關(guān)于由球的投影得到的橢圓離心率的一組結(jié)論

云南省玉溪第一中學(xué) 武增明 （郵編：653100）

投影是新課程中新加入的內(nèi)容，主要有中心投影和平行投影兩種，其中平行投影根據(jù)投影方向與投影面的位置關(guān)系又分為斜投影和正投影兩種.斜投影是指投影方向與投影面不垂直的一種投影，圓在正投影下的視圖仍然是圓，而在斜投影下的視圖卻是一個(gè)橢圓.中心投影是指投射線交于一點(diǎn)的投影，它和平行投影的最大區(qū)別是投射線是否交于一點(diǎn)［1］.本文主要介紹在斜投影與中心投影的情況下，由球的投影得到的橢圓的離心率的一組結(jié)論.這一組結(jié)論會給我們解決這一類問題帶來意想不到的“神奇”效果！現(xiàn)用性質(zhì)的形式敘述并證明.

性質(zhì)1［1］若水平地面上有一個(gè)球，在一束與水平地面成θ（θ≠）角的平行光線照射下，則球在水平地面上的投影——橢圓的離心率e＝cosθ.

性質(zhì)3 若水平地面上有一個(gè)球，在點(diǎn)光源或平行光源照射下，其投影是一個(gè)橢圓，則球與水平地面的切點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)［2］.

證明在此略，請讀者朋友見文［2］.

例1［1］一個(gè)廣告氣球某一時(shí)刻被一束平行光線投射到水平地面上的影子是一個(gè)橢圓，橢圓的離心率為e＝，則該時(shí)刻這平行光線對于水平平面的入射角為______.

簡解 利用上述性質(zhì)1可以很容易得到光線與水平地面所成的角是，所以入射角是.

例2［2］一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上一點(diǎn)A1的正上方有一個(gè)點(diǎn)光源A，AA1與球相切，AA1＝6，球在桌面上的投影是一個(gè)橢圓，則該橢圓的離心率等于______.

例3［1］一只半徑為1m的球放在桌面上，切點(diǎn)為O，桌面上一點(diǎn)A的正上方相距6m處有一點(diǎn)光源S，O與A相距 2m，求球在桌面上的投影——橢圓的離心率.

解析 這個(gè)題目是上述性質(zhì)4的一般化，缺少了SA與球相切這個(gè)條件使得直接用平面幾何性質(zhì)求解的難度加大，為此，我們考慮建立平面直角坐標(biāo)系.

以點(diǎn)S、O和C（球心）所確定的平面建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系，則C（0，1），S（－2，6），過S作圓C的兩條切線SD與SB，交x軸于D、B兩點(diǎn)，則BD的長度就是橢圓的長軸長.

例4 一個(gè)半徑為R的球放在桌面上，切點(diǎn)為T，桌面上有一點(diǎn)A1，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源A（A既不在A1的正上方，也不在球心的正上方），AA1與球相切，點(diǎn)A在桌面上的投影為S，AS＝h（h＞2R），ST＝m，求球在桌面上的投影——橢圓的離心率.

這類問題是上述性質(zhì)4和例3的一般化，其解答思路方法同上述例3，在此略，留給感興趣的讀者朋友去探究.

例5 一根竹竿長2米，豎直放在廣場的水平地面上，在t1時(shí)刻測得它的影長為4米；在t2時(shí)刻的影長為1米.這個(gè)廣場上有一個(gè)球形物體，它在地面上的影子是橢圓，則在t1、t2這兩個(gè)時(shí)刻該球形物體在地面上的兩個(gè)影子橢圓的離心率之比為（ ）

由球的投影得到的橢圓的離心率問題，解決的理論依據(jù)主要是三視圖.球的投影橢圓尚存在著許多與上述性質(zhì)類似的、簡捷的、優(yōu)美的結(jié)論等待我們?nèi)ヌ骄?只要我們在教學(xué)中用心、用情細(xì)心觀察和認(rèn)真總結(jié)，有用的、有價(jià)值的、有趣的性質(zhì)一定會被發(fā)現(xiàn).

1 董成勇.一類球的投影問題的解決［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（4）

2 陸繼承，張珍珍.用三視圖解決球的投影問題及結(jié)論推廣［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西），2012（8）