光晶格動量依賴偶極勢中原子運動

余學才 汪平和 張利勛

(電子科技大學光電信息學院,成都 610054)

(2013年1月25日收到;2013年3月29日收到修改稿)

1 引言

近二十年來,中性原子激光導引、冷卻和操作的迅速發展開辟了原子光學學科[1-3].置于激光場中的中性原子,在共振或近共振相互作用下,主要受到兩個力的作用.一個力是源于自發輻射的輻射力,另一個力是原子偶極矩受光場的作用力,后者正比于光場的空間梯度.在駐波激光場中,駐波激光場形成一個1維或2維的空間周期勢晶格.偶極力用于原子導波[4-9]、原子束折射、反射、聚焦[10-13]和分束[14-19].由于偶極勢可以通過調制激光束得到控制,偶極勢提供了一個控制玻色凝聚體的有效手段.光晶格勢場中不存在晶格熱振動、晶格缺陷等現象,被光晶格囚禁的玻色原子云可望保持很好的量子相干性.對于原子操作,可以增加失諧將輻射力降低到可以忽略的程度,此時原子主要受偶極力的作用.

由于多普勒效應,光場作用下原子偶極勢既依賴于空間坐標,也依賴于原子的動量.原子在這個獨特的動量依賴勢場中的運動令人迷惑.對原子在偶極力中的運動,已做了相當多的研究,文獻[1,20,21]對這些理論和實驗研究做了總結.在這些研究中,偶極力的動量依賴特性未予考慮.但文獻[8]根據偶極力的動量依賴特性提出了一種消色差的原子透鏡.在本文中,我們考慮了偶極力的動量依賴特性,研究了紅失諧下光晶格勢場中原子的動量演化.結果表明,初始動量較大的原子,飛入光晶格勢場中后,動量演化可以分為三個階段.在第一階段,原子動量緩慢減小.原子動量在光晶格的第一半周期減小,下半周期增加,但原子飛躍一個晶格后動量有一個很小的凈減小量.這個結果和以前研究原子在偶極力中減速的結果一樣,文獻用希臘神話中的西西福斯(Sisyphus)神從山腳到山頂永無止境滾石的過程來類比這個過程[22-24].第二階段,當原子飛躍很多個晶格后,原子動量減小到光子動量時,會很快下降.第三階段,原子動量在波腹和波節分別達到如下極限：

式中hˉk是光子動量,Ω是拉比頻率,γ為原子波函數的時間衰減常數.在其他位置,原子的動量在上述兩個數值之間.由于一般情況下拉比頻率遠小于波函數衰減常數(Ω?γ),所以原子動量極限遠小于光子動量.在第三階段,如果有很多原子進入光晶格,原子將逐漸在波腹處和波腹附近積累起來,形成捕獲原子云.對動量和位置的方差計算表明,原子動量呈現壓縮性質,位置呈現放大性質.因此,在紅失諧動量依賴光學偶極力作用下,原子最終量子態可能接近于動量壓縮線態(line state).此結論表明,文獻[25,26]關于外勢場中玻色氣體在零動量態上凝聚的假設應為動量壓縮線態上凝聚.

2 運動方程

早在1978年,Ashkin[27]就導出了在非飽和情況下,連續波和原子近共振相互作用偶極勢為其中M為原子質量,c為光速,pz為光傳播方向上的原子動量,為拉比頻率,Δ=(ω-ω)/ω 為失諧量.由于拉比頻率一般00情況下遠小于原子頻率(Ω?ω0),方程(2)后來被廣泛用于原子激光操作實驗和理論研究中[24].其中第一個因子反映了偶極勢與失諧的關系,在紅失諧下勢場為負,藍失諧下勢場為正;第二個因子反映了勢場和拉比頻率的依賴關系,拉比頻率越高,勢場絕對值越大.在駐波情(況下,偶)極勢可近似為

其中k為波矢.此勢包含了一個空間周期函數sin2(k z)和一個動量依賴函數 f(pz).原子的哈密頓量為

經過一系列復雜精密對易關系計算(附錄),動量和位置運動方程分別為

(6)式中右邊第二項來源于勢動量依賴函數.與不依賴于動量的運動方程d p/d t比較,此項是考慮了動量依賴關系后增加的.后面的計算結論表明,此項決定了極端慢速原子的行為.將動量、時間和位置做歸一化為無量綱物理量：

運動方程變為

通過穩態條件d p/d t=dφ/d t=0得到動量的最終極限(1)式.但是只有在波腹和波節能夠達到穩態條件,在其他位置,動量值在(1)式給出的兩個值之間.當失諧量滿足|ω-ω0|?γ,動量在波腹處的極限值為hˉ k(Ω/γ)2.在小信號(非飽和)條件下,由于拉比頻率遠小于能級衰減常數(Ω/γ?1),所以原子的動量極限遠小于光子動量.

3 動量演化

考慮較大動量

情況,運動方程可近似為

對方程(11)和(12)數值求解,結果如圖1所示,動量近似阻尼振蕩.在原子飛躍一個晶格期間,第一半周期原子被減速,第二半周期原子被加速.飛躍一個晶格后,動量有一個很小的凈減小量：

pˉz,j代表原子進入第j個晶格時的動量.如果pˉz,j小于失諧量,動量凈變化小于0,原子被減速;反之,原子被加速.所以原子被加速還是減速不僅決定于是紅失諧還是藍失諧,還取決于原子的初始動量.在紅失諧條件下(Δ＞0),歸一化動量小于失諧量的原子被減速;歸一化動量大于失諧量的原子則被加.原子飛躍第j個晶格的時間Δtˉj近似為

圖1 原子在初始幾個光晶格中的動量演化,原子在一個晶格的第一半周期被加速,第二半周期被減速.經過一個晶格后,原子動量有一個凈減小量(初始動量ˉp0=10-6,相當于初始速300 m/s,失諧量Δ=10-12,ω0/γ=105,ˉhω0/Mc2=10-9,拉比頻率Ω/γ=10-1)

圖2 不同拉比頻率下原子飛躍1000個晶格的動量凈減小量(拉比頻率Ω/γ：(a)0.1,(b)0.09,(c)0.08,(d)0.07,(e)0.06;初始速度300 m/s,失諧量Δ=10-6,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖2 和圖3分別給出不同拉比頻率和初始動量下動量減速的情況.需要飛躍很多個晶格后動量才能有效降低.當動量減小到ˉhk量級時,動量急劇下降(圖4),迅速達到最終極限(圖5),在波節和波腹處達到(1)式給出的值.在此期間,如果有大量原子入射,原子將在波腹和波腹附近逐漸積聚.

圖3 不同初始動量下原子飛躍1000個晶格的動量凈減小量(初始動量ˉp0：(a)10-2,(b)1.1×10-2,(c)1.3×10-2,(d)1.4×10-2;拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-6,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖4 動量演化的全貌 經過較長時間的減速后,動量接近ˉhk(Ω/γ)2量級時,原子迅速減速原子,并逐漸停止在波腹和波腹附近處(初始動量ˉp0=5×10-5,失諧量Δ=10-12,拉比頻率Ω/γ=0.3,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖5 原子動量在達到極限時的較詳細情況 原子在波腹和波腹附近動量接近0,但加速度不為0,因此緩慢越過波節運動到下一個晶格(初始動量ˉp0=2.5×10-6,失諧量Δ=10-12,拉比頻率Ω/γ=0.5,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

4 動量壓縮性質

原子在光晶格中經過很長時間的飛行?后,?經歷了一個各態歷經的過程,我們用時間平均p2z=代替海森伯繪景下量子平均求動量和位置的方差：

結果如圖6和圖7所示.從圖中可見,動量方差經過一個最大值后緩慢減小,位置方差則單調增加.因為各態只有經歷足夠長的時間后才可能是正確的,時間較短的平均值是不可信的,所以動量方差最大值之前的單調上升的趨勢是不可信的.在經過近十萬個光學周期(微秒時間)后,動量方差單調減小,說明了原子在一個動量減速勢中經過較長時間后處于動量壓縮態的性質.

圖6 歸一化動量方差(初始動量ˉp0=1.25×10-5,拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-8,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖7 歸一化位置方差(初始動量ˉp0=1.25×10-5,拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-8,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

5 高斯晶格下原子運動

考慮高斯光束構成的晶格,拉比頻率為

其中w為光斑半徑.原子的運動軌道由下面方程求出

式中pˉx=px/Mc,xˉ=kx,wˉ=kw.圖8和圖9分別給出了原子在不同橫向動量下和不同拉比頻率下的運動軌道.橫向向外運動的原子,橫向動量較小的情況下,將被偶極勢拉回到光束中心,原子軌道對拉比頻率十分敏感.拉比頻率越大,原子越容易被拉回到光束中心.

6 結果與討論

本文研究了光晶格勢中原子的動量演化,特別考慮了偶極勢的動量依賴關系.對動量和位置的方差計算表明,原子動量呈現壓縮性質,位置則呈現放大性質.根據此結論,我們預言光晶格動量依賴偶極勢中的單粒子態可能接近動量壓縮線態.研究結果表明,原子動量演化可以分為三個過程：第一個過程是阻尼振蕩衰減過程,此過程對初始動量較大的原子,將持續很長的時間;第二個過程是當動量被降低到光子動量數量級時,動量急速減小;第三個過程是原子逐漸在波腹與波腹附近停下來,被囚禁在波腹附近.

圖8 不同初始橫向動量下原子軌道初始橫向動量ˉp：(a)-8×10-9,(b)-6×10-9,(c)-4×10-9,(d)-2×10-9,(e)0;拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-8,初始縱向動量ˉpz=10-5,初始橫向位置x=10λ,光斑半徑w=100λ,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105

圖9 不同拉比頻率下原子軌道 Ω/γ：(a)0.12,(b)0.11,(c)0.1;初始向外橫向動量ˉpx=2×10-9,失諧量Δ=10-8,初始縱向動量ˉpz=10-5,初始橫向位置x=10λ,光斑半w=100λ,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105

本文推導了海森伯繪景下依賴于動量偶極勢中原子運動方程,是全量子理論,可用于進一步研究原子激光束聚焦、原子激光捕獲以及原子激光束反射鏡等效應.

附錄

動量方程：

式中p0=McΔ.從對易關系

得到：

位置方程：

計算對易關系：

利用：

得到：

再利用求和公式：

最后得到：

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