高速凸輪NURBS廓線改進(jìn)人工魚群多目標(biāo)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化

玄冠濤，邵園園，呂釗欽，馮顯英，鄭繼周

(1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 機(jī)械與電子工程學(xué)院，山東省園藝機(jī)械與裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，泰安271018;2.山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，濟(jì)南250061)

隨著生產(chǎn)發(fā)展的需要，高速凸輪機(jī)構(gòu)在輕工、內(nèi)燃機(jī)等自動(dòng)、半自動(dòng)機(jī)械中應(yīng)用越來越廣泛。凸輪轉(zhuǎn)速越高，系統(tǒng)受到的振動(dòng)和沖擊越大，特別是從動(dòng)件的殘余振動(dòng)會(huì)造成凸輪機(jī)構(gòu)的定位精度變差和傳動(dòng)精度降低，因此必須對(duì)從動(dòng)件的殘余振動(dòng)進(jìn)行控制。Wiederrich［1］分析了多自由度凸輪機(jī)構(gòu)殘余振動(dòng)準(zhǔn)則，Chew等［2］通過控制從動(dòng)件上有效的彈簧力實(shí)現(xiàn)凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化并提出了一種減少殘余振動(dòng)的直接方法，Yamada等［3］則利用反饋控制減少殘余振動(dòng)，Grewal等［4］對(duì)不同凸輪廓線下高速?gòu)椥酝馆啓C(jī)構(gòu)的性能進(jìn)行了分析和比較，孫樹峰等［5-6］分析了凸輪 NURBS廓線、廓面的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，但并未深入研究動(dòng)態(tài)特性。

本文采用非均勻有理B樣條(Non-uniform rational B-Splines，NURBS)重構(gòu)高速凸輪廓線，建立高速凸輪機(jī)構(gòu)單自由度彈性動(dòng)力學(xué)模型，基于改進(jìn)的人工魚群算法對(duì)NURBS廓線進(jìn)行多目標(biāo)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化，保證凸輪良好運(yùn)動(dòng)性能的同時(shí)，最大限度的抑制振動(dòng)和沖擊。

1 高速凸輪廓線NURBS重構(gòu)

一條k次NURBS曲線定義為:

式中di(i=0，1，…，n)為控制頂點(diǎn);wi(i=0，1，…，n)為權(quán)因子;Ri，k(u)為k次有理 B 樣條，Bi，k(u)為由節(jié)點(diǎn)矢量U=［u0，u1，…，un+k+1］決定的k次 B 樣條有理基函數(shù)。

高速凸輪廓線NURBS重構(gòu)，就是利用廓線的采樣點(diǎn)，根據(jù)式(1)、(2)反求出相應(yīng)NURBS廓線的控制頂點(diǎn)及權(quán)因子，通過相關(guān)參量調(diào)整實(shí)現(xiàn)凸輪NURBS廓線優(yōu)化。無量綱表示［7］的高速凸輪NURBS廓線的位移、速度、加速度和躍度表示為:

式中:(T)、(T)和(T)為k次有理B樣條的1階、2階和3階導(dǎo)數(shù)。若運(yùn)動(dòng)規(guī)律的加速度和躍度連續(xù)，理論上就不存在剛性和柔性沖擊，對(duì)降低殘余振動(dòng)和提高定位精度很有利，因此須保證NURBS曲線的次數(shù)k≥3。同時(shí)為減小高速凸輪機(jī)構(gòu)的最大速度Vm、最大加速度Am，還要取較低的次數(shù)，一般取3≤k≤5。

2 高速凸輪多目標(biāo)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 彈性動(dòng)力學(xué)模型

在高速凸輪機(jī)構(gòu)中，受系統(tǒng)參量(質(zhì)量、阻尼和剛度等)的影響，從動(dòng)件實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律與理論運(yùn)動(dòng)規(guī)律存在偏差，并伴有沖擊、振動(dòng)和噪聲，須將凸輪機(jī)構(gòu)看成一個(gè)彈性系統(tǒng)，建立圖1單自由度彈性動(dòng)力學(xué)模型，Koster［8］已證明該模型具有足夠精度。

圖1 單自由度彈性動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Single degree of freedom dynamic model

圖1中m為系統(tǒng)等效質(zhì)量，k為系統(tǒng)等效剛度，c為系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)，S為無量綱理論位移，Y為無量綱實(shí)際位移。若凸輪廓線即理論位移為s，實(shí)際輸出位移為y，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

采用凸輪的無量綱表示

在升程階段，系統(tǒng)在位移激勵(lì)作用下做受迫振動(dòng)，為主振動(dòng)階段。當(dāng)凸輪機(jī)構(gòu)結(jié)束升程(T＞1)，激勵(lì)消失，系統(tǒng)進(jìn)入余振階段，由式(8)求得從動(dòng)件輸出位移的殘余振動(dòng)振幅Ar:

式中:Y(1)和V(1)是T=1時(shí)從動(dòng)件的實(shí)際位移和速度。

2.2 多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

凸輪廓線優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)一般以最大速度Vm、最大加速度Am等運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，而在高速凸輪機(jī)構(gòu)中，殘余振動(dòng)的抑制成為首要考慮的問題。為此，以凸輪NURBS廓線的控制頂點(diǎn)di和權(quán)因子wi為設(shè)計(jì)變量，建立高速凸輪廓線多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型:

式(10)為了和修正正弦(Modified Sine，縮寫為“MS”)廓線比較，將最大速度特性值限定為1.76作為不等式約束，h(T)=［S(0)，V(0)，A(0)，S(1)-1，V(1)，A(1)］T為滿足表1應(yīng)用較廣泛的雙停留工作方式邊界條件的等式約束。

表1 D—R—D運(yùn)動(dòng)邊界條件Tab.1 D—R—D kinematics boundary condition

在上述優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)中，要求運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)是不可能實(shí)現(xiàn)的，甚至是相互矛盾的，為保證凸輪機(jī)構(gòu)良好的動(dòng)力學(xué)性能，只能在其運(yùn)動(dòng)學(xué)性能不劣于傳統(tǒng)廓線的情況下，最大限度的減少殘余振動(dòng)的影響，獲得系統(tǒng)的Pareto最優(yōu)解。

3 改進(jìn)人工魚群多目標(biāo)優(yōu)化算法

人工魚群算法［9-10］(Artifical Fish Swarm Algorithm，AFSA)模仿自然界魚群覓食、聚群、追尾行為，通過魚群中各個(gè)體的局部尋優(yōu)達(dá)到全局最優(yōu)。該算法前期的收斂速度較快，但在算法的后期，魚群的多樣性變差，算法進(jìn)化停滯不前，易陷入局部極值點(diǎn)，導(dǎo)致尋優(yōu)結(jié)果精度低和運(yùn)算速度慢。因此，本文利用改進(jìn)的人工魚群(Improved Artificial Fish Swarm Algorithm，簡(jiǎn)稱IAFSA)多目標(biāo)優(yōu)化算法，采取禁忌搜索策略，以MS廓線的特性參數(shù)為參照，在理想的加速度和殘余振動(dòng)幅值的鄰近區(qū)域，對(duì)高速凸輪機(jī)構(gòu)多目標(biāo)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行變參數(shù)二次尋優(yōu)，獲得系統(tǒng)的Pareto最優(yōu)解集。IAFSA算法流程如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的人工魚群算法流程圖Fig.2 Flow diagram of improved artificial fish swarm algorithm

3.1 人工魚群初始化和參數(shù)定義

IAFSA多目標(biāo)優(yōu)化算法需要初始化一組魚群，每條人工魚個(gè)體狀態(tài)定義為X=(d0，w0，d1，w1，...，dn，wn)，人工魚的當(dāng)前食物濃度為F(X)=［Ar(X)，Am(X)］T，N為魚群數(shù)目，人工魚間的距離li，j=‖Xj-Xi‖，人工魚感知范圍visual，人工魚每次移動(dòng)最大步長(zhǎng)step，δ表示擁擠度因子，人工魚覓食的最大試探次數(shù)Try_number。

3.2 禁忌搜索策略

禁忌搜索算法具有靈活的記憶功能，它通過局部鄰域搜索機(jī)制和相應(yīng)的禁忌準(zhǔn)則來避免迂回搜索，利用特赦原則釋放一些被禁忌的解域，并通過終止規(guī)則實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化搜索。AFSA的禁忌搜索規(guī)則定義如下:

(1)禁忌準(zhǔn)則:設(shè)人工魚的當(dāng)前狀態(tài)為Xi，鄰近伙伴數(shù)目Nf及中心位置Xc，若Yc＜Yi且NfYc＞ δYi，表明伙伴中心位置狀態(tài)較優(yōu)但已擁擠，則此鄰域中存在非劣解，將Xi鄰域移入禁忌表禁忌。

(2)特赦原則:若禁忌表中存在非劣解域，則將此解域特赦。

(3)終止規(guī)則:迭代次數(shù)G已到最大迭代次數(shù)Gm或者一定G內(nèi)禁忌表不變，算法終止。

3.3 變參數(shù)二次尋優(yōu)

為加快搜索速度，在算法前期進(jìn)行一次AFSA尋優(yōu)，設(shè)置算法的參數(shù)P1:visual、step、δ及N取較大值，Try_number較小，并利用禁忌準(zhǔn)則鎖定非劣最優(yōu)解的鄰域，同時(shí)將不存在非劣最優(yōu)解的可行解域禁忌，避免二次尋優(yōu)的盲目性。算法后期，在一次尋優(yōu)的解域內(nèi)二次AFSA尋優(yōu)，參數(shù)設(shè)置P2:visual、step、δ及N取較小值，Try_number較大，以提高尋優(yōu)精度，最后將放入公告板的Pareto最優(yōu)解輸出。

4 優(yōu)化仿真與實(shí)驗(yàn)

4.1 優(yōu)化仿真

在常見的凸輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線中，MS曲線的Vm、Am較小，適合高速工況下，但動(dòng)態(tài)特性較差。現(xiàn)用5次NURBS曲線重構(gòu)凸輪MS廓線，取n=20，理想加速度和殘余振動(dòng)振幅為F*=［5.53 10-4］。IAFSA多目標(biāo)優(yōu)化算法的設(shè)置如下:人工魚的數(shù)量N=100，禁忌表長(zhǎng)度100，最大迭代次數(shù)Gm=500。一次尋優(yōu)的參數(shù)P1:visual=6，step=1.5，δ=3，Try_number=1，二次尋優(yōu)的參數(shù)P2:visual=0.5 ，step=0.2，δ=1，Try_number=3。設(shè)高速凸輪機(jī)構(gòu)的 ξ=0.035，τ=10，用改進(jìn)人工魚群算法優(yōu)化兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，求得部分Pareto最優(yōu)解如表2所示。從表2可以看出，高速凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)Vm、Am和殘余振幅Ar是相互矛盾的，一般情況下很難使它們同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，決策者可根據(jù)凸輪機(jī)構(gòu)的工作需要選擇適合的Pareto最優(yōu)解。其中，第3組解的殘余振動(dòng)較小適合于高速凸輪機(jī)構(gòu)的工作要求，而運(yùn)動(dòng)學(xué)特性與MS曲線相差不大，因此利用該組解重構(gòu)NURBS凸輪曲線。由動(dòng)力學(xué)方程式(8)，求得凸輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件在推程期的主振動(dòng)響應(yīng)(位移、速度、加速度和躍度)曲線如圖3～圖6所示。

表2 IAFSA多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解Tab.2 Pareto optimal solutions based on IAFSA

從圖3～6可以看出，優(yōu)化后NURBS廓線的位移、速度和加速度響應(yīng)同MS曲線相差不大，躍度曲線變化較平穩(wěn)，最大躍度值較小，提高了系統(tǒng)工作的平穩(wěn)性。

當(dāng)T＞1，從動(dòng)件到達(dá)推程終點(diǎn)，凸輪機(jī)構(gòu)進(jìn)入停歇期，由式(9)求解從動(dòng)件余振響應(yīng)，得τ=10時(shí)殘余振動(dòng)幅值響應(yīng)曲線(圖7)和不同周期比的殘余振動(dòng)幅值曲線(圖8)。

圖3 位移響應(yīng)曲線Fig.3 Displacement response curve

圖4 速度響應(yīng)曲線Fig.4 Velocity response curve

圖5 加速度響應(yīng)曲線Fig.5 Acceleration response curve

圖6 躍度響應(yīng)曲線Fig.6 Jerk response curve

圖7 殘余振動(dòng)幅值響應(yīng)曲線Fig.7 Residual vibration amplitude response

圖8 不同周期比的殘余振動(dòng)幅值Fig.8 Residual vibration amplitude of different period ratio τ

圖7表明，與MS廓線相比，優(yōu)化后NURBS廓線的殘余振動(dòng)較小，殘余振動(dòng)的最大幅值降低了7.16℅，同時(shí)從圖8可以看出不同的周期比時(shí)凸輪機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)也有不同程度的降低，周期比小時(shí)下降更為明顯。

4.2 噪聲實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證仿真結(jié)果，將MS廓線空間弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)和NURBS廓線空間弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)在不同轉(zhuǎn)速下的噪聲進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如表3所示。

表3 不同轉(zhuǎn)速的噪聲(背景噪聲23.2 dB(A))Tab.3 Noise of different rotate speed

分析表3中兩種廓線下凸輪機(jī)構(gòu)噪聲的測(cè)試結(jié)果，可以看出NURBS廓線空間凸輪機(jī)構(gòu)的噪聲較小，高速時(shí)更為明顯，這說明NURBS廓線凸輪的動(dòng)力響應(yīng)較好，沖擊和振動(dòng)的水平更低。

5 結(jié)論

本文基于單自由度彈性動(dòng)力學(xué)理論，設(shè)計(jì)了高速凸輪機(jī)構(gòu)多目標(biāo)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型，利用改進(jìn)人工魚群算法求解該模型，由獲得的系統(tǒng)Pareto最優(yōu)解重構(gòu)高速凸輪 NURBS廓線，分析和比較了高速凸輪機(jī)構(gòu)NURBS和修正正弦兩種廓線的主振動(dòng)和余振響應(yīng)。結(jié)果表明:優(yōu)化后高速凸輪NURBS廓線運(yùn)動(dòng)學(xué)性能不劣于修正正弦曲線，但降低了高速凸輪機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)幅值，提高了高速凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能，減少了振動(dòng)和沖擊的噪聲。

［1］Wiederrich J L.Residual vibration criteria applied to multiple degree of freedom cam-followers.Mechanical Design，1981，103:702-705.

［2］ Chew M，Chuang C H.Minimization residual vibration sin high-speed cam-follower system over a range of speed［J］.Mechanical Design，1995，117:l66-172.

［3］Yamada I，Nakagawa M.Reduction of residual vibrations in positioning control mechanism［J］.Journal of Vibration，Acoustics，Stress and Reliability in Design，1985，107:47-52.

［4］ Grewal P S，Newcombe W R.A comparative study of cam motion for high-speed sem-rigid follower cam systems［J］.Transaction of the CSME，1988，12(3):121-128.

［5］孫樹峰，周以齊.基于非均勻有理B樣條的空間凸輪設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45(8):125-129.

SUN Shu-feng，ZHOU Yi-qi.Design of spatial cam based on non-uniform rationalB-splines［J］.ChineseJournalof Mechanical Engineering，2009，45(8):125-129.

［6］玄冠濤，邵園園，呂釗欽，等.基于NURBS的空間分度凸輪廓面重構(gòu)與仿真［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2012，43(6):226-229，234.

XUAN Guan-tao，SHAO yuan-yuan，Lü Zhao-qin，et al.Profile reconstruction of spatial indexing cam and simulation based on NURBS［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2012，43(6):226-229，234.

［7］牧野洋.自動(dòng)機(jī)械機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京:科學(xué)出版社，1980.

［8］ Koster M P.Vibration of cam mechanisms［M］.London:Mecmillan Press，1974.

［9］李曉磊.一種新型的智能優(yōu)化方法—人工魚群算法［D］.杭州:浙江大學(xué)，2003.

［10］李曉磊，邵之江，錢積新.一種基于動(dòng)物自治體的尋優(yōu)模式:魚群算法［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2002，22(11):32-38.

LI Xiao-lei，SHAO Zhi-jiang，QIAN Ji-xin.An optimizing method based on autonomous animals:fish-swarm algorithm［J］.Systems Engineering Theory ＆ Practice，2002，22(11):32-38.