新型4－SPS/PPU并聯機構運動學分析

衛江

（陜西廣播電視大學工程管理系，陜西西安 710119）

0 引言

少自由度并聯機器人由于其驅動元件少、造價低、結構緊湊、誤差小、精度高等優點。近年來成為機構學領域中研究的熱點。

程佳［1］研究一種3轉動1移動的4-TPS/PS并聯機構的受力特性，推導出該機構上平臺與各驅動支鏈之間的關系式，得到該機構的驅動支鏈不承受側向力，側向力主要由從動支鏈承受;隨后王宣銀［2］利用拉格朗日方程建立了該機構的動力學方程，并通過逆動力學模型研究了該機構的控制策略。LI［3］研究了一種3平移并聯機構的運動學，給出了3-PRS并聯機構的速度與加速度的性能圖譜。劉劍敏［4］研究了一種用于作物清選的兩轉動兩平移的四自由度并聯機構，該機構能方便的調節振幅和振動方向，并給出了該機構的運動學反解與正解。吳孟麗［5］分析了一種非對稱的并聯機構，并利用雅克比矩陣條件數為指標評價了該機構與SKM400機構的運動學性能。王庚祥［6］基于構型演變與螺旋理論提出了一種新型的空間3轉動1移動的4-SPS/CU并聯機構，并對其進行了運動學分析。程世利［7］通過分析Stewart平臺的位姿變量之間的耦合關系，提出了一種研究該機構運動學正解問題的新方法。郭希娟［8-11］通過對并聯機構的運動學分析評價了多種機構的動力學性能，并且證明了Hessian矩陣對機構加速度性能有著重要的作用，該原理同樣適用于串聯機構。

基于此研究背景，本文提出了一種新型的具有2移動和2轉動的空間四自由度并聯機構——空間4-SPS/PPU并聯機構。通過對該機構的運動學分析導出了該機構的運動學Jacobian矩陣，并在此基礎上研究了該機構的靜力學，評價了該機構的靈巧度與剛度特性。

4-SPS/PPU并聯機構可以直接作為四軸并聯機床與坐標測量機的原型，也可直接用于該環境下的定位機構。

1 4-SPS/PPU并聯機構結構特點

4-SPS/PPU并聯機構模型及其坐標系的建立如圖1所示。該機構具有4個驅動支鏈l1，l2，l3，l4（SPS支鏈），以及一個恰約束從動支鏈l5（PPU支鏈）。該4個驅動支鏈均由兩個球面副（S副）和一個移動副組成。其中各驅動分支從下平臺算起，與下平臺相連的球面副為第一運動副，移動副為第二運動副，與上平臺相連的球面副為第三運動副;該恰約束從動支鏈由兩個移動副（P副）和一個萬向鉸（U副）組成，其中萬向鉸的中心位于上平臺的質心，位于下平臺的移動副與Y軸重合。OXYZ和Pxyz分別是與下平臺和上平臺的固連坐標系，O點位于B1B2B3B4組成的邊長為2b的正方形中心，X軸平行于B1B4，Y軸平行于B1B2，Z軸垂直下平臺向上;P點位于A1A2A3A4組成的邊長為2a的正方形中心，x軸平行于A1A4，y軸平行于A1A2，z軸垂直上平臺向上。

圖1 4-SPS/PPU并聯機構簡圖

2 4-SPS/PPU并聯機構自由度計算

采用修正的Kutzbach-Grübler公式計算4-SPS/PPU并聯機構的自由度［12］:

式中:

M——機構自由度數;

d——機構的階數;

n——包括機架的構件數目;

g——運動副的數目;

fi——第i個運動副的自由度;

v——并聯約束因子，是去除了計算在內的公共約束的因素后的冗余約束的數目;

ξ——機構中存在的局部自由度。

根據圖1，4條驅動支鏈的運動副軸線在坐標系OXYZ中可以用螺旋統一表示為

式中:ri、ki——第1運動副相對坐標系OXYZ的位置;

ui、vi、wi——第 2 運動副軸線的方向余弦;

li、mi、ni——第 3 運動副相對于坐標系OXYZ的位置。

下標i=1，2，3，4，為該機構的驅動支鏈序號。

式（2）中的7個運動螺旋，其中6個線性無關;且沒有與該螺旋系相逆的反螺旋。即該螺旋系沒有對上平臺產生任何約束，得出4-SPS/PPU并聯機構沒有公共約束，所以d=6。

恰約束從動支鏈l5運動副軸線在坐標系OXYZ中螺旋表示為:

式（3）螺旋系的4個運動螺旋線性無關，設與該螺旋系相逆的反螺旋為:

式（4）的約束螺旋系限制了上平臺繞Z軸的轉動與沿X軸的移動，且該機構無冗余約束，即v=0;觀察整個機構運動的布置情況，該并聯機構各驅動支鏈均存在局部自由度，即ξ=4。

根據式（1）計算該機構自由度:

即上平臺具有沿Y軸和Z軸的移動自由度，繞X軸與Y軸的轉動自由度。

3 4-SPS/PPU并聯機構運動分析

3.1 4-SPS/PPU并聯機構的位置分析

Ai點在坐標系Pxyz的坐標為A1= [a，-a，0]T，A2=[a，a，0]T，A3= [ -a，a，0]T，A4= [ -a，-a，0]T;Bi點在坐標 系OXYZ中 的 坐 標 為B1= [b，-b，0]T，B2=[b，-b，0]T，B3= [b，-b，0]T，B4= [b，-b，0]T。上平臺相對固定平臺的位姿可以用坐標系Pxyz和坐標系OXYZ之間的旋轉變換矩陣R及兩坐標系之間的平移向量n來表示，其中沿X軸的移動與繞Z軸的轉動被恰約束從動支鏈限制。即:

其中sβ =sinβ，cβ =cosβ，其余類似。

當給定上平臺的位置和姿態后，各驅動支鏈的向量可表示為:

根據式（5）可以求得該機構的位置約束方程為:

式中，li為桿長。位置正解是已知結構參數a、b和4個輸入桿長（l1，l2，l3，l4），求解上平臺的位置（y，z，α，β）。位置反解是已知結構參數a，b和上平臺的位置（y，z，α，β），求解桿長li（i=1，2，3，4）。

3.2 4-SPS/PPU并聯機構的速度分析

式（8）為該機構的運動Jacobian矩陣。

當det（J）≠0時，該機構的速度正解為:

3.3 4-SPS/PPU并聯機構的加速度分析

當J-1為非奇異矩陣，則有:

其中為該并聯機構的Hessian矩陣H，即:

4-SPS/PUU并聯機構的Hessian矩陣為一個4×4×4的三維矩陣，其中該矩陣中的每個元素為:

通過式（10）、（11）可以求得機構加速度的逆解和正解。

4 4-SPS/PPU并聯機構的Jacobian矩陣條件數

Jacobian矩陣條件數是衡量并聯機構靈巧度的一項重要指標，它是一個無量綱數。根據3.2節中式（7）為廣義輸出速度 與上平臺廣義輸出速度 之間的關系。對式（7）兩邊取偏差:

式（14）與式（7）相減得:

對式（15）與式（9）兩邊取Frobenius范數以及根據范數的相容原理有:

速度的輸入相對偏差與輸出速度之間有下列關系:

式（18）中‖J‖‖J-1‖為4-SPS/PPU并聯機構的Jacobian矩陣條件數，它是一個大于或等于1的數，即:

Jacobian矩陣條件數g越大，該矩陣的逆矩陣J-1的精度越低，g越小，該機構的靈巧度越好，當g=1時，機構處于最佳的運動傳遞性能，此時機構具有各項同性［13］。

5 數值計算

不妨設4-SPS/PPU并聯機構上平臺質心P的運動軌跡為:

1）當該機構的上平臺邊長a=1 m，下平臺邊長b=2.5 m時，該機構Jacobian矩陣的條件數隨時間的變化曲線如圖2。

圖2 4-SPS/PPU并聯機構Jacobian矩陣條件數

2）當該機構的上平臺邊長a=1.5 m，下平臺邊長b=3 m時，該機構Jacobian矩陣的條件數隨時間的變化曲線如圖3。

由圖2與圖3可知，當4-SPS/PPU并聯機構的結構參數不同時，該機構Jacobian矩陣的條件數有明顯區別，即結構參數影響了該機構的靈巧度。且該機構具有良好的活動性。

圖3 4-SPS/PPU并聯機構Jacobian矩陣條件數

6 結論

1）提出了一種新型的兩轉動兩平移的4-SPS/PPU并聯機構，采用螺旋理論計算了4-SPS/PPU并聯機構的自由度。討論了該機構的位置反解與正解，研究了該機構的速度與加速度。導出了Jacobian矩陣與Hessian矩陣。

2）在該機構速度分析的基礎上，利用對速度方程兩邊取偏差的方法推導出該機構的Jacobian矩陣條件數，通過數值分析研究了該機構靈巧度在不同結構參數下隨時間變化的規律，驗證了結構參數對該機構靈巧度的影響。

［1］程佳，王宣銀，李強.4TPS-PS并聯四自由度電動平臺的受力特性研究［J］.哈爾濱工業大學學報，2009，41（1）:108-112.

［2］王宣銀，程佳.4TPS-PS四自由度并聯電動平臺動力學建模與位置閉環魯棒控制［J］.浙江大學學報，2009，43（8）:1492-1496.

［3］Li Yangmin，Xu Qingsong.Kinematic analysis of a 3-PRS parallel manipulator［J］.Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2007.23（4）:395-408.

［4］劉劍敏，馬履中，許子紅.振動篩兩平移兩轉動并聯機構的運動學分析［J］.農業機械報，2008，39（2）:59-62.

［5］吳孟麗，張大衛，趙興玉.一種新型非對稱并聯機構的運動學分析［J］.中國機械工程，2008，19（12）:1423-1427.

［6］王庚祥，原大寧，劉宏昭，等.空間4—SPS/CU并聯機構運動學分析［J］.農業機械學報，2012，43（3）:207-212.

［7］程世利，吳洪濤，王超群.基于正交補的6-3 Stewart并聯機構運動學正解［J］.中國機械工程，2011，22（5）:505-508.

［8］寧淑榮，郭希娟，黃真.一種新型并聯機構4-RPR的性能分析［J］.機械科學與技術，2007，26（2）:184-187.

［9］劉爽，郭希娟，劉彬.4-RR（RR）R并聯機構的動力學性能指標分析［J］.機械工程學報，2008，44（7）:32-68.

［10］郭希娟，耿清甲.串聯機器人加速度性能指標分析［J］.機械工程學報，2008，44（9）:56-60.

［11］張世輝，孔令富，郭希娟.6-HURU并聯機器人機構運動學和動力學性能指標分析［J］.中國機械工程，2004，15（20）:1800-1803.

［12］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機構學［M］.北京:高等教育出版社，2006.