樹指標集馬氏鏈的強極限性質

邊 靜，汪志明

（唐山學院 基礎教學部，河北 唐山063000）

1 預備知識

設T是一無限樹，x≠y是T的兩個不同頂點，在頂點x和y 之間存在唯一的路徑：x＝z1，z2，…，zn＝y，其中z1，z2，…，zn是不同的頂點，并且zi和zi＋1相鄰。于是x和y之間的距離為n－1。為了給樹T中的頂點編號，我們選定一頂點為根頂點，記為O。如果一個頂點和根頂點O的距離為n，稱該頂點為第n層頂點，稱根頂點O為第0層頂點。

樹指標集馬氏鏈［1］的概念首先由Benjamin I．提出來，楊衛國研究了齊次樹指標集馬氏鏈的若干極限性質［2］，在此本文將定義一類特殊的非齊次樹，并給出非齊次樹指標集馬氏鏈的強極限性質。

定義 設T是一無限樹，｛Nn，n≥1｝為一可數的正整數集合，如果對于n（n≥0）層的頂點都有Nn＋1個子代，樹T為廣義的Bethe樹或廣義的Cayley樹。特別的，令N＝｛0，1，2…｝，用模r（正整數）的同余關系對其分類得到r的剩余類：

當n∈（i），令 Nn＋1＝αi（αi為正整數，并且不恒為1）。i＝0，1，…，r－1。用這種方法，我們得到了特殊的非齊次樹 Tα0，α1，…，αr－1 。

在本文中，T 表示非齊 次樹 Tα0，α1，…，αr－1，G＝｛0，1，2，…｝為一可數集合，｛Xσ，σ∈T｝是定義在概率空間｛Ω，F，P｝上在G中取值的樹T指標集馬氏鏈。Tn表示從根頂點到第n層的頂點組成的子樹。T（i′）n（i′＝0，1，2，…，r－1）表示由根頂點到第n層頂點之中第（i′）層上的頂點構成的子樹。S（σ）為頂點σ的所有子代。

引理［3］設｛ξn，n≥0｝為關于｛Fn，n≥0｝適應的隨機序列，且對于n＞0，都有常數K＞0，使得｜ξn｜≤K，設｛an，n≥1｝是任一非負的隨機變量序列。令

2 非齊次樹指標集馬氏鏈的強極限定理

定理1 設｛Xσ，σ∈T｝為非齊次樹T指標集馬氏鏈，｛an，n≥1｝為任意的隨機序列。g（x0，x1，…，xr－1）為定義在Gr且取值0或1的函數。設

則

證明 對于m≥1，存在K＞0，滿足

定理2 設｛Xσ，σ∈T｝是非齊次樹T指標集馬氏鏈，令

則有

且A＝B a．s．于B。

證明 在定理1中，令an＝Gn（ω），則有，由定理知（1）式成立。

在定理1中，令an＝Fn（ω），則有

由（1）式有limGn（ω）＝1，ω∈A∩B，則有n→∞Fn（ω）

所以有A＝B a．s．

［1］ Benjamini I，Peres Y．Markov chains indexed by trees［J］．Ann Probab，1994，22：219－243．

［2］ Yang Weiguo．Some limit properties for Markov chains indexed by a homogeneous tree［J］．Stat．Letts．，2003，65：241－250．

［3］ Fan Zhenyao，Jin Shaohua，Bian jing．A new application of stochastic matrices［G］／／The Proceedings of 3International Workshop on Matrix Analysiss，Liverpool：World Academic Press，2009（1）：121－125．