常見醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型

程建玲， 郭漢東

（1.鄭州華信學(xué)院，河南 新鄭 451100；2.鄭州大學(xué)西亞斯國際學(xué)院，河南 新鄭 451100）

0 引 言

隨著生物技術(shù)和醫(yī)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在醫(yī)學(xué)研究中的應(yīng)用日益廣泛，如生物信息學(xué)、基因表達(dá)與調(diào)控、流行病學(xué)、藥物動力學(xué)以及許多臨床學(xué)科等都有了比較深入的應(yīng)用。醫(yī)學(xué)研究的很多課題也已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了從定性描述到定量研究的轉(zhuǎn)變，即使是比較復(fù)雜的生命系統(tǒng)和現(xiàn)象，研究者通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，也可以對其內(nèi)在關(guān)系和變化規(guī)律進(jìn)行深入的探討［1］。

1 導(dǎo)數(shù)模型

可以利用導(dǎo)數(shù)解決醫(yī)藥學(xué)中的最大值與最小值問題。

1.1 利用導(dǎo)數(shù)求血液濃度問題［2］

例如，肌肉注射或皮卞注射后血液中藥物濃度y與時(shí)間t的關(guān)系為

其中A，σ1，σ2都是正數(shù)，且σ2＞σ1，求何時(shí)血液中藥物濃度最大。

由題意知，t的變化范圍是（0，＋∞）

1.2 藥物生產(chǎn)問題

例如，某藥廠生產(chǎn)某種藥品，年產(chǎn)量為a個(gè)單位，分若干批進(jìn)行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為b元。設(shè)該藥品均勻投入市場（即平均庫存量為批量的一半），并設(shè)每年每單位的藥品庫存費(fèi)為c元。顯然，生產(chǎn)批量大，則庫存費(fèi)高，生產(chǎn)批量小，則生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)多。求如何選擇批量，才能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫存費(fèi)之和為最小（不考慮生產(chǎn)能力）［3］。

2 定積分模型

2.1 血液中胰島素濃度的平均值

在正常人血液中胰島素的含量是受當(dāng)前血糖含量影響的。當(dāng)血糖濃度增加時(shí)，由胰臟分泌的胰島素就進(jìn)入血液，進(jìn)入血液以后，胰島素的生化特性變得不活潑并呈現(xiàn)指數(shù)衰減。在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中，某病人節(jié)制飲食以降低血糖濃度，同時(shí)注入大量葡萄糖，實(shí)驗(yàn)中所測到的血液中胰島素濃度C（t）（mL）符合如下函數(shù)：

由函數(shù)平均值公式，有

2.2 脈管穩(wěn)定流動的血流量［4］

設(shè)有半徑為R，長度為L的一段血管，左端為相對動脈端，血壓為P1。右端為相對靜脈端，血壓為P2（P1＞P2）。取血管的一個(gè)橫截面。現(xiàn)在計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)通過血管橫截面的血流量Q。為此，在該截面任取一個(gè)內(nèi)徑為r，外徑為r＋dr（圓心在血管中心）的小圓環(huán)，它的面積近似等于2πrdr。假定血管中血液流動是穩(wěn)定的，此時(shí)血管中血液在各點(diǎn)處的流速V是各點(diǎn)與血管中心距離r的函數(shù)，即V＝V（r）。因此，在單位時(shí)間內(nèi)，通過該環(huán)面的血流量近似地為：

從而，單位時(shí)間內(nèi)通過該橫截而的血流量為

由實(shí)驗(yàn)得知，在通常情況下，有

其中η為血液粘滯系數(shù)，于是

由上式可以看出如下生理意義：

血流量與血管兩端壓力差成正比；血流量與血管半徑的4次方成正比；血流量與血液粘滯系數(shù)成正比。

3 微分方程模型

3.1 簡單的流行病模型

建立流行病的數(shù)學(xué)模型的目的主要是研究疾病在人群中分布和流行的數(shù)量規(guī)律。現(xiàn)在假定感染通過一個(gè)團(tuán)體內(nèi)成員之間的接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，易感染者最終卻將成為感染者，這種假定稱為無移除的簡單模型［5］。某種上呼吸道感染可近似地表示這樣一種疾病的流行。

現(xiàn)在我們把時(shí)刻t的易感人數(shù)和感染人數(shù)分別記為S和I，并假設(shè)一個(gè)團(tuán)體是封閉性的，總?cè)藬?shù)為N。開始時(shí)不妨假定只有一個(gè)感染者，且團(tuán)體中各成員之間接觸均勻，因而易感者轉(zhuǎn)為感染者的變化率與當(dāng)時(shí)的易感人數(shù)和感染人數(shù)的乘積成正比。根據(jù)以上假定，可建立如下數(shù)學(xué)模型：

初始條件t＝0，I（0）＝1，β稱為感染率（常數(shù)）。解這個(gè)方程

分離變量后兩邊積分

則得

式中：C——常數(shù)。

根據(jù)初始條件可得

從而得

整理后得

這個(gè)結(jié)果描述了易感人數(shù)隨時(shí)間變化的動態(tài)關(guān)系。

3.2 腫瘤生長的數(shù)學(xué)模型

惡性腫瘤（癌）是人類的大敵，科學(xué)家們正從醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、生物化學(xué)等各個(gè)方面研究它的發(fā)生、成長規(guī)律及治療方法。這里用數(shù)學(xué)工具描述腫瘤的生長規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型。通過大量的醫(yī)療實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)腫瘤細(xì)胞生長有以下現(xiàn)象：

1）按現(xiàn)有手段，當(dāng)腫瘤細(xì)胞數(shù)目超過1011時(shí)，才是臨床可觀察的。

2）在腫瘤生長初期，幾乎每經(jīng)過一定的時(shí)間，腫瘤細(xì)胞數(shù)目就增加一倍。

3）在腫瘤生長后期，由于各種生理?xiàng)l件的限制，腫瘤細(xì)胞數(shù)目逐漸趨向某個(gè)穩(wěn)定值。

根據(jù)這些可以提出腫瘤生長的數(shù)學(xué)模型。

第二種模型［7］：由于腫瘤生長的第3種現(xiàn)象，記由于生理限制腫瘤細(xì)胞數(shù)目的極限值為N，可得出另—個(gè)生長模型：

解這個(gè)微分方程得

于是

通過這個(gè)數(shù)學(xué)模型［8］，可看出腫瘤細(xì)胞數(shù)的生長規(guī)律。

［1］曹蕾，董小剛.人體吸氧率的多元線性回歸分析及預(yù)測［J］.長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，29（6）：620－622.

［2］周永治，周哲.醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

［3］張德舜.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：中國醫(yī)藥科技出版社，1996.

［4］徐瑞俊.醫(yī)學(xué)科研中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用［J］.海軍醫(yī)學(xué)雜志，2001，22（4）：349－352.

［5］張帆，黃才斌.論數(shù)學(xué)模型及其在醫(yī)藥學(xué)中的應(yīng)用［J］.贛南醫(yī)學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，17（2）：190－192.

［6］曾照芳，向華.醫(yī)用數(shù)學(xué)模型的格式化與顯示［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997，12（5）：522－555.

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［8］李曉海.藥物粉體壓縮研究數(shù)學(xué)模型的意義與應(yīng)用特點(diǎn)［J］.中國新藥雜志，2012，21（12）1362－1366.