基于量子理論的圖像中值濾波

謝可夫，許悟生

(湖南師范大學(xué) a.計(jì)算機(jī)教學(xué)部；b.物理與信息科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410081)

1 概述

1974年 Tukey在進(jìn)行時(shí)間序列分析時(shí)提出中值濾波運(yùn)算，隨后該方法被引入到圖像處理領(lǐng)域，與傳統(tǒng)的線性平滑濾波方法相比較，中值濾波能在有效地濾除脈沖噪聲的同時(shí)較好地保留圖像細(xì)節(jié)。因此，中值濾波成為實(shí)際應(yīng)用中被廣泛使用的非線性圖像濾波技術(shù)。

傳統(tǒng)的中值濾波算法使用固定窗口在圖像中移動(dòng)進(jìn)行像素排序取中值運(yùn)算，因此，窗口的大小將直接影響濾波的效果，理論可以證明，當(dāng)窗口中所含噪聲像素點(diǎn)的數(shù)目大于和等于窗口元素?cái)?shù)目的一半時(shí)，傳統(tǒng)的中值濾波不能有效地消除噪聲。此外，對(duì)檢驗(yàn)點(diǎn)(移動(dòng)窗口中心點(diǎn))無條件的執(zhí)行中值運(yùn)算是影響傳統(tǒng)中值濾波效果的另一原因，顯然如果窗口中心點(diǎn)為非噪聲污染的像素點(diǎn)，或者排序中值對(duì)應(yīng)的像素點(diǎn)與窗口中心的距離較遠(yuǎn)，這種替代都將不可避免地造成對(duì)圖像細(xì)節(jié)的損壞。

對(duì)傳統(tǒng)中值濾波的改進(jìn)一直受到業(yè)界的關(guān)注，因此，許多改進(jìn)的中值濾波算法被提出，如遞歸中值濾波[1]、各種加權(quán)中值濾波[2-3]等。雖然這些改進(jìn)有效地提高了中值濾波的效果，但對(duì)受大噪聲強(qiáng)度污染的圖像其其降噪能力卻仍不理想，事實(shí)上解決上述問題的關(guān)鍵在于2個(gè)方面：(1)引入自適應(yīng)濾波機(jī)制，使窗口的大小和形狀能根據(jù)移動(dòng)位置附近像素的局部特征自動(dòng)調(diào)整；(2)采用有條件的中值運(yùn)算，即窗口移動(dòng)時(shí)僅對(duì)受噪聲干擾的像素點(diǎn)進(jìn)行排序中值運(yùn)算。而兩者之中如何讓窗口的大小和形狀隨圖像的局部特征變化是急需解決的關(guān)鍵問題。

近年來借鑒量子理論建立的、在當(dāng)前計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的信息處理新算法收到學(xué)術(shù)界的關(guān)注，如量子信號(hào)處理、量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子遺傳算法[4-7]和基于量子理論的圖像處理新算法[8-9]等。本文提出改進(jìn)的中值濾波算法，沿用上述算法的思想，通過借鑒量子理論引入自適應(yīng)濾波機(jī)制，并采用有條件中值運(yùn)算對(duì)傳統(tǒng)的中值濾波算法進(jìn)行改進(jìn)。但值得強(qiáng)調(diào)的是這里所引入的量子理論的一些基本概念和操作僅考慮其數(shù)學(xué)意義上的合理性而不受量子系統(tǒng)自身的物理約束。

2 圖像的偽量子化

2.1 量子比特

一個(gè)量子比特(一個(gè)量子位)是一個(gè)有2個(gè)基態(tài)的雙態(tài)量子系統(tǒng)，若將這2個(gè)基態(tài)分別記為|0〉和|1〉，則一個(gè)量子比特即是由一對(duì)特定的標(biāo)準(zhǔn)正交基組成：

其中，a, b是2個(gè)復(fù)數(shù)，分別稱之為狀態(tài)|0＞和|1＞的概率幅，包含4個(gè)實(shí)參數(shù)，它的模方需要滿足歸一化條件：

在式(1)中，若 a= 1,b = 0或 a=0,b =1，態(tài)|ψq〉退化到|0〉或|1〉。在量子信息處理中，通常將基態(tài)|0＞和|1＞對(duì)應(yīng)經(jīng)典比特的 0和 1。當(dāng)量子位處在一般的|ψq〉= a |0〉 + b |1〉描述的態(tài)時(shí)， |a|2和 |b|2分別表示對(duì)|qψ＞測(cè)量時(shí)獲得基態(tài)|0〉和基態(tài)|1〉的概率。

2.2 圖像的偽量子化表示

設(shè) f( m, n)為一幅數(shù)字圖像， (m, n)∈ Z2，灰度級(jí)歸一化處理后， f( m, n)∈ [0,1]表示在位置 (m, n)∈Z2處圖像像素的灰度值。然而，從概率統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)看，f( m, n)、1 ? f( m, n)也可分別表示在位置 (m, n)∈Z2處像素的灰度值為1和0的概率。這樣圖像 f( m, n)可用量子比特表示為：

其中，|0〉、|1〉表示經(jīng)典比特“0”和“1”，它是量子系統(tǒng)中的 2個(gè)基態(tài)，分別對(duì)應(yīng)圖像中的黑點(diǎn)(f( m, n) = 0,|f( m, n)〉 =| 0〉)和白點(diǎn)(f( m,n) = 1,|f( m, n)〉=| 1〉)。對(duì)非黑、白點(diǎn))、分別為出現(xiàn)黑點(diǎn)|0〉和白點(diǎn)|1〉的概率幅，顯然式(3)的概率幅滿足歸一化條件式(2)。|f( m, n)〉稱為圖像 f( m, n)的偽量子化表示。

2.3 量子Hadamard變換

按量子理論[10]將量子 Hadamard門 H作用于式(1)的|qψ〉，可得：

由式(4)可知，利用 Hadamard門 H分別對(duì)黑點(diǎn)(|0〉)和白點(diǎn)(|1〉)進(jìn)行操作，可得：

由上可知，若對(duì)黑、白點(diǎn)經(jīng)過Hadamard變換后的新態(tài)矢H·|0〉和H·|1〉進(jìn)行測(cè)量，則獲得|0〉的概率均為0.5。對(duì)而非黑、白點(diǎn)獲得|0〉的概率為：

3 改進(jìn)的中值濾波算法

3.1 自適應(yīng)窗口調(diào)整

文獻(xiàn)[11]提出一種均值濾波改進(jìn)方法，這種改進(jìn)方法在計(jì)算窗口移動(dòng)位置的均值時(shí)，首先將窗口中灰度接近最大或最小值的像素點(diǎn)丟棄，然后計(jì)算余下點(diǎn)的均值，因?yàn)榇翱谥械淖畲蠛妥钚≈岛芸赡芫褪窃肼曃廴驹斐傻模员疚脑谧赃m應(yīng)窗口調(diào)整中將采用這一思想。

下面以尺度3×3的窗口為例，說明所提出的自適應(yīng)窗口調(diào)整原理。考慮圖像中以(m, n)處像素為中心的一個(gè)尺度為3×3窗口，為書寫簡(jiǎn)便，將(m, n)處像素的灰度值簡(jiǎn)記為 fm,n，則該窗口的偽量子化表示形式為：

對(duì)上式窗口中的每一元素進(jìn)行 Hadamard變換操作：

對(duì)上述窗口中的每一元素進(jìn)行測(cè)量，取其獲得|0〉的概率 P|0〉( H · W3×3(| fm,n〉)為：

由式(6)可知，gm,n= 0.5(1 + 2。

對(duì)式(9)的窗口中的每一元素以0.5為閾值進(jìn)行二值化處理，并將所有取值為1的點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)新的窗口，記為Wmed3。顯然窗口不一定是正方型，其大小和形狀將根據(jù)以(m, n)中心的3×3的窗口內(nèi)像素的局部特征調(diào)整。這個(gè)Wmed3將為圖像位置(m, n)處的排序取中值窗口。對(duì)其它的窗口尺度，如 5×5、7×7，也可做相同處理。一般情況下尺度為3×3能更好地保留圖像的細(xì)節(jié)，因?yàn)槿≈兄禃r(shí)被替代的像素與替代像素的距離將在一個(gè)單位內(nèi)。

3.2 條件中值運(yùn)算

為克服傳統(tǒng)的中值濾波算法對(duì)檢驗(yàn)點(diǎn)無條件執(zhí)行中值運(yùn)算導(dǎo)致的圖像模糊，針對(duì)椒鹽噪聲的污染，改進(jìn)的自適應(yīng)中值濾波運(yùn)算的算法描述如下：

If Wmed3=[0]//對(duì) 3×3無噪聲污染的黑、白區(qū)域 Wmed3//的所有元素為0

其中，[0]表示 3×3的全“0”正方形窗口表示，W3×3(m , n)是以(m, n)為中心的 3×3全“1”正方形窗口，Median表示求中值運(yùn)算。

上述的改進(jìn)中值濾波表示，在濾波過程中計(jì)算(m, n)處的輸出時(shí)，首先觀察(m, n)處像素點(diǎn)的灰度f( m, n)，若 f( m, n)是 W3×3(m, n)中的最大或最小值，表明該像素點(diǎn)可能受到噪聲污染，則在Wmed3中完成排序取中值運(yùn)算，否之直接取 f( m, n)為(m, n)的濾波輸出。由于排序窗口Wmed3是一個(gè)動(dòng)態(tài)窗口，因此所提出的改進(jìn)中值濾波是一種自適應(yīng)中值濾波。

椒鹽噪聲是噪聲幅度為0和1的脈沖噪聲，是脈沖噪聲的特例。對(duì)一般的脈沖噪聲，確定自適應(yīng)的排序窗口Wmed3時(shí)，可在Hadamard變換前對(duì) W3×3(m, n)窗口中每一像素的灰度做如下預(yù)處理：

其中，max和min分別為 W3×3(m, n)中像素的最大灰度值和最小灰度值，上述預(yù)處理后將根據(jù) f′(m, n)構(gòu)造 W3×3(| fm′,n〉)，然后進(jìn)行 Hadamard變換確定(m, n)處的Wmed3。

4 仿真實(shí)例

圖1～圖 4為所提出的改進(jìn)中值濾波的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。其中，圖 1為加入不同強(qiáng)度的椒鹽噪聲后的Lena圖片，圖片分辨率為512×512像素；圖2和圖3分別為傳統(tǒng)的中值濾波和遞歸中值濾波對(duì)圖1的相應(yīng)輸出結(jié)果；圖4為所提出的改進(jìn)中值濾波輸出結(jié)果。

圖1 不同噪聲強(qiáng)度的圖像

圖2 傳統(tǒng)中值濾波算法的濾波結(jié)果

圖3 遞歸中值濾波算法的濾波結(jié)果

圖4 本文算法的濾波結(jié)果

由仿真結(jié)果可見，由于本文提出的改進(jìn)中值濾波算法采用有條件的中值運(yùn)算，因此能更好地保留圖像細(xì)節(jié)，使得輸出圖像非常清晰。同時(shí)通過圖 2～圖 4的比較表明，自適應(yīng)濾波機(jī)制的引入使得改進(jìn)的中值濾波的去噪能力更強(qiáng)，尤其是對(duì)大噪聲強(qiáng)度污染的圖像(如噪聲強(qiáng)度 0.5的結(jié)果比較)。此外，本文提出的改進(jìn)中值濾波算法對(duì)噪聲的強(qiáng)度不敏感，即噪聲污染的強(qiáng)度對(duì)輸出結(jié)果影響甚微。

5 結(jié)束語

本文分析了影響傳統(tǒng)中值濾波算法性能的2個(gè)重要原因，并從這2個(gè)方面對(duì)傳統(tǒng)的中值濾波算法進(jìn)行改進(jìn)。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的中值濾波和遞歸中值濾波相比，本文提出的改進(jìn)中值濾波算法在更好地保留圖像細(xì)節(jié)的同時(shí)有更強(qiáng)的噪聲濾除能力。由此可見，借鑒量子理論的數(shù)學(xué)體系和處理機(jī)制來改進(jìn)傳統(tǒng)的算法以提高其性能是一個(gè)值得研究的課題，后續(xù)研究將集中于基于量子理論的圖像金字塔分解，通過借鑒量子疊加態(tài)建立像素之間的關(guān)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)圖像分解，并將其應(yīng)用于數(shù)字圖像的融合。

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