基于賦權已實現波動率的股票市場VaR度量

（西北農林科技大學理學院 陜西楊凌712100）

一、賦權已實現波動率

賦權已實現波動 （weighted realized volatility，WRV）為金融資產日內收益平方的加權之和，即：

公式中，rt，j=r*［（t-1）h+hjN-1］-r*［（t-1）h+h（j-1）N-1］

rt=r*（th）-r*［（t-1）h］，t=1，2，…，T；j=1，2，…，N。 其中，h＞0，為固定的時間區間（本文指一天，即 h=1）；T為樣本容量；N為在 ［（t-1）h，th］時間段內等時間間隔的采樣次數（h=1，則 N 為日抽樣頻率）；r*［（t-1）h+hjN-1］金融資產在第［（t-1）h］天的第 j個日內對數價格；r*（th）表示第 th 天的對數價格；rt，j為金融資產在第t天的第j個時間間隔的日內對數價格收益；rt為金融資產在第t天的日間對數價格收益。N為在［t，t+1］時間段內等時間間隔的采樣次數。

其中wj為日內收益平方的權重，wj的確定直接影響到賦權已實現波動率的精確性和有效性。無偏性是一個估計量最重要的性質之一，要想精確的估計金融資產價格收益波動，賦權已實現波動率首先應該滿足無偏性。但是，有時僅僅滿足無偏性還是不夠的，因為無偏性只能保證估計量的期望值等于其真值，而它本身所取的值大部分很可能與真值相差很大。所以為了保證賦權已實現波動率的取值能大部分集中在金融價格收益波動的真值附近，我們還需要來確定一個最優的權重從而使得賦權已實現波動率的方差達到最小。

二、長記憶存在性檢驗

如果平穩時間序列{xt}的自相關函數ρτ依負冪指數率（雙曲率）隨滯后階數 τ的增大而緩慢下降，即 ρτ～Cτ2d-1，τ→∞。 其中C為常數，稱{xt}為長記憶時間序列，一般，當0＜d＜0.5時，稱時間序列{xt}為長記憶過程，d＜0時，{xt}為中等記憶過程。

其中關于長記憶參數d的估計，本文采用的是聚合序列絕對值法，即：設時間序列{rt}，t=1，2，…T，將其分成樣本容量為m的［T/m］個子樣本，對于固定的m值，可以得到一個聚合序列：

其中C為常數，H＜1，為Hurst指數，取不同的m值，根據（3）式建立如下回歸方程：

其中C1為常數，依上式可以得到H的估計值。再由d=H-0.5得到d的估計值。

三、波動率預測模型：lnWRV-ARFIMA模型

基于賦權已實現波動率的長記憶性，本文考慮采用ARFIMA模型的擴展形式lnWRV-ARFIMA，來對賦權已實現波動率進行建模。模型形式如下：

其中，L 為滯后算子，|d|＜0.5，μ0為{lnWRVt}的均值，εt～i.i.d.（0.σε2），φ（L）和 θ（L）分別為 p 階和 q 階平穩的滯后算子多項式。

四、VaR模型

VaR是在一定的置信水平和一定的目標期間內，某金融工具或投資組合可能出現的最大損失 （或最壞情況下的損失）。即對于選定的置信水平α，VaR可以表示為：

P（Rt＜VaR）=1-α

其中Rt為資產或資產組合在持有期內的損失，VaR為置信水平α下處于風險中的價值。

計算VaR關鍵就在于確定投資組合未來損益的概率密度函數。假設各時點上的收益服從具有時變方差的條件正態分布，即：

f（Rt|Ωt-1）～N（μt，ht）

其中Ωt-1表示第t-1時刻及以前的信息集f（·）表示條件概率密度函數。則：

其中Uα為標準正態分布α水平下的單側分位數。（5）式可以變換得到：

μt是金融資產投資組合的收益率的均值，反映了收益率的平均水平；ht是金融資產投資組合收益率的方差，表示收益率的波動特性，即波動率。由此可見，建立正確的波動率模型對于金融市場風險價值的計算有非常重要的意義。

五、實證分析

（一）建模數據的選取。本文實證研究采用的高頻數據是2010年4月19日至2012年4月18日上證指數5分鐘間隔時段的收盤價，這期間共有485個交易日，共有23 280個數據。通過計算賦權已實現波動率序列取對數前后的均值、標準差、偏度、峰度、Jarque-Bera統計量發現：賦權已實現波動率序列的分布是非正態的，具有嚴重的偏斜和尖峰厚尾現象，而取對數后的已實現波動率和賦權已實現波動率序列反而比較接近正態分布，見表1，所以本文選擇采用對數賦權已實現波動率序列來進行建模。

表1

下面對對數賦權已實現波動率序列進行平穩性和長記憶性檢驗：首先，進行平穩性檢驗，本文所采用的是單位根檢驗，由軟件得到ADF統計值結果為-5.191256，小于1%顯著性水平的臨界值-3.443719，則對數賦權已實現波動率序列不存在單位根，所以序列平穩。其次，進行長記憶性檢驗，利用聚合序列絕對值法計算出的d值來確定其是否存在長記憶性。將{lnWRVt}序列分成樣本容量為m=2，m=3，m=4，…，m=24，m=25，m=26的子樣本，最后通過回歸計算得H=0.8830，則 d=H-0.5=0.3830。 d=0.3830＜0.5，也說明了對數賦權已實現波動率序列具有長記憶性，可以利用ARFIMA模型進行建模。

（二）lnWRV-ARFIMA（p，d，q）模型的建立。 由前面的計算結果得d=0.3830，經計算μ0=-0.0619。本文采用AIC準則方法來為模型定階，得到最優的p，q組合為p=4，q=4。且計算的滑動平均參數：Φ1=0.6580，Φ2=0.0473，Φ3=0.9078，Φ4=-0.6313；θ1=-0.3110，θ2=-0.0289，θ3=-0.9232，θ4=0.4035。所得模型結果為 lnWRV-ARFIMA（4，0.3830，4），即：

（1-0.6580L-0.0473L2-0.9078L3+0.6313L4） （1-L）0.3830（lnWRVt-0.1959） =（1-0.3110L-0.0289L2-0.9232L3+0.4035L4）εt

（三）模型的擬合結果。圖1為前242個交易日的對數賦權已實現波動率的真實值和擬合值的對比圖。

圖1 真實值與擬合值的比較

下面對模型擬合的殘差序列進行檢驗，以檢驗模型是否有效，圖2為殘差序列的自相關函數圖：

圖2 殘差序列的自相關函數圖

由自相關函數圖的顯示結果可以得出殘差為白噪聲序列，所以擬合模型是有效的。

（四）模型預測結果。利用 lnWRV-ARFIMA（4，0.3830，4）模型預測最近5天的對數賦權已實現波動率，并得出相應的賦權已實現波動率，見表2。

表2

六、基于賦權已實現波動率的VaR計算

VaR的計算中被廣泛應用的模型有ARCH類模型族和SV類模型，而我們知道ARCH類模型族和SV類模型主要是針對頻率比較低的日數據來對波動率進行建模的，不能充分體現日內數據高頻特征。因此我們將金融高頻數據的賦權已實現波動率這種新的波動度量方法引入到了VaR的計算中。通過對賦權已實現波動率建模我們得到t-1時刻WRVt的估計值。用它來代替（6）式中的ht，μt取日收益的均值（μt的一階矩估計），這樣便得到時刻的VaRt。VaRt的計算式變為：

一般情況下，日收益率的均值為0，如果我們取α=0.05的置信水平，那么正態分布的單側分位數為uα=1.65，代入（7）式，就可以得到上海股市的風險價值表達式為：

從（8）式可以看出，VaRt相當于賦權已實現標準差的線性變換，而本文前面已經證實了金融高頻數據的賦權已實現波動率序列{WRVt}具有長記憶性，則標準差序列同樣也具有長記憶性，那么標準差序列經過線性變換后得到的序列{VaRt}也具有長記憶性，即具有波動的持續性，從而可以估計未來的風險價值，這對于風險管理有非常重要的意義。

七、結論

本文主要在高頻金融數據的基礎上建立了對數賦權已實現波動率，并對其一些性質進行了研究，發現取對數后的賦權已實現波動率序列仍具有長記憶性，并基于其長記憶性的特點建立了對數賦權已實現波動的分整自回歸移動平均lnWRV-ARFIMA模型，并通過了殘差檢驗，說明模型是有效的，最后提出一種基于賦權“已實現”波動率的VaR計算方法，由賦權“已實現”波動率的長記憶性得到金融波動的持續性，對風險管理具有一定的作用。