基于跖跗圍參數的鞋楦曲面重構

趙 寶， 胡小春， 張晴晴

（合肥工業大學機械與汽車工程學院，安徽 合肥 230009）

鞋楦是制作鞋靴的模具，不僅影響鞋靴的款式及造型的美觀，而且在很大程度上決定了成鞋的合腳性和舒適性。通過級放系統生產出的不同型號的鞋子會或多或少影響穿著的舒適性和合腳性。為了滿足消費者對鞋的樣式、舒適性的要求和提高制鞋企業競爭力，鞋的個性化定制日趨重要。目前關于鞋楦個性化定制的研究基本沿著兩個技術路線：一是參照腳的掃描數據模型對鞋楦數據模型進行重構，設計出較符合人腳的鞋楦，缺點是自動化程度較低、工作量較大[1-6]；二是根據個性化需求，參數化設計修改鞋楦各特征參數值[7-8]，然后將特征參數映射到整個鞋楦曲面上。對于第二種技術路線，基于鞋楦圍度參數的鞋楦曲面重構是其中一個關鍵技術。

鞋楦圍度決定了鞋楦肥瘦，是影響成鞋穿著合腳性、舒適性的主要因素之一。基于鞋楦圍度參數的鞋楦曲面重構是實現鞋楦個性化定制的重要技術內容。2009年王青等提出基于單、多截面曲線約束的鞋楦曲面變形技術對鞋楦曲面進行重構[7]。由于該方法對總圍長的約束依賴于構造的函數曲線，難以準確實現對總圍長的約束，且易改變楦面的凹凸特征和楦底中軸線形狀。2011年Jin Wang等提出了快速個性化鞋楦CAD的方案，通過修改鞋楦上的一些特征點及輪廓線來修改鞋楦圍度[8]，并需要通過手工繪制擴散曲線將局部變換擴散到整個鞋楦曲面上，難以提高自動化程度。

基于圍度參數的鞋楦曲面重構技術，著重于實現以下幾個方面的最佳：重構的鞋楦曲面不僅要保持鞋楦曲面的光順，還要保持原有鞋楦曲面凹凸特征和美學特征、特別是楦底中軸線這個鞋楦重要特征；算法能夠在軟件中實現可視化交互操作，實現較大程度的自動化。文中介紹了以跖跗圍截面曲線的高度、圍長為參數的截面個性化設計，和將跖跗圍截面變換平滑過渡到整個鞋楦曲面的兩種樣條擴散函數。最后，介紹了算法在Matlab軟件中的實現和應用。

1 鞋楦模型結構定義

通過三維掃描器采集得到鞋楦曲面的點云數據，該數據是由一系列沿著楦長方向且含有相同點數的規則數據圈所構成，在坐標系中位置如圖1所示。

圖1 鞋楦數值模型

鞋楦的跖跗圍是鞋楦的兩個關鍵部位，是衡量鞋楦肥瘦的重要標志。楦跖圍指的是楦第一跖趾內寬點和第五跖趾外寬點間的圍長，楦跗圍指的是楦的腰窩外寬點繞過楦背一周的圍長[9]。

如圖2所示，鞋楦中軸面（鞋楦縱剖面）與鞋楦曲面相交得到鞋楦的中軸線，即圖2中曲線HIJKH，其中KH曲線段是鞋楦的楦底中軸線。鞋楦楦面與楦底的交線稱為楦底輪廓，根據鞋楦數據中楦底輪廓處的曲率半徑較小特點提取[10]。

圖2 鞋楦結構定義

跖跗圍曲線與楦中軸線的交點連線可得兩楦圍高，與楦底輪廓線的交點連線可得兩楦圍寬。首先通過截面變換將跖跗圍截面曲線的總圍長、高度變換到個性化需求的目標值，然后構建擴散函數將兩圍截面的變換效果沿楦中軸線及楦底輪廓線擴散至整個鞋楦上。

2 鞋楦曲面重構

2.1 鞋楦截面變換

通過對鞋楦跖跗圍截面的變換來達到對鞋楦圍度參數的修改。如圖1所示，鞋楦跖跗圍截面分別與若干鞋楦數據圈截面相交，它們的形狀、方位與位于其中間位置的鞋楦數據圈截面基本一致。為計算方便，可用分別位于跖跗圍中間位置的鞋楦數據圈截面作為鞋楦的跖跗圍截面分別進行下述變換。以下不失一般性地以任一截面展開對截面變換過程的敘述。

如圖3所示，在鞋楦數據圈截面內建立局部坐標系，其y軸通過鞋楦中軸線面與截面曲線的交點連線AC，x軸通過楦底輪廓線與截面曲線的交點連線DB，原點O由兩軸交點確定

圖3 鞋楦截面上局部坐標系

在局部坐標系內，記整個截面曲線ABCDA為wC，它由底部截面曲線段bC(BCD)和頂部截面曲線段tC(DAB)組成。設OA、OB、OC、OD的變換比例（變換后的模長與變換前的模長之比）分別為S1、S2、S3、S4。由于曲線段bC的凹凸性是一鞋楦比較重要的特征，設定約束S2=S3=S4，以保證截面曲線段bC的凹凸性不變且左右截寬(OD、OB)等比例擴縮。

設截面曲線的初始圍長為 )(wCLl= 、初始高度為h(||AC||)，變換后的目標圍長為Lw、目標高度為H。截面變換過程為：依據參數S1、S2取值，構建變換函數3,2,1Φ:對截面進行變換，使得變換后的截面曲線滿足式(1)約束：

其中，1Φ僅對曲線段tC進行變換：

p=(px,py,pz)∈R3，為鞋楦模型的三維坐標點；僅對曲線段bC進行變換：

變換比例參數S1、S2的確定：根據鞋楦圍線變化的可能性，這兩個比例參數應在 1±δ之間變化，δ是一個小量。首先，確定合適的S2數值。對選定的初始范圍[q1q2]，令S2以步長t變化，只要選取的步長t適當小，由此產生的誤差將不影響精度。參數S2的數學式可以描述為：

鞋楦截面變換的流程結束時輸出的截面變換比例就是符合設計需求的跖跗圍截面變換的比例，分別記跖截面兩項變換比例為：s11,s12，跗圍截面兩項變換比例為：s21,s22。

圖4 變換比例參數S1、S2確定流程圖

2.2 構造擴散函數

為將跖跗圍截面變換效果平滑過渡到鞋楦每數據圈曲線上，以跖跗圍截面變換比例為基準構建擴散函數，用以確定鞋楦各數據圈對應的截面變換比例。對截面變換中的兩項變換比例系數分別構建擴散函數進行擴散控制。

為保證鞋楦曲面形狀和質量，選取三次樣條插值函數來構造擴散函數。它由多段三次曲線拼成，在拼接點滿足二階連續。既能克服高次多項式插值缺陷，又能保證曲線光順性。

根據鞋楦設計的需要，構造了局部、整體兩類擴散函數。局部擴散函數對兩圍截面變換進行局部擴縮，楦頭、楦尾的曲面形狀保持不變。整體擴散函數將兩圍截面變換擴散至整個鞋楦曲面。

局部擴散函數(P1)：

對鞋楦的兩圍進行局部擴散，保持楦頭、楦尾曲面的形狀。局部擴散函數曲線由七插值節點的三次樣條函數構建，如圖5所示，圖中的x坐標值對應從楦頭至楦尾的鞋楦數據圈，n表示鞋楦數據總圈數，x2、x4對應經過跖跗圍截面變換的鞋楦數據圈序號。擴散函數首尾及跖跗圍截面數據圈處對應的節點坐標為：

其中，i=1, 2，分別對應兩圍的第一項變換比例（s11，s21）和第二項變換比例(s12,s22)。本節后面的i取值、含義同上。擴散函數的首尾節點的函數值為1，保證了鞋楦首尾截面形狀不變。為了保證在楦頭端點、楦尾端點處的擴散函數平滑過渡，約束其在這兩處的一次導數為零，即：

在上述4個節點之間的另外3個節點(x1,x3,x5)設置為可控節點，方便后期通過人機交互實現對擴散函數曲線的變形控制。在構造初始擴散函數時，設置這3個可控節點為相鄰兩節點的中間點。

圖5 局部擴散函數

整體擴散函數(P2)：

實現將跖跗圍截面的變換比例在整個鞋楦上進行等比例的擴散。該函數是由5個節點的三次樣條函數構建，如圖6所示。擴散函數首尾及跖跗圍截面數據圈處對應的節點y坐標值分別為：

首尾處的一階導數為零：

(x2,P2(x2))為可控節點，初始坐標值設置為這相鄰兩節點的中間坐標值。

圖6 整體擴散函數

2.3 楦底中軸線恢復

經過上述重構鞋楦曲面楦底中軸線形狀已變動，因楦底中軸線是鞋楦的重要特征，需對重構后鞋楦數據予以恢復原楦底中軸處理。令重構前的楦底中軸線數據為Z1，重構后楦底中軸線數據及整楦數據分別為Z2、Q?；謴烷傅字休S線后的鞋楦數據的實現過程可表述如下：

式中i∈ [1 , 2,3,…n]，n為鞋楦數據的總圈數。

3 算法實現與試用結果

應用本文提出的算法，采用matlab軟件編制了基于楦圍參數的鞋楦曲面可視化重構的應用程序，其主界面如圖7所示。通過輸入跖跗圍的目標圍長及其截面高度變化值、選擇局部或整體擴散方式、并且交互設計合適擴散函數曲線，便能設計出符合目標圍度參數的鞋楦，實現對鞋楦跖跗圍進行可視化的參數修改。

圖7 基于楦圍參數的鞋楦曲面重構界面

對應用程序進行了試用：原樣楦跖跗圍分別為 241mm和 250mm，變換后跖跗圍長分別為245mm和248mm，跖跗圍截面高度改變量分別為 2mm、1mm。如圖 8所示，分別給出采用局部擴散函數和整體擴散函數所對應的重構樣楦曲面。其中的鞋楦曲面顏色映射圖反應了重構后每圈鞋楦數據相對于原鞋楦對應圈數據中心的距離變化值，可以看出重構后的楦高有所增加。局部擴散和整體擴散的區別反映在兩圖中的兩圍截面的變換在向楦尖端點和統口后端點擴散時的不同。

為了分析鞋楦曲面的重構對其光順性的影響，進行了重構前后鞋楦曲面的高斯曲率的變化率（Δr：重構前后高斯曲率差值與重構前相應曲率值之比）的計算和統計，結果如表1所示?？梢钥闯鲋貥嫼笮盖娴母咚骨首兓试诳山邮芊秶鷥?，能很好的保持原鞋楦的曲面光順性，保證鞋楦的制作工藝要求。

表1 重構后鞋楦數據點Δr分布

4 總 結

本文提出并實現了一種基于鞋楦跖跗圍截面的圍長及高度參數控制的鞋楦曲面重構方法，是鞋楦個性化CAD系統的一個重要部分，能完善鞋楦級放設計的不足，推動鞋楦個性化設計的發展。利用本工作成果的可視化設計界面，設計者只需輸入圍長和高度改變量的目標值，并通過交互式拖動控制點構造合適的擴散函數，即可實現基于鞋楦兩圍長的鞋楦曲面重構。設計的兩類擴散函數能適應不同需求。擴散處理后的鞋楦曲面光順性都較好。

圖8 鞋楦曲面重構效果圖

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