受軸向壓力開孔板極限強度有限元分析研究

劉慧泉，張世聯，褚 洪

(上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

大多數鋼結構工程都使用板來提供必要的強度，例如海洋平臺的甲板、縱桁的腹板等，這些板要承受較大的面內壓力。出于減輕重量、人員通行、輔設裝置等原因，不可避免的要在板上開孔。開孔會在一定程度內減小板的承載能力，研究開孔板的極限強度在工程中具有較大的實際意義。

受軸向面內壓力的板在一定的載荷下會失穩而發生屈曲，而與桿件不同的是，板在失穩后并不是立刻被破壞而完全失去所有剛度。在平臺結構中，某一塊板在失穩后，四周受到其他構件的支撐，無法向桿件那樣自由趨近而導致破壞。實際上，板在失穩后由于中面被拉長還產生了薄膜應力來抵抗變形。因此板在失穩后內部應力將重新分配，仍然可以繼續承受載荷直到板中部分截面應力全部達到屈服值為止，這時板的強度稱為極限強度［1］。

板的極限強度涉及到多種非線性問題，如板的中面力、板的大撓度，以及材料的塑性變形等。這些問題比較復雜，運用傳統的理論計算求解遇到很大的困難。近年來有限元數值計算的發展為此類非線性問題的解決帶來了長足的進步。Harada對受軸向開孔矩形板的極限強度在數值計算的基礎上提出了塑性修正公式［2］;Paik給出了受到雙軸向壓力及剪力的開孔矩形板的極限強度經驗公式［3］;Shanmugam等提出了受軸向壓力的方形開孔板極限強度的經驗公式［4］;Maiorana等分析了受到局部載荷的開孔板的極限強度［5］;Cheng等分析了開孔方板的極限強度并對補強效率進行了對比［6］。

以上對開孔板的極限強度研究多集中在四周自由支持的開圓孔矩形板上，而對其他類型的邊界條件和開孔形狀考慮較少。在海洋平臺結構中，許多主要構件并非四周都受到支持，且許多開孔形狀也不是規則的圓形。使用ABAQUS/Standard求解器的彈塑性大撓度分析功能，在三種邊界條件下，對不同邊長比的開圓孔板及開有不同類型孔的板的極限強度進行了計算和分析，最后提出了預報極限強度簡單實用的經驗公式。

1 有限元模型

1.1 邊長比分析

模型為中心開有圓孔的矩形板，板寬 b=0.4 m，邊長比分別為 1∶2、1∶4、1∶6、1∶8，厚度與板寬比 t/b取0.02、0.025、0.03、0.035，對應無量綱的柔度系數 β 分別為 1.936、1.549、1.291、1.107。板的邊界條件有三種:BC1為四周自由支持;BC2為三邊固定支持、一長邊自由;BC3為三邊自由支持，一長邊自由。在實際的平臺構件中，甲板板可以使用四邊自由支持的邊界，而縱桁、橫梁的腹板的邊界條件應當介于三邊固定支持和三邊自由支持之間。板沿長邊方向受到面內壓載荷。模型邊界及載荷示意如圖1所示，圖中邊界條件s表示自由支持，c表示固定支持，空白為完全自由。

1.2 孔形狀分析

開孔在板的中心，共有三種類型:圓孔、腰圓孔和方形孔。其中腰圓孔取工程中常用的形式，兩端為半圓，中部為正方形。為了合理的比較各類孔對板的極限強度的影響，三種孔的高度h與板寬b的比值h/b取為0.3、0.4、0.5、0.6、0.7。板的邊長比取為1∶4，邊界條件和厚度取值同上。模型的網格劃分如圖2所示。

圖1 模型載荷及三種邊界條件Fig.1 Load and three boundary conditions of model

圖2 模型有限元網絡Fig.2 Finite element mesh

2 計算結果分析

2.1 邊長比影響

由圖3可以看出，在相同的柔度系數β下，極限強度最大的為BC1，其次為BC2，最小的是BC3。一般情況下，破壞應當發生在開孔附近，受到的邊界約束越多，約束越強，產生中面力的范圍越大，就可以更有效的抵抗變形，從圖4的應力分布云圖中能夠準確地看出這點。圖4分別是三種邊界條件下板達到極限狀態時的Von Mises應力云圖。圖4(a)中模型的邊界是BC1，很明顯在四周都有支持的情況下，板在發生破壞時圓孔邊緣到上下邊界的兩塊“板條”同時達到了屈服應力。而對于BC2來說，參考圖4(b)，板的下部沒有約束，靠近下邊界的板可以自由變形，不能產生中面力來承擔繼續施加的載荷，能獲得支撐的只有上部的“板條”，板內可以有效承受的載荷的面積比BC1小，當其達到屈服應力時就發生了破壞，因此極限強度也較小。BC3的極限強度比前兩者小得多，因為上邊是自由支持，下邊沒有約束，極易形成半波失穩，且在無約束的情況下靠近孔下邊緣部分的板發生大撓度變形，應力迅速增大造成破壞，從圖4(c)可以清楚地看到只有很窄的一部分板達到屈服應力。

圖3 邊長比1∶4開圓孔板極限強度Fig.3 The ultimate strength of perforated plates with circular holes with side ratio 1∶4

圖4 開孔板在極限狀態時的Von Mises應力分布Fig.4 Von-Mises stress distribution of perforated plates under ultimate condition

開孔板的極限強度很大程度上取決于長邊的約束條件，而承擔較大應力且發生破壞的部分總集中在孔邊緣附近到邊界的“板條”上，遠離孔之后的應力水平都不大，所以無論是增加還是減小板的長度對于有效承擔載荷的“板條”影響都很小，極限強度也不發生很大的改變。圖5給出了不同邊長比的板的極限強度對比，任一邊界條件下，邊長比對于開孔板的極限強度的影響很小，可以忽略。因此在計算不同開孔形式的板的極限強度時沒有必要選取多種邊長比，下文僅對1∶4的板進行分析。

2.2 開孔類型影響

三種類型的開孔對板的極限強度影響如圖6所示，由于篇幅原因，這里只列出了t=10 mm(β=1.549)的計算結果。在BC1和BC2的邊界條件下，三種開孔形式的區別較小，這是因為在較強的邊界約束下，應力較大且首先發生破壞的部分只與最小截面處的截面面積有關，與孔的形狀關系不大。但是可以發現開圓孔的板的極限強度略大于開腰圓孔和方孔的板。這是因為圓孔中心位置處的“板條”向兩邊逐漸變寬，相對于寬度一直不變的腰圓孔和方孔，能承受最大載荷的有效板面積略大，因此可以獲得較高的極限強度。

圖5 不同邊長比開孔板極限強度Fig.5 The ultimate strength of perforated plates with different side ratio

而BC3的情況卻大不相同，開腰圓孔板的極限強度隨著開孔尺寸的增大急劇減小，比開圓孔和方孔的板要小30%左右。這是因為三邊自由支持、一邊自由的板受到軸向壓力時，靠近自由邊的部分可以不受阻礙的趨近，容易形成半波，類似于桿件的失穩。一旦有半波形成，在撓度最大的板中下部將會產生非常大的應力，破壞也隨之發生。因此BC3邊界板的極限強度取決于板的自身剛度，腰圓孔的面積大約是圓孔和方孔的兩倍，又處于變形最大的中部區域，導致板的剛度損失較大，故其極限強度要大大小于開圓孔和方孔的板。

圖6 t=10 mm三種開孔板極限強度Fig.6 The ultimate strength of three kinds of perforated plates with thickness t=10 mm

經過以上分析以及對大量計算數據的處理歸納，給出兩個經驗公式來對開孔板的極限強度做出初步預報。對于四邊自由支持的開孔板，可以認為在板較厚時(β＜1.5)，開孔處截面面積最小的“板條”達到屈服就發生破壞，但是孔較小的板要作相應修正，極限強度用下式表示:

Paik等根據大量計算得到的四邊自由支持的開圓孔板在柔度為1.5時極限強度的經驗公式為:

式中:dc為圓孔直徑。不難看出，式(1)與式(2)展開后有同樣的形式，只是系數略有不同。

對于三邊固定支持，一邊自由的開孔板，可以認為在板較厚時(β＜1.5)，位于孔上邊緣與有約束的邊界之間的板達到屈服時就發生破壞，但是由于固定約束的存在，板的其他部分也可以有效承擔部分載荷，如圖4(b)中下部的部分板在極限狀態時也達到了屈服值。因此板的極限強度要高于只考慮上部分板屈服的情況，極限強度值要作適當修正:

式中:α為形狀系數，圓孔取1，方孔和腰圓孔取1.15。

圖7和圖8給出了部分有限元計算結果與以上經驗公式得到的極限強度數值的對比，可以看出，式(1)、(3)能夠較好的吻合有限元計算結果，其中式(1)在計算開圓孔板時結果偏小，精度低于Paik所得的公式，但對開腰圓孔板，特別是孔較大時，有相當的精度。當β＜1.5時，開孔板極限強度隨β減小(及厚度增加)而略有增加，由公式得到的極限強度數值小于有限元結果，偏向于保守和安全。式(1)與式(3)對于在初步設計時估算開孔板的極限強度有一定的實用性。

圖7 BC1有限元計算結果與經驗公式值對比Fig.7 Comparison of results between FEM and empirical formulae under BC1

圖8 BC2有限元計算結果與經驗公式值對比Fig.8 Comparison of results between FEM and empirical formulae under BC2

3 結語

對三種邊界條件下，不同邊長比及開三種類型孔的板的極限強度進行了計算和分析，得到以下幾點結論:

1)邊長比對三種邊界條件下的開孔板的極限強度影響很小，可以忽略不計，在實際分析板的極限強度時只需取出包括開孔部分適當長度的板。

2)邊界條件對開孔板的極限強度影響很大，約束越強，板的極限強度越大。針對三種邊界條件進行計算，四邊自由支持的情況極限強度最大，三邊固定支持、一邊自由的情況略小，三邊自由支持、一邊自由的情況最小。

3)在四邊自由支持和三邊固定支持的邊界條件下，三種開孔形式的板的極限強度較為相近，而三邊自由支持的邊界條件下，開腰圓孔板的極限強度比開圓孔和方孔的板要小很多。

4)通過計算歸納，給出了一定范圍內的開圓孔和腰圓孔的板在四邊自由支持和三邊固定支持邊界條件下的極限強度經驗公式，與現有經驗公式和有限元計算結果進行了對比，該公式吻合性較好且偏于保守。

［1］ Owen F Hughes.Ship Structural Design［M］.Society of Naval Architects＆;Pap/Cdr edition，2005.

［2］ Minoru Harada，Masahiko Fujikubo.Estimation of buckling and ultimate strength of rectangular plate with cutout［C］∥International Offshore and Polar Engineering Conference.2002.

［3］ Paik J K，Gumjeong-Gu.Ultimate strength of steel plates with a single circular hole under axial compressive loading along short edges［J］.Ships and Offshore Structures，2007，2(4):355-360.

［4］ Shanmugam N E，Thevendran V，Tan T H.Design formula for axially compressed perforated plates［J］.Thin-Walled Structures，1999，34:1-20.

［5］ Emanuele Maiorana，Carlo Pellegrino，Claudio Modena.Non-linear analysis of perforated steel plates subjected to localized symmetrical load［J］.Journal of Constructional Steel Research，2009，65:959-964.

［6］ Cheng Bin，Zhao Jincheng.Strengthening of perforated plates under uniaxial compression:buckling analysis［J］.Thin-Walled Structures，2010，48:905-914.