滑模控制器控制降壓型直流－直流轉換器

甘家梁，熊曾剛，王光偉，徐翠琴，李 驥

（湖北工程學院計算機與信息科學學院，湖北 孝感 432100）

0 引 言

開關式電源轉換器具有大負載電流范圍以及高轉換效率的優點，但是電路中采用電感以及電容當作能量傳遞的組件，配合功率晶體管當作開關切換，因此輸出電壓具有紋波［1］.同時，電源的負載多數是感性負載，對電源輸出的擾動時刻存在著，因此希望尋求一個解決方式，以降低或消除輸出電壓紋波和干擾的影響.常規直流－直流（Direct current－Direct current，簡稱 DC－DC）變換控制電路采用PID （Proportional－integralderivative，簡稱PID）或者微處理器電路等經典的控制策略，產生脈沖寬度調制 （Pulse width modulator，簡稱PWM）波形進行控制，這種控制策略是一種基于小信號模型的方法.然而在實際控制系統中，DC－DC轉換器受到自身參數的影響，在大信號擾動下，如果負載的變化大，用小信號進行控制的系統輸出結果就與系統響應特性不一致，因此小信號分析方法在DC－DC轉換器的控制策略中有先天不足.由于受開關量的控制，DC－DC轉換器在工作過程中的控制量在兩個子拓撲之間來回切換，具 有變結構的特點［1－2］.滑模控制（Sliding Mode Control，簡稱SMC）技術擁有響應快速，設計簡單，以及對系統的不確定性或外在干擾具有穩健性（robustness）等優點，是一種具穩健性的控制設計方法，并且通過適當地選取控制器的參數設定，設計者可以調整系統輸出追蹤理想值的收斂速度，因此設計上更靈活.變結構控制的設計思想就是利用開關信號0／1變更控制律，其設計理念非常適用于具有非線性特性的DC－DC轉換器，并具有很好的魯棒性能［1－3］.本研究針對PWM的降壓型轉換器提出以不同狀態為變量的數學模型，運用比例積分微分修正滑模控制法則作為控制器的設計，仿真結果證明控制器對于系統輸出電壓具有不隨負載電流變動而變化的特性，同時對于系統參數變化亦具寬廣的魯棒性.

1 降壓型DC－DC變換器控制方法分析與建模

1.1 滑模變結構控制策略分析

滑模控制也稱變結構控制，其特點在于其利用不連續的控制輸入，使得閉合回路系統軌跡最后會被限制在一個預先設計好的滑模面（sliding surface）上，而閉合回路系統的動態行為可由滑模面來規范［4－5］.一般來說，滑模控制其擁有響應速度快、容易實現，以及對于模型不確定性或外在干擾具有強健性的優點.因此，滑模控制策略對于具有變結構特點的DC－DC變換器特別適用，并可以獲得良好的魯棒性和瞬態特性.

對一個控制系統要實現滑模控制，系統的設計必須滿足存在條件、到達條件和穩定性.本文通過分析二階相變量控制系統，來說明這三個基本條件的含義［2－3，5］.假設控制系統的狀態方程為

f（·）是一個n維矢量函數，x為系統的狀態矢量，u為系統的輸入控制信號.發生結構狀態轉換定義在切換面s（x，t）＝0處，即

要使系統狀態軌跡在滑模面s（x，t）＝0上作來回切換運動，必須保證系統的控制矢量f＋和f－在s（x，t）＝0的兩側處的方向指向切換面s（x，t）＝0.

在控制輸入信號為u＋和u－時，如果系統在穩定狀態時對應的工作點x＋和x－分別處于u－和u＋的作用空間，則可以保證工作系統在控制量u的作用下，不論初始狀態如何都可到達控制滑模面，并沿滑模面滑動至原點.

DC－DC轉換器是一個分段線性系統，即雙線性開關網絡，它的狀態方程為

式（3）中，xT＝［U0，iL］，Uo為電容電壓，iL為電感電流，A為系統狀態矩陣，B為控制矩陣.

選取滑模控制的切換函數為

式（4）中，α＞0為滑模系數，e＝Uref－γU0為系統的輸出誤差電壓，Uref是系統所期望的參考輸出電壓.

采用直接法（開關控制信號是根據切換函數的符號直接產生），選取控制律為

則滑模狀態的存在條件和能達條件是

當DC－DC轉換器選取的切換函數式（2）滿足存在條件和能達條件式（4）時，采用控制律式（3）可以實現方程式（1）的滑模變結構控制，即閉環控制轉換系統不論始于何種初始狀態，其運行狀態軌跡總可以在有限時間內到達滑模面，并沿滑模面運動，最終逐漸穩定于相平面原點（閉環系統平衡點）.

1.2 不確定性負載的PWM降壓型DC－DC轉換

器電路動態數學模型的建立

降壓型DC－DC轉換器采用的滑模電壓控制器，系統工作在電流連續導通模式下的線性平均等效電路模型可用圖1表示.

圖1 PWM降壓型DC－DC轉換器等效電路Fig.1 Equivalent circuit of PWM Step－Down DC－DC converter

為了保留積分環節來消除誤差，狀態變量可以取反饋輸出電壓的誤差，反饋輸出電壓誤差的變化率即反饋電壓誤差的微分和反饋電壓誤差的積分.其數學模型狀態方程式如下［4－6］：

式（7）與式（8）中：iM是流經等效固定負載電阻的電流，E為直流輸入電壓，iN為等效不確定負載電流，包括參數變動、負載變動及噪聲等所引起的不確定電流，d為工作周期（0≤d≤1，可通過由硬件電路設置限制器加以限制），U0為轉換器輸出電壓，R為等效固定負載電阻，r為電感的等效串聯電阻，rC為電容的等效串聯電阻.

解式（7）與式（8）可得：

控制系統為使輸出電壓能穩壓于電壓值Uref，因此設誤差電壓為Ue＝U0－Uref，所以Ue＝U0.

為了使得控制系統穩態誤差電壓Ue為零，系統的狀態變量用如下數學公式描述：

則誤差狀態方程如下式表示：

是對圖1電路的求解，為了求解的方便對非線性電路進行線性化處理，通過建模得到一系列線性方程公式：

對電路方程建立系數系數矩陣A，施行初等行變換變為行最簡形矩陣，為了下面對電路進行穩定性分析，對系數矩陣A在等效不確定負載電流iN情況下進行微分變換，就得到方程：

1.3 滑模型PID控制器的設計

在設計滑模PID控制器時，通過選取合適的切換函數s，使PID調節器輸出的三個參數kP、kI、kD最優化，從而使轉換器輸出的電壓誤差收斂并穩定在零值附近［4－7］.降壓型 DC－DC 轉換器的數學模型以狀態方程式（11）為基礎，以工作周期d為控制輸入信號，運用滑模控制法則來改善PID控制法則.選擇控制滑面方程如下［6－9］：

式（12）中kp、ki、kd為比例積分微分控制器三個系數.

將式（11）代入式（12）得：

控制系統輸入信號d定義分為兩部分：

其中deq為等效控制輸入信號，dn為非線性開關控制輸入信號.

因此，由式（13）得到控制信號d表示如下：

控制信號d介于0與1之間.可由硬件電路設置限幅器加以限制.

綜合上述公式可得：

設dn＝－δsgn（S）并代入式（16）中得：

將滑模PID控制面S與式（17）相乘得：

則SS＝－δ′｜S｜＜0符合滑模控制法則中的迫近滑模條件，若取李雅普諾夫（Lyapunov）函數U＝，則由左式微分可得U＝SS＝－δ｜S｜＜0［7］，可推論本控制系統在全域是漸近穩定的［9－10］.

2 電路仿真與討論

單相電源轉換器與控制電路如圖2所示，電路元件參數設計如下：等效固定負載電阻R為10Ω，電感L＝1mH，電感的等效串聯電阻rL是0.2Ω，電容C＝10μF，電容的等效串聯電阻rC為0.003Ω，直流輸入電壓E為20V，滑模控制修正PID參數設計為kp＝0.063 2，ki＝100，kd＝1。

圖2 單相電源轉換器控制電路框圖Fig.2 A circuit block diagram of Single－phase power converter

實驗中經調整控制器滑模平面S參數后的輸出電壓瞬時響應圖如圖3所示，滑模面S參數調整為臨界阻尼時，穩定時間約3ms；過阻尼時，穩定時間約5ms；欠阻尼時，穩定時間約3ms.仿真顯示無滑模修正PID控制器時輸出電壓約有0.8V的穩態誤差.滑模修正后的PID控制器的仿真結果如圖4～7所示.由圖4觀察得知，當在t＝0.02s時，負載電流由1A增加至3A，t＝0.03s時再由3A恢復至1A時，輸出電壓的變動約0.01V.由圖5及圖6可知，當輸入電壓E變動時，輸出電壓的變動量約0.01V.圖7為轉換器輸出電壓的跟蹤響應圖，當t＝0.02s時參考電壓由10V調至15V，t＝0.03s時參考電壓再由15V調回10V，其間輸出電壓約有0.8V的超越量.

從仿真結果分析可知，滑模PID控制器是通過滑模面S修正PID的參數.轉換器經由選擇狀態變量所設計的控制器運行后，可以獲得最適當的輸出電壓動態響應.當滑模面S調整在過阻尼時系統有較大的輸出電壓超越量，但相對的穩定時間也愈長.控制延遲量δ調整越大，滑模面S越趨近零，對系統的魯棒性愈有利，輸出的穩度誤差值越小，但使S的切換速度相對的變快，將會使計算量增大.如選擇滑模面為欠阻尼的控制器，則系統的上升時間變快，但超越量加大，并有振蕩的情況發生.雖然滑模控制中，由于切換的關系軌跡并不會完全落在滑模平面上，相對的就無法到達平衡點，但亦可通過由PID滑模控制中積分器的關系，減少穩態誤差.而無積分器時，雖然上升時間變快，且無超越量的出現，卻使系統輸出電壓誤差增加.轉換器經兩種不同模型下（數學模型中考慮iL和不考慮iL兩種條件）所設計的控制器控制后，均有良好的性能表現，但電感電流傳感器的增加，使成本相對的提高，因此在做單相降壓型DCDC控制器的設計與實踐上應選擇狀態變量較少的模型.

圖3 滑模控制平面S阻尼輸出電壓響應圖Fig.3 Output voltage response diagram for Sliding mode control plane Sdamped

圖4 t＝0.02s時負載電流輸出電流響應圖Fig.4 The output current response diagram when the load current is increased from the 1Ato 3Aat t＝0.02s

圖5 t＝20ms時E變化時的輸出電壓響應圖Fig.5 The output voltage response for E is given by at t＝20ms and at＝30ms

圖6 t＝20ms和t＝30ms時E變化的輸出響應圖Fig.6 The output voltage response for Eis given at t＝20ms and at＝30ms

圖7 t＝20ms和t＝30ms時參考電壓輸出響應圖Fig.7 The output voltage response for Reference voltage is given at t＝20ms and at＝30ms

3 結 語

以上討論單相降壓型DC－DC轉換器的滑模PID控制器的設計.經仿真分析可得所提出的滑模PID控制器均能通過調整滑模中滑面參數S來調整優化PID控制器的控制參數，提高PWM調制器的效果，使電源轉換器獲得最佳的輸出電壓動態響應，對于輸入電壓與負載電流變動時，電源轉換器都有優越的魯棒性，而輸出電壓對于參考電壓的跟蹤，也能有良好的性能表現，但考慮控制器的計算復雜度與測量設備的成本，設計狀態變量較少的控制器，是較佳的選擇［11］.滑模PID控制器不但可以提高系統對不確定負載的適應性，而且增強了系統在大信號擾動時的魯棒性，將其應用于開關電源轉換器中具有特殊的優勢.

［1］夏元清，付夢印，鄧志紅，等.滑模控制和自抗擾控制的研究進展［J］.控制理論與應用，2013（2）：137－147.XIA Yuan－qing，FU Meng－yin，DENG Zhi－hong，et al.Recent developments in sliding mode control and active disturbance rejection control［J］.Control Theory ＆ Applications，2013（2）：137－147.（in Chinese）

［2］尹勇，周祖德，劉泉，等.基于滑模變結構控制策略的直流斬波器設計［J］.系統工程與電子技術，2009（9）：2177－2180.YIN Yong，ZHOU Zu－de，LIU Quan，et al.Design of DC－DC chopper based on sliding mode control theory［J］.Systems Engineering and Electronics，2009（9）：2177－2180.（in Chinese）

［3］胡躍明.變結構控制理論與應用［M］.北京：科學出版社，2003.HU Yue－ming.Variable structure control theory and applications［M］.Beijing：Science Press，2003.

［4］倪雨，許建平.控制受限滑模控制Buck變換器優化設計［J］.電子學報，2013（3）：555－560.NI Yu，XU Jian－ping.Optimal design of sliding mode control buck converter with bounded input［J］.Acta Electronica Sinica，2013（3）：555－560.（in Chinese）

［5］張黎，丘水生.滑模控制開關變換器的分析與實現［J］.微電子學，2005（3）：260－268.ZHANG Li， QIU Shui Sheng. Analysis and implementation of switching converter with sliding mode control［J］.Microelectronics，2005（3）：260－268.（in Chinese）

［6］張合新，范金鎖，孟飛，等.一種新型滑模控制雙冪次趨近律［J］.控制與決策，2013（2）：289－294.ZHANG He－xin，FAN Jin－suo，MENG Fei，et al.A new double power reaching law for sliding mode control［J］.Control and Decision，2013（2）：289－294.（in Chinese）

［7］文小玲，李鳳旭，易馳，等.并聯型有源電力濾波器的電流跟蹤控制實現方法［J］.武漢工程大學學報，2013，35（5）：73－77.WEN Xiao－ling，LI Feng－xu，YI Chi，et al.Current tracking control implementation method for shunt active power filter［J］.Journal of Wuhan Institute of Technology，2013，35（5）：73－77.（in Chinese）

［8］王兆安，黃俊.電力電子技術［M］.北京：機械工業出版社，2007：154－158.WANG Zhao－an，HUANG Jun.Power electronic technology ［M］.Beijing：China Machine Press，2007：154－158.

［9］崔士杰，汪建華.基于 MATLAB的單相全控整流電路功率因數測定［J］.武漢工程大學學報，2010，32（1）：90－93.CUI Shi－jie，WANG Jian－hua.Measurement based on MATLAB of power factor of fully controlled singlephase commutation［J］.Journal of Wuhan Institute of Technology，2010，32（1）：90－93.（in Chinese）

［10］祝乃杰，陳蓓，牛玉剛.含有輸入時滯的不確定T－S模糊系統的滑模控制［J］.2012（10）：622－628.ZHU Nai－jie，CHEN Bei，NIU Yu－gang.Sliding mode control for uncertain T－S fuzzy systems with input delays［J］.Information and Control，2012（10）：622－628.（in Chinese）

［11］甘家梁，李志敏，徐翠琴，等.直流電機速度控制比較［J］.武漢工程大學學報，2013，35（5）：78－85.GAN Jia－liang，LI Zhi－min，XU Qin－qin，et al.Comparative study on speed control of current motor［J］. Journal of Wuhan Institute of Technology，2013，35（5）：78－85.（in Chinese）