基于晶粒旋轉的納晶材料非均勻變形行為研究*

韓雪平，周劍秋

（南京工業大學 機械與動力工程學院，江蘇 南京 210009）

0 引 言

納晶材料由于其獨特的力學性能而引起了國內外研究人員廣泛的關注[1-2]。一般來講，相對于粗晶材料而言，納晶材料雖然具有高強度，但其延展性很低，這種低延展性在很大程度上影響了納晶材料的工程應用。

最近的研究表明，納晶材料中剪切帶的形成和發展是導致其延性降低、材料過早斷裂的主要原因。Ramesh 等人[3]發現了在納米Fe 的壓縮過程中觀察到的剪切帶產生和發展的現象。Wei 等人[4]對塊狀納晶W 在準靜態和動態載荷下進行了壓縮測試，結果顯示有局部剪切化現象出現，并且剪切局部化現象隨著變形的增加而增多。Ma 等人[5]發現在納米Cu 的拉伸過程中也存在剪切帶產生和發展的現象。此外，朱榮濤等人[6]對粗晶與納晶鎳片進行了拉伸試驗，結果表明，粗晶鎳的塑性變形是均勻的，而納晶鎳的塑性變形表現出局部剪切帶化。劉龍飛等人[7]對金屬玻璃發生剪切失穩形成剪切帶的行為進行了分析。

綜合上述研究可以發現，納晶材料中的剪切帶化現象已經成為材料塑性變形中不容忽視的一種機理。迄今為止，剪切帶的本構模型和剪切帶的基本物理特性仍沒有定論，急需通過更先進的試驗方法和完美的理論模型來加以驗證。

最近，基于晶粒旋轉的幾何軟化機理，Ramesh 等人[8]提出了一種納晶剪切帶演化的本構模型，該模型很好地預測了納晶材料內剪切帶的發展及剪切帶寬度的變化，但是他們沒有考慮晶粒取向分布對剪切帶演化的影響。

基于以上分析，本研究提出一個新的基于晶粒旋轉的剪切帶演化模型，同時考慮晶粒取向分布以及晶粒尺寸對剪切帶演化產生的影響。

1 晶粒旋轉的剪切帶演化模型

1.1 擴散驅動的晶界滑移引起的晶粒旋轉

目前，許多關于晶粒旋轉的研究[9]均假設晶粒旋轉的驅動力是晶粒的一個凈扭矩，這一扭矩來自于周圍晶粒間的與晶界角有關的晶界能的變化。

基于Raj 和Ashby[10]的擴散驅動晶界滑移理論，Moldovan 等人[11]研究了具有任意截面的柱形晶粒的旋轉，其關于擴散驅動的晶界滑移引起的晶粒旋轉示意圖如圖1 所示。

圖1 擴散驅動的晶界滑移引起的晶粒旋轉示意圖

那么，對于一個給定的晶粒i 而言，作用于其質心的累積旋轉扭矩為：

式中：h—圓柱晶粒的柱高，Li—各個晶界的截面長度，γi—長度為Li的晶界對應的晶界能，θi—長度為Li的晶界對應的晶界角，dγidθi—晶粒 i 的所有晶界累積而成的晶界能梯度。

眾所周知，對于對晶體材料來說，晶界可以分成高角度晶界（θi15 °）和低角度晶界（θi<15 °）。雖然晶界的種類與材料的制造過程及材料本身的性質有關，但總體來說大部分的晶界都是高角度晶界。因此，本研究可以合理地假設，每個晶粒只有一個低角度晶界，其他的都是高角度晶界。Read-Shockley[12]公式很好地解釋了低角度晶界的晶界能隨晶界角的變化。根據Read-Shockley 公式，高角度晶界和低角度晶界的晶界可表示為：

其中：

式中：G—彈性剪切模量，b—伯格斯矢量，ν—泊松比，A—常數。

至此，通過量化表示晶粒的累積晶界能梯度，公式（1）中的累積扭矩公式可改寫成：

將式（2，3）代入式（5）中，經簡化計算，可得晶粒旋轉扭矩的簡化表達式為：

為了分析擴散驅動的晶界滑移引起的晶粒旋轉，Moldovan 等人把晶粒旋轉看作是一個粘性過程，提出了關于晶粒質心的角速度，即晶粒的旋轉速度為（如圖2 所示）：

式中：?i—晶粒取向；M—在扭矩Ti作用下晶粒的旋轉遷移率，并且這一遷移率與平均晶粒尺寸有很大的關系。

擴散驅動的晶界滑移引起的晶粒旋轉的均勻化表述如圖2 所示。

圖2 擴散驅動的晶界滑移引起的晶粒旋轉的均勻化表述

Moldovan 等人通過對旋轉遷移率的不同表述，分別考慮了晶界擴散和晶格擴散對晶粒旋轉的影響，并對多晶鈀給出了一個特征長度dc=1.8μm。依據這個特征長度，當晶粒尺寸小于dc時，晶界擴散是晶粒旋轉的主要機制；相反，當晶粒尺寸大于dc時，晶格擴散則起主導作用。

而對于納米晶體材料（d<100 nm）來說，研究者可以認為晶粒旋轉的主要驅動力來自晶界的擴散，但是，他們并沒有考慮外來應力對晶界滑移和晶粒旋轉所帶來的影響。而Kim 等人[13]所利用的能量守恒方法，則考慮了外來應力對晶界滑移所造成的影響。

利用這一理論，本研究把外來應力對晶粒旋轉的影響歸結于對晶界滑移的影響，并且在Moldovan 模型的基礎上重新定義了晶粒旋轉的遷移率。

其遷移率可表示為：

式中：η*L—基于Kim 等人的方法提出的一個定義粘度，可表示為：

式中：ηGB—晶界滑移的有效粘度，可表示為：

式中：n—晶粒的晶界數量，Ω—原子的體積，δ—晶粒周圍晶界的擴散寬度（也就是晶界的寬度），DGB—晶界的擴散系數，L—晶界的長度，k—玻爾茲曼常數，T—相關的絕對溫度。

將式（6，8）代入式（7），可得晶粒的旋轉角速度為：

為了更簡便地計算晶粒的旋轉，本研究假設所有晶粒截面的形狀都是n=6 的正六邊形，該截面的正六邊形結構如圖2（c）所示；并設定晶界的長度等于晶粒的半徑（L=d/2），柱形晶粒的柱高與晶粒尺寸相等（h=d），則式（11）可進一步簡化為：

1.2 剪切帶的演化

基于剪切帶的特點以及晶粒旋轉的理論，按照晶粒取向與剪切方向的差異，本研究將晶粒分成剪切帶內容易發生滑移的軟晶粒和剪切帶外只發生擴散蠕變的硬晶粒。

為了描述剪切帶的演化，本研究考慮了一個代表性結構單元，如圖2（b）所示。在這一單元中含有N 個晶粒，其中有Ns個軟晶粒，這里用一個軟化因子來表示軟晶粒的比例分數。

隨著晶粒的旋轉，軟晶粒的數量不斷增加，軟化因子η也隨之變化，軟化因子能夠反映這一結構單元內晶粒旋轉的情況。進而軟化因子的變化就形成了一個軟化機制，這一軟化機制產生了越來越多的晶粒取向趨向于剪切方向的結構單元，在外力作用下，就形成了剪切帶區域（η=1），晶粒旋轉導致的剪切帶演化示意圖如圖3 所示。

圖3 晶粒旋轉導致的剪切帶演化示意圖

因此，本研究就以軟化因子的變化來描述剪切帶的演化。

前面已經對單個晶粒的旋轉進行了相應的分析，而這并不能表述整個結構單元內軟化因子的演化，如圖2（b）所示。為了進一步精確表述晶粒旋轉引起的剪切帶的演化，研究者必須將單個晶粒的旋轉與軟化因子的演化聯系起來。

在此，本研究采用類似于Ramesh 等人提出的一個加權平均值方法，均勻化地表述整個結構單元的晶粒取向?，進而建立了一個軟化因子的均勻化演化機制。

那么，在整個結構單元內，所有晶粒的平均晶粒取向可表示為：

進一步地，本研究通過一個Delta 函數形式的補償函數（式中：?s—剪切方向），對晶粒取向進行一個加權平均來計算軟晶粒的比例分數（即軟化因子）η，即：

則軟化因子η的平均變化率可表述為：

進一步合并公式（12，15），可得：

本研究把式（16）中第二個中括號內的項近似等同于一個連續的二階導數，則式（16）可進一步簡化為：

其中：

式中：Sˉmax—結構單元內晶粒的平均最大Schmid 因子值。

式（18）可以被看做是基于晶界擴散引起的晶粒旋轉的剪切帶演化機制，它與晶粒的尺寸、晶粒取向以及塑性變形的時間有關。

2 結果與討論

2.1 晶粒取向對剪切帶演化的影響

對于單晶來說，Schmid 因子S max=0.5 時屈服強度最低，即這種取向最軟。對于納米晶體材料而言，每一個晶粒都可以看作是單晶結構。但是，在納米晶體材料中，各個晶粒之間的最大Schmid 因子值卻各不相同。

本研究采用Brahme 的方法[14]，以一個指數函數的形式給出了初始軟化因子值與Schmid 因子（晶粒取向）之間的關系，即：

筆者以Cheng 等人進行的納晶銅（d=62 nm）的拉伸試驗為例，計算不同應變下軟化因子的變化。納晶銅材料的相關參數如表1 所示（應變率為1 ×10-4s-1）。

表1 納晶銅的材料參數

本研究將圖2（b）中的結構單元分成500 個晶粒集合，假定每個晶粒集合的平均最大Schmid 因子值相差0.001，根據晶粒集合的軟化因子η的演化方程式（17），在不同的塑性應變值下，軟化因子與平均Schmid 因子的演化如圖4 所示。

圖4 不同平均Schmid 因子值下，軟化因子隨塑性變形的演化

從圖4 中可以看出，隨著應變的增加，對于擁有不同的平均最大Schmid 因子值的晶粒集合，它們的軟化因子值普遍有所增加。

2.2 晶粒尺寸對剪切帶演化的影響

通常來說，納米晶體材料的力學性能與晶粒尺寸有關。最近，Ramesh 等人研究了晶粒尺寸與剪切帶演化的影響，但他們只考慮單一剪切帶的演化，并沒有考慮剪切帶在縱向以及整個樣本空間內總的剪切帶體積的變化。

本研究中，筆者提出了基于晶粒旋轉的剪切帶演化機制，通過均勻化表述整個樣本空間內晶粒的旋轉，將剪切帶的演化推廣到整個空間內，從空間上研究剪切帶的總的體積分數的演化。在本研究的模型中，通過晶粒尺寸對晶粒旋轉的影響，考慮晶粒尺寸對剪切帶演化的影響。

從公式（17）可以看出，晶粒尺寸的影響主要來自本研究給定的與擴散有關的系數?。以納晶銅為例（相關參數如表1 所示），本研究分別考慮了3 個晶粒尺寸：60 nm、100 nm 和200 nm，應變率為1 ×10-3s-1，所有樣本給定相同的初始最大平均施密特因子值Sˉmax=0.3。3 種尺寸對應的剪切帶體積分數的演化如圖5 所示。

圖5 不同晶粒尺寸下剪切帶體積分數的演化

從圖5 中可以看出，在相同的應變下，晶粒尺寸越大，剪切帶的體積分數越小，這與剪切帶的實驗研究結果相吻合。這主要是因為：在給定的應變率下，用來表述剪切帶演化的軟化因子η與?成正比，而?與晶粒尺寸成反比關系，因此，軟化因子與晶粒尺寸也成反比關系。

3 結束語

基于剪切帶的特點以及晶粒旋轉的表述，本研究按照晶粒取向與剪切方向的差異，將晶粒分成剪切帶內容易發生滑移的軟晶粒和剪切帶外只發生擴散蠕變的硬晶粒，并根據擴散驅動的晶界滑移引起的晶粒旋轉理論構建了一個描述剪切帶演化的模型。在這一模型中，本研究同時考慮了晶粒尺寸和晶粒取向分布對剪切帶演化所帶來的影響。

研究結果表明：在相同的晶粒尺寸下，隨著應變的增加，對于擁有不同的最大平均Schmid 因子值的晶粒集合，剪切帶的體積分數普遍有所增加；在相同的應變和初始最大平均Schmid 因子值下，晶粒尺寸越大，剪切帶的體積分數越小。

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