商務樓租賃合約的偏微分方程定價模型

顧鋒娟 ，岑仲迪

（1.上海財經大學 金融學院，上海 200433；2.浙江萬里學院 計算機與信息學院，浙江寧波 315100）

0 引言

隨著我國經濟持續快速發展，社會對商務樓的需求日益增加，形成了一個龐大的商務樓租賃市場。而且商務樓租賃合約包含的條款內容也越來越豐富，出現了“租售同步”[1]、“租金可調整”、“可提前終止”[2]等形式的租賃條款。一種常見的有停租條款的商務樓租賃合約包含如下主要內容：（1）商務樓租賃雙方約定一定的租賃期限；（2）承租方按約定的單位時間（例如，一個月、一個季度或一年）向出租方交納固定房產租金；（3）承租方可以提前終止租賃合約，但需向出租方交納約定的違約金（出租方可以提前收取房產出租押金形式來保證違約金條款的實施）。由于房產租賃市場價格的變化，從承租人對合約的執行情況看有兩種方式：繼續持有合約直至合約終止；違約。

此商務樓租賃合約與固定利率抵押貸款合約有較多相似之處：（1）都是按約定時間支付固定款額方式來履行合約；（2）由于風險資產市場價格的變化，合約持有人要么違約，要么持有合約直至合約終止。李少華和韓豐銳[2]應用處理障礙期權的方法對這類含停租條款的商務樓租賃合約進行了定價分析。本文應用定價固定利率抵押貸款合約的思路來構建商務樓租賃合約定價模型，并應用基于自適應的有限差分法進行數值計算，得到相應的租賃合約價值。

1 定價模型

下面從承租人角度建立商務樓租賃合約的偏微分方程定價模型。首先給出模型的基本假設：

（1）市場是無套利的，無摩擦的，存在風險中性的鞅測度；

（2）無風險利率r＞0是常數；

（3）商務樓租賃合約敲定的固定月租金為m（單位面積商務樓的月租賃價格）；

（4）商務樓租賃期為[0,T]；

（5）商務樓租賃的市場價格St（單位面積商務樓的月租賃市場價格）遵循幾何Brown運動

其中μ為期望回報率，σ為波動率，μ和σ均為大于零的常數，Wt是標準Brown運動。由于商務樓租賃量日益增大，尤其在較發達的城市和地區，因而假設商務樓租賃價格服從幾何Brown有其合理性[1，2]；

（6）承租人如果提前終止租賃合約，需要支付單位面積商務樓的違約金E（出租方可以提前收取房產出租押金形式來保證違約金條款的實施）。

由于合約的支付日相對合約生命期來說比較密集，所以可以近似地認為承租人是連續支付商務樓租金的。則t時刻商務樓租賃合約持有到期還需要支付的租金余額為

商務樓租賃合約的市場價格

依賴于商務樓租賃的市場價格St和時間t。下面利用Δ-對沖技巧，給出商務樓租賃合約市場價格的定價模型（其主要思想方法可參見文獻[3，4]）。為此構造如下投資組合Π

其中Δ待定。考慮[t,t+dt]時段內投資組合的改變量

而且這個組合是無風險的，并且是無套利機會，那么資產回報率必為r，故有

對（3）應用Ito引理可得

將式（1）、（4）和（6）代入（5）可得

由于等式（7）右邊是無風險的，因此隨機項dWt前的系數必定為0，即只能取時等式才成立。將它代入式（7）中，消去dt，可知商務樓租賃合約市場價格滿足如下微分方程

如果商務樓租賃的市場價格上升，高于租賃合約約定的租賃價格，那么承租人擁有的租賃合約價值得到提升，承租人將繼續持有租賃合約；如果商務樓租賃的市場價格下降，低于租賃合約約定的租賃價格，那么承租人擁有的租賃合約價值下降，當需要支付的租金余額減去違約金還足以重新租賃，那么承租人將毀約。因此由承租人行為可把商務樓租賃問題分割為以下兩個部分：

繼續持有區域滿足Lv=m；違約區域：滿足Lv＜m，

這里

從而可得商務樓租賃合約市場價格v(S,t)滿足如下線性互補問題：

注1：文獻[2]將違約金設定為合約到期時間的減函數，即離合約到期時間越遠，給出租方帶來的不利影響越大，需要支付的違約金越高；離合約到期時間越近，給出租方帶來的不利影響越小，需要支付的違約金越低。這樣設定違約金有其合理性。考慮到實際租賃合約中大多約定固定違約金，因此本文假設承租人毀約支付固定違約金。

2 有限差分策略

對線性互補問題（8）～（12）進行數值求解時，需要截斷空間無窮定義區域(0,+∞)成有限區間(0,Smax)。基于Wilmott等人[5]的估計，資產價格的上界一般是三倍或四倍的執行價，因此這里取Smax=4m。一般地，這樣的無窮截斷產生的誤差是比較小的，有關的誤差估計可參見文獻[6]。因此下面我們求解如下線性互補問題：

我們應用文獻[7]中的基于自適應網格的有限差分策略來求解線性互補問題（13）-（17）。為避免出現數值計算的非物理震蕩，我們將空間定義區域[0,Smax]剖分成一個分片一致網格ΩN：

我們將時間定義區域[0,T]等分成K個小區間，記此等距網格為ΩK。易知空間網格步長hi=Si-Si-1和時間網格步長τj=tj-tj-1分別滿足

在分片一致網格ΩN×ΩK上對Black-Scholes微分算子L采用中心差分離散格式：

則線性互補問題（13）～（17）的離散策略為

通過區分不同網格點集，在相應的網格點集上應用極大模原理，由文獻[8]可知，此有限差分策略對于任意波動率和任意利率都是穩定的，并且是關于風險資產價格二階收斂的。

應用迭代投影法[8]來計算離散線性互補問題（18）-（22）。首先計算

這樣保證了約束條件（19）和（20）都是滿足的。

某商務樓租賃合約的各個參數取值分別為：σ=0.3，r=0.04，T=25，m=1，E=2，Smax=4，N=K=128。應用迭代投影法可計算得到各個市場價格和各個時間所對應的商務樓租賃合約價值（如圖1所示）。

圖1 租賃合約價值

3 結論

本文分析了一類商務樓租賃合約的期權特性。通過分析發現商務樓租賃合約與固定利率抵押貸款合約有較多相似之處，因此本文應用定價固定利率抵押貸款合約的思路來構建商務樓租賃合約定價模型。應用Δ對沖方法及Ito引理，在風險中性意義下，建立了商務樓租賃合約的偏微分方程定價模型。應用基于自適應的有限差分法對定價模型進行數值計算，得到相應的商務樓租賃合約價值。此定價方法也可用于諸如售房養老計劃，家電期權、人壽保險合約等帶有分期付款特征的期權定價，以獲得相應的期權價值。

[1]姜禮尚，徐承龍，任學敏，李少華等.金融衍生品定價的數學模型與案例分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]李少華，韓豐銳.商務樓租賃合約的定價[J].上海師范大學學報（自然科學版），2010，39（4）.

[3]袁桂秋，姜禮尚，羅俊.固定支付利率的抵押貸款定價理論——限于在支付日提前支付或違約[J].系統工程理論與實踐，2003，23（9）.

[4]堅雄飛，易法槐.分期付款購房模型及其拋物障礙問題[J].數學物理學報，2007，27（6）.

[5]Wilmott P,Dewynne J，Howison S.Option Pricing:MathematicalModels and Computation[M].Oxford：Oxford Financial Press,UK,1993.

[6]Kangro R,NicolaidesR.FarField Boundary Conditionsfor Black-Scholes Equations[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,2000,38(4).

[7]Cen Zhongdi，Le Anbo.A Robust Finite Difference Scheme for Pricing American Put Options with Singularity-Separating Method[J].Numerical Algorithms，2010,53(4).

[8]Brennan M J,Schwartz E.The Valuation of American Put Options[J].Journal of Finance,1977,32(2).