小微企業兩期借貸模型及多期拓展與客觀概率研究

張 迪，徐海峰

（武漢大學 經濟與管理學院，武漢 430071）

0 引言

隨著我國經濟的發展，小微企業的重要性日趨明顯。據統計，小微企業數目占到全國企業總數的99%，但這個為全國提供了85%就業崗位的小微企業卻面臨著嚴重融資困境。本文針對于小微企業資金需求急、數量小、周期短的特點，提出了兩期借貸模型。在此模型中，貸款方，即金融機構將分兩期把資金投放給企業。由于小微企業資金需求數量并不大，所以單期的貸款足以使其完成一個完整周期的生產。故把資金分割并沒有影響到小微企業的正常生產。而貸款方可以根據情況，選擇第二個周期是否將錢貸給企業。

1 模型框架

首先考慮最基本的情形，構造一個兩期離散模型：融資初期在T0。企業從貸款方獲得數量為K的資金。借貸一期的利率為R。企業經過第一個周期的生產運營，到達T1，并向貸款方匯報經營狀況；T1時，企業有可能再次從貸款方獲得資金K，并經過第二個周期的生產運營，到達T2。每次貸款的應償本息均為K(1+R)。

以下是本模型的假設：

1.1 基本假設

假設1:兩期之間時間隔的較短，因此為了簡便，假設不用貼現。

假設2:小微企業盈利狀態分為“高收益”和“低收益”兩種，分別記為SH、SL，其發生的客觀概率為P和1－P。P值的大小由小微企業自身的經營和市場的綜合情況決定，貸款方無法完全了解，只有通過估計。

假設3:該模型中借貸雙方均為風險中性。

表面上看起來假設3偏離了風險規避的一般假設，但其實是符合現實情形的。一方面，對于小微企業來說，為了本身的發展，能夠獲得資金是最為重要的；另外一方面，貸款方受到政策導向等外生因素的制約。

如圖1所示。

圖1

1.2 小微企業

有了上述基本假設后，下面開始描述企業生產的框架，我們再添加一些假設。

假設4：無論是高收益還是低收益，企業的收入函數是規模遞減的。

例1：由假設4，我們可以采用最簡單的Cobb-Douglas函數來模擬。

其中，i=G，B；0＜α＜1。

若在T0或T1時，小微企業成功從貸款方獲得了K的資金，開始了一個周期的生產運營。那么根據假設2，下一個時期將出現兩種狀態。若狀態為SH，企業可以獲得MG的收入；若狀態為SL，企業可以獲得MB的收入。

為了方便分析企業和貸款方的收支狀況，我們做出另外一個可以接受的假設。

假設5：若企業處于SH，則有能力償清貸款；若企業處于SL，則無力償清貸款；若企業在兩期中至少一次處于SH，亦有能力償清貸款。數學表達式為MG＞K（1+R），MB＜K（1+R），MG+MB＞2K（1+R）。

口頭上，表達等價于企業除非經營條件持續惡化，否則總能盈利。我們可以限定例1中的相關參數使其滿足假設5。

1.3 貸款方

考慮貸款方時，我們又添加了新的假設。

假設6：對于貸款方而言，企業抵押物價值為0。并且，忽略機會成本的影響。

根據基本假設，T0時貸款方綜合小微企業各方面的因素，貸款K給企業；T1時，貸款方有權獲知企業的經營狀況。若企業處于SH，則貸款方將再貸款K給企業。若企業處于SL，則貸款方有兩個選擇：

（1）終止合同，不再將剩余款項貸出，并沒收小微企業的所得。

（2）繼續給企業貸款K，使其進入第二個周期的生產。

2 收益分析

2.1 小微企業

首先，讓我們討論在不同的情形下小微企業的收益分析。

情形1：企業在T1時處于SH，則將肯定獲得第二次貸款K。故在T2時，若企業仍處于SH，則最終收益為2MG－2K（1+R）；

情形2：企業在T1時處于SH，在T2時處于SL，則最終收益為MG+MB－2K（1+R）；

情形3：企業在T1時處于SL，若貸款方終止合同，企業最終收益為0；

情形4：企業在T1時處于SL，若貸款方繼續提供貸款，則企業進入第二個周期的生產，若在T2時，若企業處于SH，則最終收益為MG+MB－2K（1+R）；

情形5：企業在T1時處于SL，若貸款方繼續提供貸款，若在T2時，若企業仍處于SL，則最終收益為0。

2.2 貸款方

進而，我們可以分析在上述五種情形下，貸款方的收益情況。

情形1、情形2、情形4：貸款方最后都將收到應得的利息，故收益為2KR；

情形3：貸款方提前終止合同，其損失為K－MB；情形5：貸款方連續損失兩期，其和為2K－2MB。

3 與單期模型的比較

直覺上，由于我們將資金分為了兩期，貸款方的風險因而降低了。但事實上是否如此呢？因此，我們將上述的兩期模型與單期模型比較，由此得出兩期模型的優越性。

單期模型下，貸款方直接將2K的資金貸給小微企業，假定小微企業用所有的資金進行一個周期的生產。那么企業如果處于SH，可以獲得MH的收入。由規模遞減的假設，可知 MG＜MH＜2MG；如果處于SL可以獲得ML的收入，同理，ML＜2MB。而兩種情況下，企業所需償還的本息仍然是2K（1+R）。故在第一種情況下，小微企業可以償清貸款，而在第二種情況下，則無力償還貸款。

給定客觀概率P，計算借貸雙方的期望收益：

企業：E1=P·（MH－2K（1+R））+（1－P）·0=P·（MH－2K（1+R））

貸款方：R1=P·2KR+（1－P）·（ML－2K）

由于在T1時，貸款方有兩種選擇，使得模型的分析變得困難，所以不妨對兩種選擇分別進行分析。

3.1 在T1時，若企業處于SL，貸款方選擇終止合同

在這種假設下，會出現情形1、情形2、情形3，概率分別為P2，P·（1－P）和（1－P）。此時借貸雙方的期望收益分別為

顯然，因為ML＜2MB＜ MB+K，即ML－2K ＜ MB－K，我們有R2＞R1。故無論P值大小，貸款方的收益都明顯提升。再考慮企業，用E2減去E1，并化簡，可得

由于不知道MB與MH的大小關系，（1）式的正負不能夠確定。但是注意到，當P趨于1的時候，（1）式趨于2MG－MH，也就意味著，當P足夠大時，企業的收益也會得到提升。事實上，只有當P足夠大的時候，貸款方才愿意將資金貸給企業。所以，在很大程度上，企業的狀況也會變好。

3.2 在T1時，無論企業表現如何，貸款方選擇繼續貸款

在這種假設下，會出現情形1、情形2、情形4、情形5，概率分別為P2，P·（1－P），P·（1－P）和（1－P）2。此時借貸雙方的期望收益為

顯然，E3＞E2＞E1。口頭上，與3.1節中的情況相比，對于T1時處于SH的小微企業來講收益沒有變化，但對于T1時處于SL的企業，他們仍有機會在T2時盈利，故收益肯定上升了。

下面比較R3和R2。用R3減去R2，得

由于P2＜P，故第一項大于0；第二項，仍然由于P的不確定性，正負無法確定。但一旦P≥1/2，（1－P）（1－2P）（MB－K）≥0，故R3＞R2＞R1。

綜上所述，對于滿足一定條件的P值，兩期模型顯示出了不凡的優越性，無論對于小微企業還是對于貸款方，狀況都得到了改善。值得注意的是，第一個周期企業表現不好時，若貸款方選擇繼續支持其發展，收益狀況可能優于終止合同。

4 由兩期到多期的拓展

從上述部分可以看出，將資金分割為兩期可以有效地提升借貸雙方的利益。將資金分割，是順應小微企業貸款數量小、需求急的特點。那么如果企業需求的資金量足夠小，使得資金可以分割成更多期，又會使借貸雙方的收益發生什么變化呢？

考慮貸款總額為KA的資金，將其分為n期，即KA=nK，假設企業的收入函數已知，分別為

下面仍然從兩個方面來考慮多期時借貸雙方的收益情況。

（1）在Tj（j=1，2，…）時，若企業處于SL，貸款方選擇終止合同，如圖2所示。

企業的期望收益為

圖2

由于只要企業出現第一次SL，借貸方就會撤資，故只有當企業第一期就出現SL時，借貸方才會出現虧損。則貸款方的期望收益為

將En和Rn表達式中的MG和MB用K的表達式寫出來，并用KA/n代替所有的K。給定不同的P，分別用Matlab或其他數學軟件求En或Rn關于n的導數，可以得到最佳的n值。若要使雙方的利潤最大化，就對En與Rn的和關于n求導。

（2）在Tj（j=1，2，…）時，無論企業表現如何，貸款方選擇繼續貸款，如圖3。

假設n期中，企業有至少一半以上的時期處于SH,企業就可以還清貸款。為了公式的簡潔，考慮取整函數m=[（n+1）/2]，則當企業處于SH的時期≥m，企業可以還清貸款，同樣意味著金融機構也可以獲利。企業的期望收益為

圖3

使用和4.1節同樣的方法，即可得到最佳的n。

對于不同類型的企業，我們有不同的概率估計P。而根據不同的P值，我們進而找出了最佳的n，即將資金分割為幾期是最佳方案。總之，小微企業可以更加容易地得到貸款，而貸款方也能通過這種方式最大化自己的投資利潤。

5 客觀概率P的估計

從上述計算可以看出，客觀概率P的大小，很大程度上決定了借貸雙方的贏利情況。那么，如何正確估計P，是一個很重要的工作。直覺上，市場越好，小微企業安全性越大，信用評級越高，E（P）就會越高。因此對P的估計很大程度上是與信用評價制度和銀行的風險管理體系相聯系的。

考慮一個經過技術處理的線性計量模型:

其中，Xi（i=1,2,…,K）是一系列與小微企業能否成功運營相關的重要參數，其中包括特定市場的整體狀況，企業的信用評價指標等等。我們可以通過這些比較容易獲得數據的變量來衡量P值的大小。

在這些變量中，除了考慮到商業銀行普遍關注的因素——基本素質、償債能力、營運能力和盈利能力以外，還要考慮到小微企業的特色指標，如成長能力、創新能力、市場空間等等。

以下列出了部分應該考量的小微企業特色指標：

（1）成長能力:銷售增長率、利潤增長率、資本積累率；

（2）創新能力:研發投入比例、技術或設備先進度、研發人員比例；

（3）市場空間:營銷狀況，市場預期，產品認證情況，市場評價。

針對不同的市場，我們可以通過收集不同類型小微企業在獲得貸款后的運營狀況來作為P的估計量。通過計量回歸和相關性檢驗，來得到βi（i=0，1，…,K）的值。今后只需輸入相關變量的數值，我們就可以有效地估計P值的大小，從而確定是否采取兩期模型或多期模型；并確定若采用兩期模型，在企業效益不好時，是否終止合同。

[1]Guyton G.M.,Finger C.C.,Bhatiam.Credit Metrics:The Benchmark for Understanding Credit Risk[A].Technical Document[M].New York:J.P.Morgan,Inc.,1999.

[2]康健.Credit Metrics模型在中小企業融資貸款信用風險管理中的應用研究[D].四川：四川大學，2007.

[3]林毅夫，李永軍.中小金融機構發展與中小企業融資[J].經濟研究，2001,(1).