柔性機構耦合振動的諧振可靠性分析方法

于霖沖

(廈門理工學院機械與汽車工程學院，廈門 361024)

在高速和大柔性情況下，如果柔性構件的耦合振動頻率與構件的固有頻率接近，則會產生諧振，從而導致構件的變形和動態應力急劇增大，使柔性機構運動功能受到很大的影響，嚴重時會導致構件發生塑性變形甚至強度破壞，造成機構功能的失效。因此，對柔性機構耦合振動的諧振可靠性分析具有十分重要的理論意義，對柔性機構的驅動規劃有重要的實際參考價值。

多柔體系統動力學經過30多年的發展，在建模理論和求解方法上已經逐漸成熟［1］，并在耦合振動方面取得了突破，為本研究奠定了基礎。Diken［2］對柔性機械臂的振動頻率響應的影響因素進行了分析;Siddiqui等［3］通過攝動方法對有移動物體的柔性懸臂梁的耦合問題進行了探討;Al-Bedoor等［4］和 Yau 等［5］分別應用拉格朗日乘子法和Hamilton原理建立了有移動物體的旋轉柔性懸臂梁模型，并進行了運動學分析;徐可君等［6］建立了構件振動可靠性和強度可靠性計算的模糊模型，計算了渦輪葉片的可靠度;崔海濤等［7］探討了柔性梁的共振和疲勞可靠性問題。本文在上述學者的研究基礎上，通過多柔體系統動力學分析，提出了柔性機構耦合振動的諧振可靠性分析理論和方法，建立了柔性機構諧振可靠性分析模型。通過蒙特卡羅隨機模擬，計算構件的固有頻率，通過柔性機構的虛擬樣機仿真實驗，確定機構運動規律和耦合振動頻率分布特性，進而求出諧振可靠度，為柔性機構的設計和分析提供了借鑒。

1 柔性機構諧振可靠性分析理論和方法

1.1 柔性機構諧振可靠性基本理論

構件幾何、物理等參數的隨機性使構件固有頻率成為隨機變量，而動力、載荷等隨機因素使柔性構件的耦合振動頻率成為隨機變量。在固有頻率和耦合振動頻率相等或者接近時，振幅、動態應力急劇增加導致構件發生強度破壞或者運動功能失效。因此，在設計機構運動形式和驅動規劃時，要避免構件頻率相等或者相接近。在運動過程中，機構的拓撲結構是時變的，驅動力(矩)和載荷也是時變的，所以柔性構件的耦合振動頻率成為時變隨機變量。

假設隨機變量ωi(i=1，2，…，n)為柔性構件的第i階固有頻率，時變隨機變量p(t)為柔性構件t時刻的耦合振動頻率。當在機構運動時域T內t時刻的耦合振動頻率p(t)與構件固有頻率ωi的接近程度超過閾值vth時，柔性構件將產生諧振。此時構件的耦合振動幅度將急劇加大，導致機構系統運動參數迅速惡化，機構的這種失效模式就是耦合振動失效。閾值vth的大小根據柔性構件第i階模態的振型確定。經過柔性構件的模態分析確定柔性構件的各階振型和閾值vth，從而建立柔性構件諧振極限狀態方程:

柔性機構的諧振可靠性可以描述為:在機構運動時域T內，柔性構件在任意時刻的耦合振動頻率相對于各階固有頻率的接近程度不超過閥值的概率。式(2)就是柔性機構諧振可靠性分析的廣義模型。

1.2 柔性機構諧振可靠性分析方法

利用Lagrange方法建立柔性機構的動力學方程［1，8－9］:

如果柔性構件在機構運動t時刻的固有頻率和耦合振動頻率服從正態分布，則根據干涉理論有:

其中σv和σω分別為固有頻率和耦合振動頻率的標準差。

在系統中只要有一個構件在任意時刻出現耦合頻率與固有頻率產生諧振，就會發生諧振失效。因此，整個機構系統的諧振可靠性分析應按照串聯系統計算其可靠度。

2 柔性機構諧振可靠性分析和計算

2.1 柔性機構模型的諧振可靠性分析

柔性機構模型為空間站柔性展開機構［10］。圖1所示為機構展開狀態，展開機構由B0～B15共16個構件組成，其中大尺寸的輕質構件 B1、B2、B4、B5、B13、B14和 B15在展開過程中會產生較大的變形，將它們作為等截面均質柔性梁。機構初始狀態為收攏狀態，各個構件無彈性變形。柔性展開機構的設計運動規律為:在機構啟動初始10 s內 ，由電機B8和B11勻加速驅動;在10 s以后，電機驅動力為0，機構依靠慣性完成展開運動。在機構展開過程中，構件的動態響應為高度非線性，這種特性體現為構件的運動學參數、動力學的動態參數隨時間的變化呈現出“振動”的現象，這種現象就是耦合振動的反映。

圖1 空間站展開機構模型

選擇機構中有代表性的構件B2和B5作為研究對象。其中，構件B2做平面旋轉運動，構件B5做平移運動。

柔性構件為細長桿，兩端為鉸鏈連接，柔性構件質心處的耦合振動最劇烈。通過柔性機構的虛擬樣機仿真，得到構件B2和構件B5質心處的耦合振動，如圖2所示。

從柔性機構仿真數據可以看出:構件B5的耦合振動比構件B2的振動頻率高、振幅大。在啟動階段由于機構初始狀態是靜止狀態，因此慣性力較大，柔性機構產生頻率較低。

振幅較大的耦合振動在10 s時，加速度和速度達到最大，耦合振動在10 s時最劇烈。10 s以后，驅動力為0，柔性機構依靠慣性運動，由于運動副的摩擦，使機構的速度逐漸降低，耦合振動的振幅和頻率逐漸隨之下降。因此，在柔性機構驅動規劃中，需要對10 s前后的耦合振動進行諧振可靠性分析。

圖2 柔性機構的耦合振動

2.2 柔性機構諧振可靠性分析

由于機構工作在微重力環境下，受到運動副之間的摩擦和碰撞以及其他隨機因素的影響，故柔性機構的動態響應具有隨機性。通過柔性機構運動仿真，將對動態應力響應影響較大的因素確定為柔性機構系統的隨機變量:驅動加速度ad(rad/s2)、摩擦力矩Mf(N·m)、驅動時間t(s)、阻尼系數f以及柔性構件的質量m(kg)。假設各個隨機變量的分布服從正態分布，隨機變量的均值為設計值，方差的大小分別根據電機技術指標、材料參數等確定。

表1為隨機變量設計值和方差、100組抽樣數據的均值和方差，其中:vi、μd、σd、μp、σp分別表示隨機變量的名稱、隨機變量的設計值、隨機變量的方差、按照MC法抽樣數據的均值和抽樣數據的方差。

表1 隨機變量抽樣數據的均值及方差

通過有限元方法對構件B2和B5進行蒙特卡洛仿真，前4階固有頻率均值分別為1.80695×10－4、3.01652 ×10－4、3.45319 × 10－4、3.84593 ×10－4。通過柔性機構運動仿真得到構件B5的振動頻率均值為9.85 ×10－1，方差為5.78 ×10－3。根據可靠度計算的干涉方法，得到可靠度為

由于柔性構件的耦合振動頻率的均值大固有頻率均值約2個數量級，因此空間站展開機構的耦合振動是可靠的。

3 結束語

隨著構件柔性的增加，固有頻率會降低;同時隨著速度的提高，構件的耦合振動頻率會上升。因此，柔性機構在高速運動時的耦合振動不可忽視。

本文方法適合于柔性機構耦合振動的諧振可靠性分析，但蒙特卡洛方法仿真時間成本較高，故可結合快速算法進行改進。

［1］Shabana A A.Flexible Multibody Dynamics:Review of Past and Recent Developments［J］.Multibody System Dynamics，1997(1):189 －222.

［2］Diken H.Frequency Response Characteristics of A Single-Link Flexible Joint Manipulator And Possible Trajectory Tracking［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，233(2):179－194.

［3］Siddiqui S A Q，Golnaraghi M F，Heppler G R.Dynamics of A Flexible Beam Carrying A Moving Mass Using Perturbation，Numerical And Time-Frequency Analysis Techniques［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，229(5):1023－1055.

［4］Al-Bedoor B O，Hamdan M N.Geometrically Non-Linear Dynamic Model of A Rotating Flexible Arm［J］.Journal of Sound and Viberation，2001，240(1):59 －72.

［5］Yau D T W，Fung E H K.Dynamic Response of A Rotating Flexible Arm Carrying A Moving Mass［J］.Journal of Sound and Viberation，2002，257(1):107 －117.

［6］徐可君，江龍平，隋育松.應用模糊方法計算構件振動可靠性［J］.機械強度.2003，25(5):523 －527.

［7］崔海濤，彭兆行.振動構件的強度可靠性分析［J］.機械強度，1998，20(4):312 －315.

［8］于霖沖，白廣忱，焦俊婷，等.柔性機構變形動態響應可靠性分析方法［J］.宇航學報，2006，27(5):1039－1043.

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［10］于霖沖.柔性機構動態可靠性分析［M］.北京:機械工業出版社，2012.