基于變導程的螺旋副彈性接觸研究

張 威，史 翔，李東波

（1. 南京理工大學 機械工程學院，南京 210094；2. 南京工程大學 機械工程學院，南京 210094）

0 引言

變導程螺旋傳動在80年代就有人提出，并且在電梯傳動中應用。隨著機械制造行業的快速發展，變導程螺旋傳動作為新興的傳動方式被廣泛應用。可以根據需求，設計絲桿的轉動與螺母的直線運動各種非線性關系。經過長期的試驗和設計，目前在地鐵上已經得到了初步應用。螺母副是該機構的關鍵部件，在變導程條件下，傳動滾子與絲桿的彈性接觸需要進一步分析。本文應用微分幾何理論對滾子和螺旋槽的主曲率進行理論計算[1]，并根據Hertz彈性接觸理論對變導程條件下滾子受力和彈性變形進行分析，對于研究變導程螺旋傳動機構的疲勞壽命有重要意義。

1 變導程螺旋傳動機理

圖1 變導程螺旋傳動機構示意圖

圖1是一個變導程螺旋機構，絲桿的導程是變化的。銷軸3與絲桿的螺旋槽5嚙合而進行運動和力的傳遞，銷軸3在螺旋槽5中引導軸套沿著螺旋槽軌跡運動，使螺母按照導程的變化運動。在大導程H 1和H 2段，軸向移動速度高；在小導程H3段，軸向移動速度低；當小導程H4的導程小到一定程度時（螺旋升角小于其摩擦角時），螺旋副可以自鎖。即同一螺旋副傳動，既可以實現變速傳動、非自鎖傳動與自鎖傳動以及它們之間多種運動的組合。

圖2 變導程絲桿展開圖

將變導程螺旋傳動絲桿沿圓周展開成二維平面，如圖2所示。可以看出，對于變導程螺旋傳動，其絲桿的導程沿絲桿軸線變化。在二維平面上，變導程絲桿螺旋槽與滾子間是高副接觸，若變導程絲桿1為主動件，則滾子上受驅動力矩M和合力R，因此，作用在螺旋副上的驅動力，通過滾子傳遞動力和運動。所以若螺旋槽5的寬度不小于銷軸3的直徑D，螺母2就可以和任意變導程絲桿1構成變導程螺旋副完成變導程螺旋傳動。

2 變導程螺旋傳動副線接觸

圖3為可變導程螺旋副示意圖，圖中E為滾子與絲杠的接觸點，E＇為銑刀與螺旋槽相切點，R為絲杠半徑，r為圓柱滾子半徑，L為滾子長度，r'為銑刀半徑，螺旋升角為λ，W為載荷。其中虛線圓是加工螺旋槽的銑刀外輪廓，實線圓是滾子外輪廓。顯然，若滾子與銑刀尺寸相同時，滾子與螺旋槽是線接觸；若滾子半徑小于銑刀半徑時，則滾子與螺旋槽的接觸有線接觸和點接觸兩種可能。

圖3 滾子與螺旋槽線接觸示意圖

絲桿在加工過程中，螺旋槽側面是銑刀外圓的包絡。如果滾子與銑刀外徑相等，則在傳動過程中滾子始終與螺旋槽保持線接觸。而在實際裝配中，由于滾子半徑小于銑刀半徑，這樣在滾子與絲桿接觸時，若滾子與螺旋槽接觸點E和銑刀與螺旋槽相切點E＇重合時，則滾子與螺旋槽還是線接觸。

滾子軸線與絲桿軸線的距離：

滾子與螺旋槽之間的接觸類型為線接觸的條件為滿足式(1)。

設圓柱螺旋線所在圓柱的曲面S (t,z)，t 為絲桿旋轉角度，z為軸向坐標，則其曲面參數方程為：

則螺旋槽曲面的第一基本形式和第二基本形式分布為：

絲桿外輪廓螺旋線法曲率為：

因為變導程螺旋線任一點處曲率[2]為：

則變導程螺旋線測地曲率為：

根據赫茲彈性接觸理論，接觸區半寬b為：

其中E為當量彈性模量，由式(8)決定：

式中，1E，2E為絲桿和滾子的彈性模量，1μ，2μ為泊松比。

3 滾子與螺旋槽點接觸

若不滿足滾子與螺旋槽接觸點E和銑刀與螺旋槽相切點E＇重合條件，滾子與螺旋槽必然是點接觸。圖4是螺旋傳動時滾子與螺旋槽的接觸示意圖。當導程不變情況下，該接觸等效為兩個垂直圓柱體的點接觸。相當于當絲杠轉動時，未變形前，滾子與螺旋槽的接觸是點接觸，受法向力W作用時，接觸處發生變形。很明顯，橢圓的短軸和長軸尺寸與兩接觸面曲率半徑有關。根據赫茲彈性接觸理論，各點的變形不同，而且接觸應力也不是常數，在接觸中心，變形最大，因而壓力也最大，設maxp 表示中心處的最大壓力。應力根據赫茲彈性接觸理論，壓力大小與變形的大小成比例，因此自中心處向四周壓力逐漸減小。

圖4 滾子與螺旋槽點接觸示意圖

端面上的變形呈橢圓形，故端面上各點的壓力σ也按橢圓規律變化，即：

接觸橢圓長、短半軸分別為a、b，由彈性理論可求得：

na為接觸區域長半軸系數，即滾子主曲率半徑方向；

nb為接觸區域長半軸系數，即螺旋槽的接觸處主曲率半徑方向；

∑ ρ為曲率和，即：

式中， E(e) 是關于橢圓率e的第二類完全橢圓積分，即將式(11)代入式(10)，得最大接觸應力：

4 結論

1) 變導程螺旋傳動中，滾子與螺旋槽實現線接觸的條件是在銑刀和滾子軸線均與絲桿軸線垂直時，絲桿外徑處滾子與螺旋槽的接觸點必須是銑刀加工螺旋槽時的切點。

2) 若導程不變，則線接觸等效為一彈性圓柱與剛性平面的接觸問題；若導程變化，則線接觸的半寬b沿著絲桿方向變化，且與螺旋升角的變化率有關。

3) 在點接觸情況下，接觸點位于螺旋槽外輪廓，且等效為兩垂直彈性圓柱接觸問題。

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