數控機床精度評價新方法

趙萬華，張 俊，劉 輝，楊曉君

（1.西安交通大學機械工程學院，西安 710049；2.西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室，西安 710049）

1 前言

高速數控機床的高速、高加速度運動對伺服控制提出了更高的要求，如更高的控制帶寬、更大的調速范圍、更短的控制周期和測量周期等；而且大幅值、高頻寬的驅動力、慣性力、切削力會激勵起機械系統顯著以及更高頻率的振動。這使得由以上因素所引起的誤差遠超過其他誤差（幾何誤差、熱誤差）而成為主導誤差[1，2]。同時由于工作條件的極端化，高速數控機床中控制-伺服驅動-機械間的多層次相互作用，即機電耦合行為更加突出，成為考察上述誤差時必須考慮的重要因素[3]。但目前在數控機床研究中缺乏這方面的準確定義和系統的機理分析與權威的測量評價方法。

此外，在工程應用中，一般利用定位精度和重復定位精度來評價數控機床運動過程的精度，這是一種準靜態的測量評價方法，無法表征數控機床在運動中的瞬態過程（啟停、加減速、換向等）和穩態過程中的機床精度，尤其是隨著對數控機床進給速度和精度要求的提高，這種準靜態的測量方法和評價指標的弊病和不足就更加明顯。為此本文首先從數控機床的數控、伺服、機械等環節在服役態下所表現出來的性能出發，提出一種對數控機床更有針對性的，以運動精度為指標的機床精度評價新方法，通過數控指令與運動軸實際位移的符合程度即運動精度來評價機床精度，然后給出了具體的評價指標，并提出了評價指標的測量方法。分析表明，這種新的機床運動精度描述評價方法能夠系統全面地評價數控機床關鍵性能的優劣。最后從數控、伺服和機械角度分別闡述了影響運動精度的因素。

2 數控機床精度分類及運動精度的定義

從外在表現來看，機床精度可以分為兩大類：一類是由幾何誤差和熱誤差等引起的，與機床運動進給率大小無關的準靜態精度；另一類是源于控制作用和加減速過程中的結構變形、振動，且隨編程進給率大小的不同而變化的動態精度[1]。

Koren在1983年指出，加工中的運動誤差來源大致可以分為3類：第1類來自切削效應，即刀具變形、顫振和刀具-工件的熱變形；第2類來自某些機械缺陷，如軸間不垂直、運動軸間隙、爬行；第3類來自控制與軸動態特性[4]。在數控機床中，第3類誤差通常非常顯著，事實上在高速定位系統中，機械或結構振動是影響輪廓性能的最重要的因素[5]。

Schmitz在2008年指出，工件精度，即工件對尺寸與幾何形狀要求的符合程度，有4個主要來源，分別為幾何誤差、熱變形誤差、由控制與機械特性決定的跟隨誤差和由切削力引起的誤差[6]。值得注意的是,在文獻[6]中所選的高速加工中心-刀柄-刀具組合與工藝參數下，由切削力引起的誤差占主導（76%），這與文獻[1]和文獻[5]的結論不符。這一現象是由于文獻[6]所采用的評價方法中穩態部分權重過大造成的，同時也說明準確的定義和統一的評價方法在研究與應用中的重要性。

基于以上研究，考慮到高速數控機床的特點，本文提出一種數控機床精度分類和各類誤差的定量定義方法。如圖1所示，數控機床的最終精度是設計工件的理想形狀與加工獲得的實際形狀之間尺寸、形狀的符合程度，即圖1中曲面f（x，y，z）=0與f*（x，y，z）=0的符合程度，通常用其法向偏差衡量，數學上某加工區域Ω的法向偏差指標Δtotal可近似按式（1）計算。應用中要注意綜合考察小曲率部分、大曲率部分、轉角部分、過象限部分的偏差，并根據產品特點為各部分賦以合適的權重，才能得到總的加工精度。

圖1 數控機床的精度分類示意圖Fig.1 Classification of precisions in CNC machine tools

式中，（x1，y1，z1）∈Ω；f*（x1，y1，z1）=0；f（x，y，z）=0。

在本文給出的機床精度結構下，數控機床共有4類精度，其定義、主要誤差來源、主要影響因素及與速度、加速度的關系列于表1，其中運動精度是本文研究的主要內容。

表1 數控機床中的4類精度情況Table 1 Description of four types of precision in CNC machine tools

運動精度是數控指令與運動軸實際位移的符合程度，用相應的多維誤差序列 Δdynamic（t）[式（2）]表征。

運動精度的誤差直接與機床運動速度、加速度正相關，不同于GB/T 17421.2—2000（ISO 230.2—2006）中規定的低速運動、穩定后測量的運動軸定位與重復定位精度。一般意義上的動態精度是指系統在隨時間變化的輸入作用下所具有的精度，在給定輸入作用下的該精度是指過渡過程中的最大動態偏差，而本文提出的運動精度描述更為廣泛，評價更為全面。目前國內外尚無關于運動精度的定義、測量和評價標準。

3 數控機床運動精度的評價測量方法

3.1 運動精度的評價方法

由上節定義可知，運動精度可由多維誤差序列Δdynamic（t）給出，但該序列不便于直接應用。簡單的處理辦法是取最大值（最大誤差）或均方和（誤差累積）進行評價[6]，但這樣的評價方法掩蓋了誤差的不同表現形式及其對最終加工誤差的貢獻，而且極大地依賴于加工路徑、參數的選擇。本文依據動態精度相應誤差的表現形式，通過穩態誤差、瞬態誤差、勻速段速度波動誤差3類單項與考慮機床特點和工藝要求的運動精度綜合指標進行評價。

3.1.1 穩態誤差

運動精度中的單軸穩態誤差是在緩變輸入下由于實際位移輸出滯后于位移指令而形成的跟隨誤差（見圖2）。在穩態過程中，跟隨時間滯后Tlag由加減速過程和伺服控制造成的滯后兩部分構成，Tlag不隨輸入指令的速度而變化。而由于時間滯后形成的位置跟隨誤差δtrack隨指令速度正比變化，即

式中，υ為穩態運行下的指令速度。

圖2 單軸穩態跟隨誤差Fig.2 Steady state following error of single axis

運動精度中的聯動穩態誤差部分是由參與聯動各軸的穩態誤差共同作用形成的輪廓誤差的穩態部分，即穩態輪廓誤差。在圓弧插補中用最大半徑偏差Δrmax表征，在小曲率任意曲線中用最大法向偏差δnmax表征。

3.1.2 瞬態誤差

單軸瞬態誤差是運動軸在啟停、換向過程中，由于指令的突變或者間隙、非線性摩擦的突變激勵起系統振蕩調整過程，由此引起的指令與實際位移的偏差（見圖3）。

圖3 準停過程中的振蕩與瞬態誤差Fig.3 Vibration and transient error duringpositioning process

從頻率角度來看，即當輸入能量頻寬大于機械動態特性帶寬時，輸入能量中超出機械帶寬的有用的頻率分量無法實現，形成瞬態誤差：

式中，T（ω）和G（ω）分別為輸入能量特性與機械動態特性。

可以使用最大超調量Mp與調整時間ts等指標衡量單軸動態誤差。

聯動瞬態誤差是由單軸瞬態誤差引起的，在轉角、圓弧過象限以及曲率突變處產生的呈現振蕩調整過程的指令與實際位移的偏差。以最大瞬態輪廓誤差δtmax進行衡量。

3.1.3 勻速段速度波動誤差

勻速段速度波動誤差是在穩速指令下由于伺服推力/力矩波動、控制離散誤差、摩擦與負載波動造成的實際速度與指令速度的偏差。用平均波動幅值ΔVavrg進行衡量。速度波動的頻率、幅值將直接影響加工件的表面質量。

3.2 數控機床運動精度的測量

運動精度的測量，即多維誤差序列Δdynamic（t）[式（2）]的獲取有兩類方法：直接測量與間接測量。

直接測量方法采用編碼器、光柵、激光干涉儀直接測量單軸的實際位移序列。優點是可以一次性準確地獲得單軸誤差序列。但在指令序列的采集及其與實際位移序列的時間同步上存在一定技術困難。

間接測量方法通過平面光柵、球桿儀、基準棒或基準球[7]測量刀具與工件的相對位移軌跡，然后再從中分離出運動精度誤差。優點是可以一次實驗確定多軸誤差，缺點是需要進行誤差分離，且精度不如直接測量。分離方法包括：a.利用各類誤差外在特性的不同進行分離的方法，如利用幾何誤差的空間波長重復性高、運動誤差的時間頻率重復性高的特點分離幾何誤差與運動誤差[8]；b.利用各類敏感因素的不同合理設計實驗進行分離的方法，如利用運動誤差與速度正相關的特點從總誤差中進行分離的方法[1]。

此外，在一定的機械結構與參數下，通過不同的控制增益調整控制精度時，穩態誤差、瞬態誤差、勻速段速度波動誤差的改善往往互相矛盾。而且，不同類型的機床，不同的工件，同一機床同一工件的不同加工階段中對上述3項誤差的要求側重也是不一樣的。因此，在實際測量時，需要考慮實際加工要求，權衡3項誤差，設計運動精度綜合指標Pd[式（5）～式（8）]，同時需要設計能夠充分表現出3項誤差的測試指令（見圖4）。

式（7）中，Vactual與分別為實際速度與平均速度。

圖4 運動精度綜合測試用路徑Fig.4 Trajectories for comprehensive dynamic precision test

4 數控機床運動精度的影響因素

一方面，高速數控機床作為一般的伺服運動控制系統，影響數控機床運動精度的因素有數控及指令特性、伺服控制參數和機械動態特性；另一方面，高速數控機床不同于傳統機床，其運動控制具有顯著的機電耦合特征，機電耦合行為也成為高速數控機床運動精度的重要影響因素。

4.1 數控及指令特性

數控及指令特性對運動精度的影響因素分兩類，一類是不依賴于運動軸伺服、機械特性的影響因素（即當控制對象具有理想比例特性時依然會產生誤差的因素），如控制頻率、誤差寄存器位數、測量精度、加減速時間常數等。文獻[9]定量給出了上述因素與運動精度的關系。

另一類是通過改變對被控對象的激勵起作用的因素，如指令整形、軌跡規劃和不同的加減速策略。文獻[10]用優化控制理論統一了各種軌跡優化方法、指令整形方法、加減速方法，通過解析推導定量給出了各種方法所引起的定位運動殘余振動幅值，及各種方法對被控對象參數（主導振動頻率）變化的魯棒性。需要指出的是，文獻[10]中的方法有利于減少瞬態誤差，但會增加穩態滯后誤差，該穩態滯后誤差可以通過采用伺服系統前饋控制部分消除。另外，通過巧妙設計的加減速策略[11]能夠完全消除加減速帶來的時間滯后誤差，但會增加瞬態誤差，此時可以通過伺服控制中采用指令濾波或陷波濾波部分抑制。

4.2 伺服控制參數

Poo A N等早在1972年就使用簡化模型（一階慣性或純積分），采用經典控制論的基礎方法時域響應分析方法求解了直線與圓弧輪廓誤差的解析表達，并基于解析解討論了誤差的來源以及參數的作用[12]。

目前，對多軸聯動運動精度的建模，即對多軸特別是五軸聯動運動精度與單軸運動精度的關系模型的研究較少，且多停留在低階（2階）少軸數（3軸以下）階段。很難用于分析高速數控機床伺服控制參數與多軸聯動運動精度的關系。Altintas在2009年給出了五軸機床的輪廓誤差模型，將輪廓誤差定義為刀尖點的法向偏移和刀具的姿態偏差兩部分，并用剛體動力學方法給出了誤差模型，其中的機械系統采用1階模型，伺服系統采用比例環節近似[13]。

隨著高速機床的發展以及廣泛應用，對于高速數控機床所具有的高階機械模型，伺服反饋、前饋、濾波作用下的運動精度與伺服控制參數的關系更加復雜，也更加緊密，需要從理論以及實驗兩方面入手，分析討論伺服控制參數對運動精度的影響，實現伺服參數的優化設置。

4.3 機械動態特性

在傳統機床研究中，機械系統往往被簡化為1階系統或2階系統，此時影響運動精度的主要參數是慣性時延Tm或主導振動頻率ωm，根據文獻[10]和文獻[12]可以確定這些參數與運動精度的關系。

但在高速數控機床中，由于驅動力、切削力和慣性力激勵頻寬的增大，機械系統的高階共振頻率將被激起，同時運動軸間的耦合作用將變得顯著。圖5是筆者團隊構建的絲杠驅動單軸機械系統動力學模型及其頻率特性驗證。

圖5 高階運動軸動力學模型與頻率特性Fig.5 Single axis’high order dynamic model and its frequency charcteristics

4.4 機電耦合行為

研究指出，高速數控機床是典型的復雜機電系統。其中高速數控機床的典型代表直線電機進給系統，由于取消了中間所有機械傳動環節，伺服特性與機械特性相互作用更加緊密，現象更加明顯。筆者團隊以永磁同步直線電機進給系統為研究對象，分別利用麥克斯韋張量法和達朗貝爾原理對進給系統伺服驅動力和機械執行機構進行了頻域分析，發現如下機電耦合行為[14]。

1）機械系統具有多階共振頻率，且機械特性通過伺服剛度作用受伺服系統參數影響。

2）伺服驅動輸出力/力矩具有多諧波成分，且輸出特性隨機械負載的位移、速度變化[15]。

3）數控指令特性影響機械響應，同時通過測量擾動，機械特性又影響數控指令特性。

機電耦合行為將極大地影響高速數控機床的運動精度，由于伺服參數的不同以及外界干擾的影響，伺服推力頻率特性將發生變化。某一條件下，當伺服推力某一頻率和機械系統的某一階固有頻率相接近時，系統發生振蕩，運動精度下降。以下給出初步分析結論。

4.4.1 穩態誤差與控制增益上限

單軸進給系統在勻速或平穩變速運動時的穩態跟隨誤差[12]：

式中，V為運行速度；Kp為位置環增益。

可見，增加Kp可以減小穩態跟隨誤差，但在工程實踐中，當Kp增大到某值后系統將會振蕩，甚至失穩不能工作。文獻[14]指出伺服控制參數提高的一個限制因素就是由于前述耦合行為3，即測量擾動引起的系統穩定域變化造成的。

4.4.2 能量頻寬與機械帶寬關系引起的瞬態誤差分析

機械系統響應x（ω）與輸入能量特性T（ω）以及機械動態特性G（ω）的關系為：

其時域響應為：

當輸入能量頻寬大于機械動態特性帶寬時，輸入能量中有用的中頻分量無法實現，形成瞬態誤差：

圖6給出了不同加減速參數下形成的不同頻寬輸入與機械帶寬關系造成的最大瞬態誤差。

圖6 瞬態誤差與能量頻寬和機械帶寬的關系Fig.6 The relationship of the transient error，the energy frequency width and the mechanical bandwidth

4.4.3 高頻諧振引起的瞬態誤差

機械的高階共振往往是傳動絲杠扭振、工作臺柔性振動等，具有阻尼比小（＜0.1）、共振峰值高的特點，G(ω)的各階共振頻率有：ωG1,ωG2,…,ωGn；在加減速、轉角、換向等運動突變處伺服驅動力譜頻寬變大，加之推力波動等其他效應造成的高頻分量，T(ω)的各階峰值頻率有：ωT1,ωT2,…,ωTm。當兩者頻率彼此接近時會產生共振，引起的共振峰值即瞬態誤差：

該頻率下的相角滯后：

若該滯后超過180°系統將失穩，即在此頻率下形成持續、發散振蕩。

5 結語

本文通過研究近期相關文獻，結合筆者團隊工作，對高速數控機床運動精度進行了系統概述。給出了一種新的數控機床精度分類、定義方法；提出了從穩態誤差、瞬態誤差、勻速段速度波動誤差3個方面對運動精度進行評價的方法，并針對實際測試情況，提出了考慮機床特點和工藝要求的綜合指標評價方法；分析表明：這一新的機床運動精度描述評價方法能夠系統全面地評價數控機床關鍵性能的優劣。

通過分析指出了機電耦合行為對高速數控機床運動精度有著重要影響。利用運動精度能夠反映數控機床在設計制造以及加工過程中的核心技術。尤其隨著數控機床速度、加速度的提高，機電耦合現象更加凸顯，利用傳統的定位精度和重復定位精度無法表征數控機床在運動和加工過程中的精度，運動精度的提出更加具有重要的意義。

[1]Andolfatto L，Lavernhe S，Mayer J R R.Evaluation of servo，geometric and dynamic error sources on five axis high-speed machine tool[J].International Journal of Machine Tools&Manufacture，2011，51（10-11）：787-796.

[2]Mohamed Slamani，Rene Mayer，Marek Balazinski，et al.Dynamic and geometric error assessment of an XYC axis subset on five-axis high-speed machine tools using programmed and point constraint measurements[J].International Journal of Advanced Manufacture Technology，2010，50（9-12）：1063-1073.

[3]Zhao Wanhua，Zhang Jun，Liu Hui，et al.Analysis on spectrum characteristic of PMLSM feed drive systems oriented to motion precision[C].Proceedings of the 10th ICFDM，Chongqing，2012.

[4]Koren Y.Computer Control of Manufacturing Systems[M].New York：McGraw-Hill，1983.

[5]Lee K，Ibaraki S，Matsubara A，et al.A servo parameter tuning method for high-speed NC machine tools based on contouring error measurement[C]//Laser Metrology and Machine Performance VI，Proc.of LAMDAMAP，Huddersfield，England，2003.

[6]Schmitz Tony L，Ziegert John C，Canning J Suzanne，et al.Case study：A comparison of error sources in high speed milling[J].Precision Engineering，2008，32（2）：126-133.

[7]洪邁生，蘇 恒，李濟順.數控機床的運動精度診斷法[C].第十一屆全國設備監測與診斷學術會議，無錫，2002.

[8]Kono D，Matsubara A，Yamaji I，et al.High-precision machining by measurement and compensation of motion error[J].International Journal of Machine Tools&Manufacture，2008，48（10）：1103-1110.

[9]Nakamura M，Goto S，Kyura N.Mechatronic Servo System Control[M].Translated by Zhang Tao.Berlin：Springer-Verlag，2004.

[10]Dieulot J Y，Thimoumi I，Colas F，et al.Numerical aspects and performances of trajectory planning methods of flexible axes[J].International Journal of Computers，Communications and Control，2006，I（4）：35-44.

[11]Cao Kun，Zhao Wanhua，Liu Hui.A novel acceleration/deceleration profile on the basis of the analysis of the motor torque frequency spectrum characteristic[C].ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress&Exposition.Houston，Texas，USA，2012.

[12]Poo A N，Bollinger J G，Younkin G W.Dynamic error in type 1 contouring systems[J].IEEE Transactions on Industry Applications，1972，IA-8（4）：477-484.

[13]Sencer B，Altintas Y，Croft E.Modeling and control of contouring errors for five-axis machine tools-Part I：Modeling[J].Journal of Manufacturing Science and Engineering， 2009，131（3）：031006.1-031006.8.

[14]Liu Hui，Yang Xiaojun，Zhao Wanhua，et al.Research on mechatronic coupling facts of linear motor feed drive system based on spectrucm characteristics[C].ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress&Exposition.Houston，Texas，USA，2012.

[15]Yang Xiaojun，Cao Kun，Zhao Wanhua，et al.An overall analysis of servo control system influence on frequency spectrum structure of linear motor thrust[C].ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress&Exposition.Houston，Texas，USA，2012.