平面幾何知識解決2013年高考解析幾何問題的六個切入點

福建省寧德市民族中學 鄭一平 （郵編：355000）

解析幾何是高中數學的重點內容，也是高考考查的重要內容之一.它的特點是用代數方法研究解決幾何問題，關鍵是用“數形結合”的思想把幾何問題轉化為代數問題.尤其是新課程改革增加了平面向量與導數之后，向量、導數與解幾的交匯更成為高考的熱點問題之一.這類問題涉及知識面廣、綜合性強、題目新穎、靈活多樣，有時解題過程繁雜，許多學生經常出錯.實際上涉及解析幾何問題若能充分挖掘問題條件中隱含的幾何特征，利用平面幾何知識去解決，則能化難為易、化繁為簡，收到意想不到的效果.下面從2013年高考試題談平面幾何在解析幾何中的應用時的六個切入點.

1 以圓冪定理為切入點

例1 （2013年福建高考文科試題）如圖1，拋物線E∶y2＝4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上，以C為圓心，｜OC｜為半徑作圓，設圓C與準線l交于不同的兩點M、N.

（I）若點C的縱坐標為2，求｜MN｜；

（II）若｜AF｜2＝｜AM｜·｜AN｜，求圓C的半徑.

分析與略解 本題主要考查拋物線的方程、圓的方程與性質、直線與圓的位置關系等基礎知識.問題（1）比較簡單.問題（2）根據條件圓心C在拋物線上且過原點，按常規思路有標準答案中的解法：

（Ⅰ）拋物線y2＝4x的準線l的方程為x＝－1，由點C的縱坐標為2，得點C坐標（1，2），所以點C到準線l的距離d＝2，又｜CO｜＝.所以

（Ⅱ）抓住圓的幾何特征結合垂徑定理，從圓冪定理為切入點有下列簡潔解法：

設圓C與x軸交于不同的兩點O、G.由圓冪定理知：｜AO｜·｜AG｜＝｜AM｜·｜AN｜.

評析 涉及拋物線與圓的位置關系問題，關鍵要抓住圓心在拋物線上、圓過原點這些幾何特征，結合垂徑定理和根與系數關系得問題解.方（II）根據條件抓住幾何特征通過圓冪定理解決，顯然比標準答案所給的方法簡單明了，關鍵就是充分利用了圓的幾何性質化難為易、化繁為簡，收到事半功倍的效果.下面再舉數例說明：

2 以平面幾何中面積比、線段比為切入點

例2 （2013年湖北高考試題）如圖2，已知橢圓C1與C2的中心在坐標原點O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為2m、2n（m＞n），過原點且不與x軸重合的直線l與C1、C2的四個交點按縱坐標從大到小依次為A、B、C、D.記λ＝m，△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2.

（Ⅰ）當直線l與y軸重合時，若S1＝λS2，求λ的值；

（Ⅱ）當λ變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1＝λS2？并說明理由.

分析與略解 根據條件涉及線段的比以及三角形面積問題，因此抓住圖形間的幾何關系從線段成比例為切入點思考比較佳.

故當直線l與y軸重合時，若S1＝λS2，則λ＝＋1.

解法2 如圖3，若直線l與y軸重合，則｜BD｜＝｜OB｜＋｜OD｜＝m＋n，｜AB｜＝｜OA｜－｜OB｜＝m－n.

根據對稱性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是

解法2 如圖4，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1＝λS2.根據對稱性，

不妨設直線l：y＝kx（k＞0），點M（－a，0），N（a，0）到直線l的距離分別為d1、d2，則

評析 本題若能通過條件結合圖形抓住三角形面積與邊或高的關系，利用比例推理計算求得結果，過程涉及點到直線距離和弦長等公式的應用，通過圖形中的幾何特征的挖掘發現解題思維突破口是解題的關鍵.

3 以兩圓圓心距與兩半徑間的位置關系為切入點

例3 （2013年高考新課標卷I）已知圓M：（x＋1）2＋y2＝1，圓N∶（x－1）2＋y2＝9，動圓P與M外切且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求｜AB｜.

分析與略解 由已知得圓M的圓心為M（－1，0），半徑r1＝1，圓N的圓心為N（1，0），半徑r2＝3.設動圓P的圓心為P（x，y），半徑為R.

（Ⅰ）由圓P與圓M外切且與圓N內切1即｜PM｜＋｜PN｜＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M、N為左右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓（左頂點除外），其方程為

（Ⅱ）對于曲線C上任意一點P（x，y），由于｜PM｜－｜PN｜＝2R－2≤2，即R≤2，當且僅當圓P的圓心為（2，0）時，R＝2.所以當圓P的半徑最長時，其方程為（x－2）2＋y2＝4，當l的傾斜角為90°時，l與y軸重合，可得｜AB｜＝2.

評析 涉及圓與圓、圓與直線位置關系問題抓住圓的幾何特征，結合垂徑定理、點線距離、弦長公式等溝通條件與結論間的關系是解決問題的關鍵.

4 以向量的幾何意義為切入點

例4 （2013年上海市春季高考試題）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F.

（2）在x軸上是否存在點Q，使得點Q關于直線y＝2x的對稱點在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.

分析與略解 由條件直接利用向量的幾何意義求解.（1）設動點P的坐標為（x，y），點A的坐標為（xA，yA），則＝ （x－xA，y－yA），因為F的坐標為（1，0），所以＝ （xA－1，yA），由＝－2得（x－xA，y－yA）＝－2（xA－1，yA）.

得到動點P的軌跡方程為y2＝8－4x.

（2）設點Q的坐標為（t，0）.點Q關于直線y＝2x的對稱點為Q′（x，y），

若Q′在C上，將Q′的坐標代入y2＝4x，得4t2＋15t＝0，即t＝0或t＝－.所以存在滿足題意的點Q，其坐標為（0，0）和（－，0）.

5 以特殊三角形的性質、幾何特征為切入點

（Ⅱ）記直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別是k1、k2、k3、k4，求證：k1·k2＋k3·k4為定值；

（Ⅲ）過Q作垂直于x軸的直線l，直線AP、BP分別交l于M、N，判斷△PMN是否可能為正三角形，并說明理由.

分析與略解 本題考查直線、橢圓、雙曲線等基礎知識，考查運算求解能力和探究能力，數形結合思想、化歸與轉化思想.

（Ⅲ）解法1 由條件假設△PMN為正三角形，下面分點P在x軸上方和下方兩種情況：

綜合上述，當a＝且點P為橢圓的頂點（0，b）或（0，－b）時，△PMN為正三角形.

解法2 分析條件中隱含的幾何特征，考慮用等腰三角形兩底角相等幾何性質處理：假設△PMN為正三角形，則 ∠MPN＝ ∠PMN＝60°，又MN⊥x軸，則 ∠PAB＝30°，∠PBA＝30°，即ΔPAB為等腰三角形.

綜合上述，當a＝且點P為橢圓的頂點（0，b）或（0，－b）時，△PMN為正三角形.

評析 顯然問題（III）的解法2過程直觀簡潔，避免了分類討論和計算.關鍵就在于抓住了等腰三角形的幾何特征.

6 以圓錐曲線的幾何意義為切入點

例6 已知動圓A經過點B（1，0），且和直線x＋1＝0相切.（1）求圓心A的軌跡E方程；（2）設點P（x0，y0）為曲線E上的任意一點，點M的坐標為（x0＋2，0），過點M作直線PB的垂線，垂足為N，當x0變化時，線段PN的長度是否為定值？若是，請寫出這個定值，并證明你的結論；若不是，請說明理由.

分析與略解 本小題主要考查拋物線的標準方程與性質、直線的方程及其位置關系、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想.

（I）解法1 （定義法）依題意，由拋物線定義知，軌跡E是以B（1，0）為焦點，直線x＝－1為準線的拋物線，所以軌跡E的方程是y2＝4x.

所以軌跡E的方程是y2＝4x.

（II）線段PN的長度為定值2，證明如下：

解法1 當x0＝1時，點P（1，±2），PB⊥x軸，點N與點B重合，｜PN｜＝｜PB｜＝2.

綜上，線段PN的長度為定值2，

綜上，線段PN的長度為定值2.

解法3 （幾何法）當x0＝1時，點P（1，±2），PB⊥x軸，點N與點B重 合，｜PN｜＝｜PB｜＝2.當y0＝0時，點P（0，0），點M（2，0），點N與點M重合.｜PN｜＝｜PM｜＝2.當x0≠1且y0≠0時，過點P作PH⊥x軸于H，則｜MH｜＝2.

因為｜PB｜＝x0＋1，｜MB｜＝x0＋1，，所以｜PB｜＝｜MB｜，所以RtΔPBH≌RtΔMBN.得｜BH｜＝｜BN｜，因此｜PN｜＝｜MH｜＝2.

綜上，線段PN的長度為定值2.

以上可以看出，平面幾何在解析幾何中有著廣泛的應用，在解題中要有幾何意識，善于挖掘條件中隱含的幾何因素，結合有關知識去解決.