四旋翼飛行器建模與PID控制器設(shè)計

江 杰 ， 豈偉楠

（內(nèi)蒙古科技大學 信 息工程學院， 內(nèi)蒙古 包 頭 0 14010）

近年來，隨著新型材料、微機電（MEMS）、微慣導（MIMU）以及飛行控制等技術(shù)的迅速發(fā)展，小型四旋翼飛行器得到了進一步的發(fā)展，逐漸成為各國科技人員關(guān)注的焦點。小型四旋翼飛行器是一種具有4個螺旋槳，并且螺旋槳呈十字交叉結(jié)構(gòu)的旋翼式飛行器，它通過調(diào)整4個電機的轉(zhuǎn)速來實現(xiàn)俯仰、橫滾、偏航等飛行動作，并具有可懸停、機動性好、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點。

飛行控制一直是小型四旋翼飛行器的關(guān)鍵技術(shù)，國防科技大學的聶博文設(shè)計了基于反步法的控制器，哈爾濱工業(yè)大學的王樹剛設(shè)計了基于H∞回路成形的控制器，東北大學的王麗新設(shè)計了基于滑動模態(tài)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器[1-3]。目前有關(guān)于四旋翼飛行器控制算法的研究多集中在非線性控制方面，由于非線性控制對系統(tǒng)模型準確性有很高的要求，在模型誤差存在的條件下，PID控制更加有效。本文在四旋翼飛行器動力學建模的基礎(chǔ)上設(shè)計了PID控制器。

1 四旋翼飛行器動力學模型的建立

恰當?shù)淖鴺讼颠x取有利于對四旋翼飛行器的運動過程進行分析，在描述四旋翼飛行器繞三坐標軸平動、轉(zhuǎn)動的過程中，常選擇載體坐標系。分析、定位飛行器在空間的位置時，則在導航坐標系中研究、分析較為方便。上述定義的兩個坐標系如圖1所示。

圖1 導航坐標系和載體坐標系Fig.1 Navigate and body coordinate system

選取導航坐標系為絕對坐標系，記為n。以原點On為水平面內(nèi)一點，Xn軸位于水平面內(nèi)，指向正東方向，其Yn軸位于水平面內(nèi)并且與Xn軸垂直且指向正北方向，Zn軸與Xn軸和Yn軸構(gòu)成的平面垂直且方向為垂直向上，符合右手法則。

機體坐標系建立在飛行器機體上，記為b。其原點Ob在飛行器重心位置上，Ob-XbYbZb在小型四旋翼飛行器對稱平面內(nèi)，Xb軸與Xn軸平行且指向右方，Yb軸與Yn軸平行且指向前方，Zb軸與Zn軸平行且指向上方。

機體坐標系繞3個軸旋轉(zhuǎn)與導航坐標系所成的夾角分別稱為俯仰角θ、橫滾角φ，航向角ψ。姿態(tài)角定義如下：

俯仰角θ：為機體坐標系Xb軸和導航坐標系XnOnYn平面的夾角。

橫滾角φ：為機體坐標系Yb軸和導航坐標系XnOnYn平面的夾角。

航向角ψ：為機體坐標系Xb軸在導航坐標系XnOnYn中投影與OnXn的夾角。

為在建立飛行器運動方程時考慮所有這些因素將是極其復雜的，因此我們采取抓主要矛盾、略去次要因素的方法進行研究。作如下假設(shè)：

1）飛行器為剛體且質(zhì)量是常數(shù)；

2）地面坐標系為慣性坐標系；

3）忽略地球曲率，即采用所謂的平板地球假設(shè)；

4）重力加速度不隨飛行高度而變化；

5）對于面對稱、軸對稱布局的飛行器，其不僅幾何外形對稱，而且內(nèi)部質(zhì)量分布也對稱[4]。

在機體坐標系中，定義推力T（T∈R）為飛行器4個旋翼產(chǎn)生升力總和，因此在機體坐標系中飛行器受到的拉力可以表示為如式（1）所示：

式（1）中 Fi表示四旋翼飛行器第 i（i=1，2，3，4）個旋翼產(chǎn)生的升力，四旋翼飛行器在被看作為剛體的時候，其運動規(guī)律可用沿空間三個線坐標和三個角坐標的運動形式來表示，即飛行器的線運動（飛行速度的增減運動、升降運動和側(cè)移運動），以及圍繞飛行器機體中心軸轉(zhuǎn)動的角運動（俯仰方向角運動、橫滾方向角運動、偏航方向角運動）。

首先討論小型四旋翼飛行器在導航坐標系下沿Xb、Xb、Zb3個軸向的線位移運動方程，如式（2）所示：

其中系數(shù)ki（i=1，2，3）表示飛行器在導航坐標系中Xn、Yn、Zn方向上的空氣阻力系數(shù)，由于飛行器在實驗階段處于低速飛行狀態(tài)，故該系數(shù)可以忽略不計。

飛行器繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)的角運動包括俯仰角運動、橫滾角運動、偏航角運動，根據(jù)力矩平衡原理，得到飛行器在導航坐標系下 Xn、Yn、Zn的角位移方程，見式（3）所示：

式中l(wèi)為飛行器重心到每個螺旋槳的距離；Mi為第i個螺旋槳產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動力矩；I為對應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動慣量，=Iz/l，Ki（i=4，5，6）表示飛行器在角位移運動時的空氣阻力系數(shù)，其中k=k6l，選取式（4）作為四旋翼飛行器控制系統(tǒng)控制輸入量：

式（4）中 u1、u2、u3、u4分別為飛行器的升力、橫滾力、俯仰力、偏航力。把四旋翼飛行器垂直、俯仰、橫滾、偏航通道的4個輸入力用矩陣的形式表示為U=[u1u2u3u4]T。把四旋翼控制系統(tǒng)模型分解為飛行器在上述4個獨立的運動控制通道，把式（4）帶入到式（2）、（3）中，在忽略與速度平方成比例的空氣阻力系數(shù)ki的條件下[5-6]，系統(tǒng)數(shù)學模型可以簡化為如式（5）所示：

2 PID控制器設(shè)計

采用準LPV法對四旋翼飛行器控制[8]系統(tǒng)建立線性空間模型，使用了近似方法并忽略了四旋翼飛行器力和力矩之間弱耦合[7]。建立四旋翼飛行器系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)，其中設(shè)定飛行器垂直方向速率z˙、俯仰方向角速率θ˙、橫滾方向角速率φ˙和偏航方向角速率ψ˙為4個輸出變量；x軸方向線速率，y軸方向線速率，z方向線速率z，俯仰方向角加速率θ˙，滾動方向角加速率φ˙，偏航方向角加速率ψ˙，重力加速度 g，俯仰角 θ，橫滾角φ和偏航角ψ為狀態(tài)變量；輸入為u1、u2、u3、u4所構(gòu)成的矩陣，進一步根據(jù)準LPV法可以得到四旋翼飛行器系統(tǒng)狀態(tài)空間如式（6）所示：

通過求解相關(guān)系數(shù)矩陣，帶入飛行器實際模型參數(shù)，并在小角度范圍下有cosθ=1cosφ=1，得到在狀態(tài)空間形式下的傳遞函數(shù)，如式（10）所示：

四旋翼飛行器在實驗過程中機體處于小角度范圍為進行變化進行，故可以有 cosθ=1cosφ=1，式（10）簡化為：

系統(tǒng)最終的線性模型由飛行器機體模型和無刷電機模型共同組成，無刷直流電機被描述為一個一階慣性環(huán)節(jié)，電機調(diào)速器控制信號和旋翼產(chǎn)生升力之間的傳遞函數(shù)為：

d為電機電子調(diào)速器控制信號與電機升力之間的比例系數(shù)，比例系數(shù)的選取一般是通過實驗測量得到的d值的大小對系統(tǒng)仿真影響較小，因此在四旋翼飛行器控制器設(shè)計中取d=1來進行系統(tǒng)仿真，并設(shè)旋翼升力F和Ud之間的關(guān)系為G2（s），G2（s）如式（14）所示：

故系統(tǒng)最終的線性模型為：

根據(jù)如式（15）所示傳遞函數(shù)對飛行器4個通道設(shè)計控制器，其中在垂直速率方向（kP=15、kI=0.01），偏航角速率方向（kP=3，kI=0.01）使用 PI控制算法，在俯仰角速率方向（kP=3.8，kD=1.1）、橫滾角速率方向上（kP=3.8，kD=1.1）設(shè)計 PD 控制器。當t=3 s時各通道分別加入脈寬為3 s的方波信號，仿真結(jié)果如圖 2、圖3、圖4、圖5所示。

3 結(jié) 論

圖2 垂直速率通道方波響應(yīng)Fig.2 Vertical speed of square response

圖3 俯仰角速率通道方波響應(yīng)Fig.3 Pitch speed of square response

圖5 偏航角速率通道方波響應(yīng)Fig.5 Yaw speed of square response

通過觀測系統(tǒng)在方波信號下的響應(yīng)曲線圖2、圖3、圖4，在系統(tǒng)動態(tài)性能指標中，上升時間﹤0.5秒，調(diào)節(jié)時間﹤1秒，超調(diào)量﹤20%，設(shè)計的控制器在垂直速率、俯仰速率、橫滾速率、偏航速率通道上滿足系統(tǒng)控制要求。

[1]王樹剛.四旋翼直升機控制問題研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學，2006.

[2]聶博文.微小型四旋翼無人直升機建模及控制方法研究[D].長沙：國防科學技術(shù)大學，2006.

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