。該方法對白車身有限元模型的中頻段振動特性的計算結果表明:采用移頻方法后，有效減少了需要保留的特征約束模態和子結構主模態的階數，縮短了計算時間。說明本文所采用的移頻方法提高了復雜結構中頻段振動特性計算的效率。

［1］殷學綱，陳 淮，蹇開林.結構振動分析的子結構方法［M］.北京:中國鐵道出版社，1991，9.

［2］Bampton M，Craig R.Coupling of substructures for dynamic analysis［J］.AIAA Journal，1968 ，6(7):1313-1319.

［3］ Zhang G，Component-based and parametric reduced-order modeling methods for vibration analysis of complex structures［D］. Mechanical Engineering. The University of Michigan，2005.

［4］姜忻良，王 菲.基于勢能判據的約束模態綜合法截斷準則［J］.振動與沖擊，2011，30(2)32-38.

JIANG Xin-liang， WANG Fei. Mode cut-off criterion of constrained mode synthesis method based on a potential energy criterion［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(2)32-38.

［5］ Simon D M，Cost T L.Selection of characteristic constraint modes for component mode synthesis using a modification of effective interface mass［C］//46th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures，Structural Dynamics and Materials Conference. Austin:American Inst. Aeronautics and Astronautics Inc.，2005:6564-6583.

［6］Castanier M P，Tan Y C，Pierre C.Characteristic constraint modes for component mode synthesis［J］.2001，39(6):

［7］張安平，陳國平.一種新的有限元模型移頻動力縮聚法［J］.計算力學學報，2011，28(2):168-172.

ZHANG An-ping，CHEN Guo-ping.A noveldynamic condensation method with shift for finite element models［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2011，28(2):168-172.

［8］Zhao Q C，Chen P，Peng W B.Accelerated subspace iteration with aggressive shift［J］.Computers and Structures，2007，85:1562-1578.

［9］Shyu W H，Ma Z D，Hulbert G M.A new component mode synthesis method:quasi-static mode compensation［J］.Finite Elements in Analysis and Design，1997，24:271-281.

［10］Shyu W H，Gu J M，Hulbert G M.On the use of multiple quasi-static mode compensation sets for component mode synthesis of complex structures［J］.Finite Elements in Analysis and Design 2000，35:119-140.