高速重載碼垛機(jī)器人靜剛度分析

樓向明，曹家鑫，梅江平，張新

（1.杭州娃哈哈集團(tuán)有限公司 精密機(jī)械制造公司，杭州310009;2.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072）

0 引言

當(dāng)今社會(huì)科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，在各種大規(guī)模的生產(chǎn)、倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)中，對(duì)碼垛機(jī)器人的搬運(yùn)速度、負(fù)載能力等都提出了較高要求［1］。而隨著新一代高速重載碼垛機(jī)器人的出現(xiàn)，對(duì)其靜剛度的研究也成了亟待解決的問(wèn)題。靜剛度是指末端執(zhí)行器在外力作用下結(jié)構(gòu)抵抗變形的能力，是高速重載機(jī)器人的一項(xiàng)重要性能指標(biāo)，它不但決定了碼垛機(jī)器人在負(fù)載下的定位精度，而且影響機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

本文研究的高速重載碼垛機(jī)器人用于娃哈哈果奶生產(chǎn)線的最后一道工序，即將包裝成箱的果奶完成自動(dòng)碼垛，末端執(zhí)行器可搬運(yùn)質(zhì)量為300 kg，搬運(yùn)能力800次/h，位置重復(fù)精度±0.5 mm。與以往的輕載碼垛機(jī)器人不同，由于該類碼垛機(jī)器人自重與載荷較大，研究其靜剛度時(shí)需要將自身構(gòu)件的彈性變形考慮在內(nèi)。因此，針對(duì)最大載荷工況，綜合考慮構(gòu)件的彈性變形與電動(dòng)機(jī)、減速機(jī)的扭轉(zhuǎn)變形對(duì)末端剛度的貢獻(xiàn)，最后借助線性疊加原理結(jié)合串聯(lián)機(jī)器人靜剛度映射得到整機(jī)末端靜剛度模型。

1 碼垛機(jī)器人簡(jiǎn)介

1.1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介

該碼垛機(jī)器人由一串用轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)連接的桿件組成，整機(jī)包括腰部、大臂、小臂和末端執(zhí)行器四個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，每一對(duì)關(guān)節(jié)－連桿構(gòu)成一個(gè)自由度，即有四個(gè)自由度。與一般的串聯(lián)機(jī)器人的不同，它具有三個(gè)平行四邊形結(jié)構(gòu)，通過(guò)大臂上的平行四邊形機(jī)構(gòu)O1CDO2使小臂和小臂驅(qū)動(dòng)臂的轉(zhuǎn)速相同，這樣可將電動(dòng)機(jī)安裝在小臂驅(qū)動(dòng)臂與腰部連接處，改善了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)性能;通過(guò)另外兩組耦合平行四邊形機(jī)構(gòu)O1ABO2，O2EFO’2保證了末端執(zhí)行器的水平姿態(tài)［2］。其機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖與建立的D－H坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 碼垛機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

通過(guò)D－H法［3］建立碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程，得運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解矩陣。

式中:ci=cosθi，si=sinθi，ci+j=cos（θi+ θj），

si+j=sin（θi+ θj）其中i=1，2，3，4，j=1，2，3，4。

求解速度最簡(jiǎn)單的方法是將位置方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將上式兩端分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有:

其中，J是機(jī)器人的雅可比（Jacobian）矩陣，它是機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量的函數(shù)。

2 碼垛機(jī)器人靜剛度分析

2.1 構(gòu)件結(jié)構(gòu)剛度

考慮碼垛機(jī)器人自身各構(gòu)件變形對(duì)末端靜剛度影響時(shí)，由于腰部與末端執(zhí)行器都為形狀不規(guī)則的物體，其剛度很大，對(duì)末端位移的貢獻(xiàn)量非常小，所以只需考慮機(jī)器人中各桿件部分。

首先分析整個(gè)碼垛機(jī)器人中各桿件的受力。其桿件主要為二副連桿和三副連桿。桿件的受力可分為自身重力與由末端載荷產(chǎn)生的內(nèi)力，如圖2所示。重力與內(nèi)力都可等效成沿軸向和徑向的兩個(gè)方向的分力。對(duì)于內(nèi)力而言，l1，l5，l6，l7只受到沿軸向方向的力，l2，l3，l4受力為非軸向力。同時(shí)l1、l4受到電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的彎矩。所以l1，l3，l4可當(dāng)作懸臂梁（三角臂l3看做兩個(gè)懸臂梁）計(jì)算其變形，l5，l6，l7按簡(jiǎn)支梁計(jì)算其變形，l2按外伸梁計(jì)算其變形。

圖2 二副桿與三副桿受力圖

下面以桿l4為例計(jì)算其靜剛度:

桿件l4受力如圖3中所示，重力與內(nèi)力的軸向分量使桿件產(chǎn)生拉壓變形，徑向分量產(chǎn)生彎曲變形。表1為桿件l4由內(nèi)力和重力產(chǎn)生的軸向變形與徑向變形公式。

圖3 桿件l4受力分析圖

表1 桿件l4軸向徑向變形

依照上面方法，可以求出該碼垛機(jī)器人在最大載荷工況下（末端載荷300 kg）各桿件的靜剛度。然后將機(jī)器人中各桿件看做多級(jí)線性彈簧串、并聯(lián)所組成的彈性系統(tǒng)［4-5］，將其剛度整合到活動(dòng)構(gòu)件大臂和小臂上，得到靜剛度如表2所示。

表2 大臂小臂桿件靜剛度

2.2 電動(dòng)機(jī)的扭轉(zhuǎn)剛度

該碼垛機(jī)器人選用了西門子公司生產(chǎn)的1FT7和1FTK系列交流伺服電動(dòng)機(jī)，其型號(hào)分別為:1FT7086－5AF70－1FB1（3個(gè)），1FK7060－5AH71－1FB5。對(duì)于電動(dòng)機(jī)靜剛度的研究，可以把交流伺服電動(dòng)機(jī)視為機(jī)械扭振系統(tǒng)，其扭振模型［6］如圖4所示，則該系統(tǒng)的固有頻率ω0為:

由式（2）可得電動(dòng)機(jī)的扭轉(zhuǎn)剛度為:

圖4 交流伺服電機(jī)扭振模型

式中:t為電動(dòng)機(jī)的機(jī)械時(shí)間常數(shù)（s）;J為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量N·m/s2;Kd為電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度N·m/rad。

從西門子公司生產(chǎn)的1FT7與1FTK系列交流伺服電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品樣本中查到t，J值，即可以具體算出各個(gè)電動(dòng)機(jī)型號(hào)的扭轉(zhuǎn)剛度（見(jiàn)表3）。

表3 伺服電機(jī)機(jī)型號(hào)與其對(duì)應(yīng)靜剛度

2.3 RV減速機(jī)的扭轉(zhuǎn)剛度

對(duì)于RV減速器，固定它的輸入軸（輸入齒輪）并在輸出軸上施加轉(zhuǎn)矩，則會(huì)產(chǎn)生與轉(zhuǎn)矩相應(yīng)的扭轉(zhuǎn)，由此可描繪出其遲滯曲線，通過(guò)遲滯曲線即可計(jì)算出靜剛度。具體方法為:當(dāng)系統(tǒng)在某一方向消除間隙后，固定輸入軸，在輸出軸上將載荷由零級(jí)逐級(jí)加到額定轉(zhuǎn)矩，在輸出軸端測(cè)量每一級(jí)加載所對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)角。RV減速器的扭轉(zhuǎn)剛度為輸出軸上負(fù)載扭矩與相應(yīng)的扭轉(zhuǎn)角之增量比值，即:b/a。

該高速重載碼垛機(jī)器人選用了日本帝人公司生產(chǎn)的RV－E系列與RV－C系列減速機(jī)，它們扭矩－扭轉(zhuǎn)角的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖5所示，由此即可計(jì)算出所選RV減速器的扭轉(zhuǎn)剛度（見(jiàn)表4）。

圖5 RV減速機(jī)遲滯曲線

表4 減速機(jī)型號(hào)與其對(duì)應(yīng)靜剛度

3 碼垛機(jī)器人整機(jī)靜剛度模型

3.1 串聯(lián)機(jī)器人靜剛度映射

對(duì)于串聯(lián)機(jī)器人，可將各桿件的結(jié)構(gòu)剛度和電動(dòng)機(jī)、減速機(jī)剛度合在一起用彈簧常數(shù)ki表示，以反映關(guān)節(jié)i的變形與所傳遞力矩（或力）的關(guān)系，即:

式中，τi為關(guān)節(jié)力矩，qi為各關(guān)節(jié)的變形。上式寫(xiě)成矩陣的形式為:

式中:σ =（τ1，τ2，...，τn）T，Δq=（Δq1，Δq2，...，Δqn）T，x=diag（k1，k2，...，kn）。

建立速度雅可比矩陣ΔX=JΔq及力雅可比矩陣σ=JTF，并定義剛度矩陣K=F/ΔX，式中F，ΔX分別為機(jī)器人末端的等效力旋量和末端變形，聯(lián)立可得:

雅可比矩陣與機(jī)器人的位形參數(shù)包括坐標(biāo)系的選擇都有關(guān)，因此機(jī)器人的剛度矩陣也與機(jī)器人的位形參數(shù)包括坐標(biāo)系的選擇有關(guān)［7］。

3.2 碼垛機(jī)器人整機(jī)末端靜剛度模型

根據(jù)線性疊加原理，每一對(duì)關(guān)節(jié)－連桿的末端變形Δx，可以分解為由伺服電動(dòng)機(jī)、RV減速機(jī)扭轉(zhuǎn)引起構(gòu)件末端變形 Δx電動(dòng)機(jī)、Δx減速機(jī)和構(gòu)件自身的彈性變形 Δx構(gòu)件，即:

由前面對(duì)電動(dòng)機(jī)與減速機(jī)靜剛度的計(jì)算可以看出，其靜剛度相對(duì)所承受轉(zhuǎn)矩而言非常大，產(chǎn)生的變形可忽略不計(jì)，所以只考慮構(gòu)件變形對(duì)末端靜剛度的貢獻(xiàn)，又因腰部與末端執(zhí)行器為不規(guī)則物體，剛度很大，產(chǎn)生的變形也可忽略，則最終該碼垛機(jī)器人可簡(jiǎn)化為一個(gè)二桿串聯(lián)機(jī)構(gòu)。將這二桿看做一種特殊剛體，假設(shè)變形集中在桿件末端連接處，關(guān)節(jié)剛度矩陣可簡(jiǎn)化為:

對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣為:

式中各符號(hào)含義同第一節(jié)，則計(jì)算出碼垛機(jī)器人中末端靜剛度矩陣K=J－TxJ－1=

4 結(jié)語(yǔ)

本文在綜合考慮碼垛機(jī)器人自身構(gòu)件、電動(dòng)機(jī)和減速機(jī)變形的基礎(chǔ)上，建立了其整機(jī)末端靜剛度模型。得到如下結(jié)論:1）碼垛機(jī)器人是重載機(jī)器人，在承受外載荷的工況下構(gòu)件會(huì)出現(xiàn)一定程度的變形，計(jì)算碼垛機(jī)器人末端剛度需將構(gòu)件的結(jié)構(gòu)剛度考慮在內(nèi);2）考慮碼垛機(jī)器人桿件變形時(shí)，其軸向變形要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于徑向變形，所以軸向變形對(duì)靜剛度的貢獻(xiàn)可忽略不計(jì);3）文中推導(dǎo)的整機(jī)末端靜剛度模型為重載串聯(lián)機(jī)器人靜剛度的研究提供了更為完善的思路，所得靜剛度模型更能真實(shí)反映實(shí)際靜剛度，為碼垛機(jī)器人的設(shè)計(jì)提供了有力依據(jù)。

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