關(guān)于一個初等數(shù)論問題的解答與推廣

劉春輝

（赤峰學(xué)院 教務(wù)處,內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 問題的引入

《初等數(shù)論》是數(shù)學(xué)及其相關(guān)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)性課程，數(shù)論問題的解答在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面都發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.因此，在教學(xué)實踐的過程中，教師都十分重視對學(xué)生解題能力的訓(xùn)練.由此，也大大提升了廣大教師和學(xué)生對許多有趣的數(shù)論問題進(jìn)行解答和深入思考的濃厚興趣.由王進(jìn)明[1]主編的《初等數(shù)論》一書的習(xí)題1.3中有如下一道很有趣的習(xí)題：

某位同學(xué)沒有注意寫在兩個七位數(shù)之間的乘號，將其誤認(rèn)為是一個14位數(shù)，有趣的是此14位數(shù)正好是原來兩個七位數(shù)乘積的三倍，試求出這三個數(shù).

本文將給出該問題的一個完整的解答，并結(jié)合在教學(xué)實踐中對該問題的進(jìn)一步思考，對其作一般性推廣，在獲得了一般性結(jié)論的同時，還得到了一個十分有趣的計算結(jié)果.

2 問題的解答

上述問題完整的解答過程如下：

設(shè)乘積中的兩個七位數(shù)分別為A和B，14位數(shù)為C，則由題意可得

從而可得

又因為

所以由[1]中定理1.3.13可得

又因為A和B都是七位數(shù)，所以可設(shè)

故由3整除一個正整數(shù)的特征得

從而k的所有可能的取值為

（I）當(dāng) k=2時，有 6A=107+2，解得 A=1666667，此時B=2A=3333334，于是C=16666673333334；

（II）當(dāng)k=5時，有15A=107+5，因為最小的七位數(shù)為106，而15×106>107+5，所以A無解.

（III）當(dāng) k=8時，有 24A=107+8，因為最小的七位數(shù)為106，而24×106>107+8，所以A亦無解.

綜上所述，所求的兩個七位數(shù)分別為

3 問題的推廣

以上是關(guān)于一個14位數(shù)恰好等于兩個七位數(shù)乘積的三倍問題的求解過程.事實上，這個問題可以推廣為關(guān)于兩個n位數(shù)與一個2n位數(shù)的關(guān)系的一般性問題，具體討論如下：

是否存在兩個n位整數(shù)

以及一個2n位整數(shù)

使得3AB=C.

解 假設(shè)滿足條件的整數(shù)A，B和C存在.則由題意可得

又因為A和B均為n位數(shù)，所以可設(shè)

故由3整除一個正整數(shù)的特征得

從而k的所有可能的取值為

（I）當(dāng) k=5時，有6A=10n+2

若 n=1，則

A=2，B=2A=4，C=10A+B=24

若 n≥2，則

（II）當(dāng) k=5時，有 15A=10n+5

若 n=1，則

若n≥2，因為最小的n位整數(shù)為10n-1，而15×10n-1>10n-1+5，所以此時A無解.

（III）當(dāng)k=8時，有24A=10n+8.因為最小的n位整數(shù)為10n-1(n≥1)，而24×10n-1>10n+8，所以此時A亦無解.

綜上所述，可得結(jié)論如下：

至此，我們對推廣后的問題給出了一個完滿的回答.此外，如果對上述解答過程再做進(jìn)一步的深入思考，不難發(fā)現(xiàn)如下的一系列有趣的計算規(guī)律：

〔1〕王進(jìn)明.初等數(shù)論[M].北京:人民教育出版社,2002.