三階微分方程的Legendre-Petrov-Galerkin譜元方法

吳勝，莊清渠

（華僑大學 數學科學學院，福建 泉州362021）

作為數值求解偏微分方程的3大主要方法之一，譜元方法由于具有高精度，及對復雜區域的適應性的優點，已經被廣泛應用于分子動力學模擬、復雜流體計算、量子計算、電磁場計算和數值天氣預報等領域［1-7］.文獻［8-9］分別研究了四階微分方程的譜方法和譜元法.文獻［10］用Legendre-Petrov-Galerkin和Chebyshev配點法求解三階微分方程，由于配點法強烈依靠選取的配置點，容易產生數值不穩定的現象.文獻［11］則利用對偶Petrov-Galerkin法求解三階微分方程.文獻［12］使用Petrov-Galerkin方法對修正的KdV方程進行數值求解.文獻［13］用有限差分方法和Chebyshev方法求解帶邊值條件的KdV方程，數值結果表明Chebyshev方法是比較有效的.文獻［14］研究了KdV方程的多區域Legendre-Petrov-Galerkin譜元方法，其實質是帶時間三階方程的譜元法，然而，其數值結果用的都是兩區域的計算，并不是真正的譜元法計算，也沒有具體的計算過程.本文研究三階微分方程的Legendre-Petrov-Galerkin譜元法，主要考慮方程的數值計算.

1 格式的建立

記Λ＝（-1，1），考慮如下的三階微分方程

為了用Legendre-Galerkin譜元法對該問題進行數值逼近，需要將區間Λ剖分成K（K≥2）個子區間，即

上式中：-1＝a0＜a1＜…＜aK＝1.

上式中：PN（Λk）表示在Λk上次數不超過N的全體多項式所組成的空間.用ˉN表示離散參數（N，K），定義試探函數空間和檢驗函數空間為

為了方便表達，對任意的1≤p≤∞，定義Lp（Λ）＝｛v；‖v‖Lp＜∞｝，其中

其中：（·，·），‖·‖和｜·｜分別表示空間L2（Λ）的內積、范數和半范，（u，v）＝∫Λu（x）v（x）dx.問題（1）的Legendre-Petrov-Galerkin譜元逼近形式為：找∈，使得

當j＝0，1，…，N-3；k＝1，2，…，K，基函數定義為

通過驗證可知函數

滿足所要求的條件，其中：k＝1，2，…，K-1.

最后，將文獻［9］用于求解四階方程的Legendre譜元逼近法的計算思想推廣到式（2）的計算中，詳細計算過程有以下4個步驟.

1）構造關于雙線性形式a（·，·）的正交補.令，∈是問題的解則和在a（·，·）意義下是正交的，即

2）求解各子區間內部節點上的子問題，找＾uˉN∈＾VˉN，使得

3）求解單元交界節點處的子問題，即求（，）（i＝1，2，…，K-1），

4）由式（7），（8）可得

式（6）所對應的線性系統也可類似表達.

具有唯一解，而且解滿足

由三角不等式，可得

利用Lax-Milgram引理，可知結論成立.

2 數值實驗

下面給出一個數值例子說明Legendre-Petrov-Gelarkin譜元逼近形式（2）的精度及有效性，在問題（1）中，取α＝β＝γ＝1.

例1 考慮問題（1）在區間（-1，1）上，有如下形式的解析解，即

其中：右端項為f（x）＝（x-2）sin2（πx）-［π（x+1）+4π2（x-1）］sin（2πx）-2π2（x-4）cos（2πx）.

在半log尺度下，當h＝1／2時，L2-誤差及H1-誤差隨N的變化情況，如圖1（a）所示.從圖1（a）可知：隨著N的增大，誤差（ε）隨N呈指數衰減.說明對于光滑解，數值解具有所謂的譜收斂.在log-log尺度下，當N＝10時，L2-誤差及H1-誤差隨h的變化情況，如圖1（b）所示.從圖1（b）可知：誤差關于h呈代數衰減.

圖1 誤差的變化Fig.1 Change of the error

3 結束語

用Legendre-Petrov-Galerkin譜元法求解三階微分方程，將計算區間剖分成一系列的小區間，相應地將問題轉化成一系列的子問題.構造恰當的試探函數和檢驗函數，并對得到稀疏的線性系統再進行求解.數值結果表明：方法是高精度的，將其應用于求解具有高頻振蕩解的問題也是可行的.

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