“理論力學”教學中的學科滲透與融合

楊志安

（唐山學院 唐山市結構與振動工程重點實驗室，河北 唐山063000）

跨學科研究是現代科學發展的重要趨勢。當前，提倡和推進跨學科研究已成為包括科技界和社科界在內的社會各方面的重要共識。但是要把這種共識轉化為行動上的高度自覺，需要進一步破除來自體制、機制、組織管理和學術價值觀念等方面的制約。不管是自然科學還是社會科學或人文科學，它們研究的對象無非就是自然、社會和人本身。在現實世界，自然、社會和人本身是一個整體，而在科學研究中，無論哪一類科學，哪一個學科，都只是對這一整體中的局部現象的研究。任何學科都存在研究對象的整體性與既定學科的局部性的矛盾。任何涉及當代社會發展的重大問題，都要從科學和技術、人和社會密切結合中進行探索，也就是從自然界、人和社會發展整體性上加以研究。

國內外對于重大科學技術問題通過跨學科研究進行聯合研究的例子很多：世界基因組工程研究、中國的“兩彈一星”計劃就是最典型的跨學科研究。同時，國內在人文社會科學研究方面也開始重視跨學科研究。英國學者C·P·斯諾提出的關于“科學文化”和“文學文化”的重要命題，即“斯諾”命題正在日益受到重視。我國學者顧海良的《推進跨學科研究破解重大理論和現實問題》［1］、羅衛東的《跨學科社會科學研究：理論創新的新途徑》［2］、黃新華的《跨學科研究中的問題意識》［3］起到了引領與示范作用。

對于跨學科教學研究，應當明晰幾個基本問題。第一，什么是跨學科教學？共同的解釋是跨學科教學就是指以一個學科為中心，在學科中選擇一個中心題目，圍繞這個中心題目，運用不同學科的知識，展開對所指向的共同題目進行加工和設計教學。第二是跨學科教學研究的起點問題。即，究竟是以學科的研究為起點還是以問題的研究為起點？學科不斷朝著深化和細化的方向發展，其系統性和穩定性越來越強，而問題的研究則是按照多學科的要求設定，以問題本身的需要來組織不同學科的學者開展研究，具有極為廣泛的學科綜合性。強調跨學科教學研究，就是要強調問題研究的必要性和合理性。第三是在跨學科教學研究中，要樹立強烈的問題意識。在廣泛的意義上，可以把“問題”定義為某個給定的智能活動過程的當前狀態與智能主體所要求的目標狀態之間的差距。在跨學科教學研究中，我們就是要認識到“問題”的重要性，主動地尋找問題，合理地選擇問題，積極地求解問題，以實現跨學科教學研究的目標。

大學是培養人才的機構，教學是大學的中心工作。巴爾等人概括了本科教育的兩種范式，并認為大學教育的目的不是傳遞知識，而是創設有利于引導學生自主發現規律和建構知識環境，讓學生學會學習與研究［4］。克博爾認為，大學教學可分為知識傳遞型教學和學習促進型教學［5］。教師就是要從關注自己、關注教學內容、關注教學方法或策略上升到關注學生、關注促進學生的教學方法或策略以及關注學生的學習進步與成長上來。因為每一個專業都要跨越自己的專業界限進入尚未標界的領域才能不斷進步。在此認識基礎上，就有了美國斯坦福大學的“多學科”教學與研究行動，法國大學強調本科教育的“多科性”和重視基礎知識的跨學科教學，德國也在積極倡導跨學科教學方式。

“理論力學”是研究物體機械運動及物體間機械作用一般規律的科學。其主要基礎理論是牛頓運動定律，故又稱牛頓力學。“理論力學”也是工科學生最初接觸到與工程實際密切相關的主要課程之一?！袄碚摿W”與工程技術有著緊密的聯系，某些實際工程問題可以直接用“理論力學”得到解決［6］。

“理論力學”來源于傳統的分析力學、固體力學、流體力學、熱力學和連續介質力學的力學分支，并同這些分支結合，產生了理性彈性力學、理性熱力學、理性連續介質力學、機電系統動力學等“理論力學”的新興分支科學。“理論力學”就是這樣從特殊到一般，在從一般到特殊地發展著?！袄碚摿W”課程的地位與作用決定了它在高等工程教育中的地位與作用。

目前我國大學課程教學仍存在教學內容各自為政、相互獨立的局面，“理論力學”教學也大多如此。“理論力學”的教材內容基本上停留在牛頓力學、拉格朗日力學和哈密頓力學的框架內。在“理論力學”跨學科教學與其他學科的綜合方面較弱。學生對“理論力學”與其他學科之間的聯系了解不多。這種傳統的教學格局與當前科學技術的迅猛發展及學科的綜合整體化趨勢不相適應。如何改變這種被動局面？我國教育主管部門和一些高校已紛紛行動起來?！耙匀藶楸荆詫W生為中心”，“注意學生全面發展，改變學科本位觀念”，“注意學科滲透，關心科技發展”，“寬專業，厚基礎，強能力，重創造”，這些理念已逐漸被高校教師接受，并正在付諸行動。大學教學的學科滲透與融合就是高校教師順應社會發展的綜合化對復合型人才需要的一種自覺實踐活動［7－9］。

21世紀仍然是新興學科、交叉學科、高新技術學科發展的活躍時期，“理論力學”與其他學科的交叉形成新的學科在工程實際中作用日趨明顯。“理論力學”作為工科院校教學的技術基礎課，教學內容應形成縱向以“理論力學”為主線，橫向向邊緣交叉學科輻射的樹形知識結構與科學知識體系。

下面根據筆者的“理論力學”教學實踐、“理論力學”的課程特點和教學內容需要引入科學史、科學方法論、哲學、數學、物理、化學的相關內容，闡述“理論力學”教學中的學科滲透與融合。

一、傳承科學精神，講授經典力學發展史

歷史是一面鏡子，記錄了時間長河的重要結點。透過這面鏡子，人們可以審視過去，啟迪未來。在“理論力學”緒論教學中，引入經典力學發展史，可以使學生受到歷史唯物主義和辯證唯物主義教育。

力學是最早發展起來的科學之一。其發展歷史可以追朔到人類文明的開始，它與人們的生產生活實際密切相關。樂器樂律，天文歷法，車船舟楫，橋梁建筑，機械設計中都蘊含著豐富的力學知識，力學既是基礎學科又是技術學科。它所闡明的規律既有普遍意義，同時又是許多工程技術問題的基礎?，F在，力學在自然科學體系中占據重要地位，它已經和數、理、化、天、地、生一起并列為七大新基礎學科之一。

回顧經典力學的發展歷史，不難看到，這一學科的發展并非一帆風順，其發展過程與下面科學家的貢獻密切相關。

作為英國最偉大的科學巨人，力學學科的開創人物牛頓［10］（1642－1727），他在總結前人工作的基礎上，包括開普勒、伽利略等人的工作，借助他所發明的微積分，通過分析歸納將力學提升到牛頓三大定律和萬有引力的高度，形成比較完整的經典力學體系。牛頓于1687年出版《自然哲學的數學原理》標志著牛頓力學的誕生。這本書拉格朗日稱之為“人類智慧最偉大的產物?！睆拇伺ｎD奠定了其在科學史上的崇高地位。這可以認為是經典力學發展的第一階段。

以后瑞士科學家約翰·伯努力（1667－1748）最先提出虛位移原理。法國科學家達朗伯（1717－1785）在他的著作《動力學專論》中提出達朗伯原理，即牛頓第二定律的另一種形式，把動力學問題簡化為靜力學問題。運用這種方法他研究了天體力學的三體問題，并把它推廣到流體動力學中。在這一時期，另一位法國科學家拉格朗日（1736－1813）在力學方面獲得輝煌成就，且對力學理論研究方法產生了深遠影響。結合虛位移原理和達朗伯原理，他推導出非自由質點系的運動微分方程，即著名的第二類拉格朗日方程，也稱為達朗伯－拉格朗日原理。1788年，也就是牛頓的經典著作《自然哲學的數學原理》發表約一百年，拉格朗日完成他的著作《分析力學》，開辟了經典力學第二階段，拉格朗日力學階段。他以變分原理和分析方法為基礎，把完整和諧的力學體系建立起來，使力學分析化［11］。

經典力學發展的第三個階段與英國科學家哈密頓（1805－1865）的工作分不開。對光學和力學之間深刻聯系的思想促進了哈密頓對經典力學的貢獻。1834年，哈密頓發表著名論文《一個動力學普遍方程》，它是力學發展中新的里程碑，在現代力學和物理學中有廣泛應用，也標志著經典力學的第三階段，哈密頓力學階段的開始。它在力學方面的成就概括為兩點：第一，力學的原理不僅可以按牛頓力學的方式來敘述，也可以按某種作用量的逗留值（數學上是某種泛函的極小值）方式來敘述。第二，力學的狀態描述可以找到一種優美的正則形式，這種形式有著極好的數學性質。1834年哈密頓得到以偏微分方程形式表示的動力學方程，不過這個方程能應用于求解動力學問題的完整理論是1837年雅可比得到的，因此又稱為哈密頓－雅可比方程［11］。

通過經典力學發展史介紹，可以使學生受到學風和勵志創新教育，達到喚醒、激勵、鼓舞學生的目的。

二、引入科學方法論，培養學生綜合能力

在教學過程中，根據課程內容講授的需要引入科學方法論，并將其綜合應用于“理論力學”課程教學，使學生學會主動應用科學方法論解決問題。在研究方法上，抽象化、模型化、實驗和推理、分析和綜合、歸納和演繹等方法是“理論力學”課程中體現的重要解決問題的方法，貫徹于“理論力學”整個課程體系之中。這就要求教師在“理論力學”教學過程中，不僅要主動用方法論組織教學，還要根據教學內容把科學方法論中的一些方法結合應用，進行針對性教學。

事實上，經典力學的發展，就是牛頓自覺運用科學方法論，在總結歸納前人研究成果基礎上，加之他的演繹和推理，得出經典力學基本原理的過程。經典力學的發展歷史，就是牛頓運用科學方法論的經典歷史寫照。

理想化方法，直接證明方法和反證明方法屬于科學方法論的具體方法。一個綜合應用上述三種方法的例子就是虛位移原理的證明。在講述虛位移原理之前，教師可首先介紹這三種方法。

將研究對象采用抽象化方法突出主要因素排除次要因素簡化成理想的模型，用以研究原形的性質和規律的方法稱為理想化方法。應用證據直接證明論題正確的方法稱為直接證明方法。通過證明和論題矛盾的判斷是虛假的，來證明論題真實性的方法稱為反證法。

虛位移原理是分析靜力學的基礎，這個原理用分析的方法以及位移和功的概念建立任意質點系的平衡的充要條件，是解決質點系平衡問題的普遍原理。用這個原理解決復雜系統的平衡問題時，不必像幾何靜力學那樣解一系列的聯立方程組，而是根據具體的要求建立方程，使那些未知的但不需求出的約束力在方程中不出現，從而使運動過程得到簡化［11－12］。

虛位移原理可敘述如下：具有雙面約束的平衡質點系統，在給定位置上的平衡條件是作用于質點系的所有主動力，在此系統的給定位置上出發的任何虛位移上所做的元功之和等于零。虛位移原理也叫虛功原理，也稱為靜力學普遍原理。下面綜合應用科學方法論中三種方法加以證明。

設有一質點系，它有那n個質點m1，m2，…，m3，每一個質點mi受有主動力Fi和約束力Ni，當質點系平衡時，對于每一個質點都有

設想每一個質點離開其平衡位置作虛位移δri，則有

對于整個質點系有

式（4）也是質點系的平衡充分條件?？梢杂梅醋C法證明，證明過程參照文獻［11］。

分析虛位移原理的證明過程，我們會發現用到三種科學方法論的方法。如果約束反力在系統的任何虛位移中的元功之和為零，則這種約束稱為理想約束。理想約束本質上是一種假定，它是從許多實際約束中抽象出來的理想化模型，實際上質點也是抽象化的理想模型。虛位移原理的必要性的證明采用直接證明方法方便快捷。虛位移原理的充分性證明采用直接證明方法，很難得到結果。此時，我們調整思維方式，采用反證明方法，問題便迎刃而解。一個虛位移原理，綜合運用三種方法。如果教師如此講述，學生在學習中不僅掌握了虛位移原理，還加深了對科學方法論的認識，其獨立思維和解決問題的綜合分析能力也會得到提高。

貫穿“理論力學”始終的科學方法就是公理化方法。選取少數不加定義的概念和公理作為出發點，在加以嚴格的邏輯推理，將其建成演繹系統的方法稱為公理化方法。牛頓在《自然哲學的數學原理》中系統運用公理化方法表述了經典力學理論體系。它的“哲學推理法則”是“在實驗哲學中，我們必須把那些從各種現象中運用一般歸納法而導出的命題看作是準確的，或者接近于真實的。雖然可能看出與之相反的假說，但是在沒有發現使得這些命題還需要進一步證實或者證明這命題出現了例外的這樣一些現象之前，仍然應當如此對待?！庇脷w納法獲得的“物體的屬性，凡既不能增強也不能減弱者，又為我們實驗所能及的范圍內的一切物體所具有著，就應視為所有物體的普遍屬性?！痹谂ｎD的經典力學的理論體系中，這種方法被普遍使用。

牛頓認為：“凡是從現象中推導出來的任何方法，都應稱為假說。而這種假說，無論是形而上學的，或是物理學的；無論是屬于隱蔽性質的，或是力學性質的，在實驗哲學中都沒有他們的地位。”這就是說不能以假說作為基礎。

然而，牛頓的科學實踐事實上與他的理性存在一定矛盾。他在強調清楚與感性經驗物質界聯系的形而上學的東西，強調建立基于經驗的命題的同時，卻在試圖建立的來源于相對運動的經驗范圍的力學公理體系中，引入與經驗無直接聯系的絕對時間、絕對空間這類事實上的假說作為這個理論的基礎。所以在牛頓的經典力學理論體系中，雖然系統地運用了公理化方法，但并不能稱其為真正意義上的公理體系［13］。公理化方法作為科學研究的一種基本方法，具有分析、總結經驗知識的作用。公理化方法對建立科學理論體系，訓練人的邏輯推理能力，系統地傳授科學知識，以及推廣科學理論的應用等方面都有積極作用。

上述公理化方法的內容可以安排在“理論力學”課程結束時講授效果更好。

三、引入哲學思想，樹立辯證的自然時空觀

力學中蘊藏著深刻的哲學思想，歷史上許多偉大的科學家就是偉大的思想家、哲學家。每一次科學史上的重大變革都意味著哲學思想的進步。亞里斯多德是古希臘偉大的哲學家、思想家、教育家，又是歷史上著名的科學家。他對運動和力的本質的錯誤結論統治世界近兩千年。羅素評價說：“他的權威性差不多始終是和基督教會的權威性一樣地不容置疑，而且他在科學方面如在哲學方面一樣，始終是對于進步的一個嚴重障礙?！弊?7世紀以來，幾乎每一種認真的知識進步，都必須是從攻擊某種亞里斯多德繁瑣的哲學思想解放出來，牛頓力學的形成更是如此。牛頓力學理論主要有三個方面內容：其一是牛頓運動定律及其萬有引力定律。其二是在牛頓運動定律及萬有引力定律基礎上演繹出的一系列結論及問題解決中的各種研究方法和思想方法。其三是絕對時空觀。

時間和空間是人們最為熟悉的經驗形式，人們的所有活動都在時間和空間中流逝。時間和空間又是最為古老、最難捉摸的哲學范疇，它與世界的本源問題相聯系。時空觀是關于時間和空間的根本觀點。它是哲學世界觀的重要內容和有機組成部分，是在人類長期的生產活動和生活實踐中形成的。在中國，墨家提出了“宇”“久”作為空間和時間概念，并認識到空間、時間與具體事物運動的一定聯系及空間與時間的一定聯系。在西方，古希臘謨克利特認為空間是物體運動的條件。亞里士多德用“地點”概念來表示空間，認為時間是連續的。近代時空觀是在自然科學發展的基礎上形成的。哥白尼的日心說為唯物主義時空觀的形成創造了條件。布魯諾、伽利略主張時間、空間是物質存在的絕對形式，并提出時空無限的思想。笛卡爾指出時間的特性是持續性，空間的特性是廣延性，認為廣延性是一切物體的共有屬性。

牛頓指出絕對時間、絕對空間的觀點，系統地闡述了機械唯物主義的時空觀。近代的唯物主義思想家貝克萊認為時間和空間是人的感覺的產物?？档抡J為時空是人們以整體感性材料的先天直觀形式。黑格爾則認為時間、空間是絕對觀念發展到一定階段的產物。近代唯物主義時空觀否認時間、空間的客觀性，但也包含著一些辯證法的合理成分。辯證唯物主義批判地繼承了以往各派哲學的時空觀，指出時間和空間是運動著的物質存在的基本形式，是物質固有的普遍屬性。時間和空間與運動著的物質是不可分的。辯證唯物主義承認時間和空間的客觀性、絕對性和無限性，同時又承認時間和空間的具體形態和具體特性具有多樣性、相對性和具體事物時空的有限性［14］。

牛頓力學三方面內容的每一方面都滲透著哲學的思想。萬有引力定律是客觀物質世界普遍聯系的定量體現。牛頓運動三定律和萬有引力定律即在此基礎上演繹出的一系列結論是科學方法論具體應用的結果。至于絕對時空觀，本身就是哲學問題，它是牛頓力學賴以存在的時空基礎，是宏觀低速條件下已被大量實踐所證實的經典力學所必需的。離開了絕對時間，自然界就沒有了統一的時鐘。離開了絕對空間，宇宙中就沒有了統一的尺度。牛頓力學的同時性也就無從談起。長度、時間、質量三個基本力學量都將依賴于參考系，導致廣泛應用于科學技術各個領域的牛頓力學失去時空依據。但是脫離宏觀低速的假定，牛頓的絕對時空觀就出現問題。

愛因斯坦對于經典力學的絕對時空觀提出質疑，給牛頓力學以開拓。提出了相對論原理和以相對論原理為基礎的相對時空觀，建立了相對論力學。牛頓力學與相對論力學相互交融，絕對時空觀作為狹義相對論特例存在于相對論時空之中，狹義相對論的四維閔氏空間是絕對時空觀三維歐式空間在繼承基礎上的改造。相對論力學是對牛頓力學理論的包容和發展，兩者之間構成普遍性和特殊性的關系。愛因斯坦自我評價說：“與其說我是物理學家，不如說我是哲學家?！?/p>

在絕對時空觀中，運動和靜止本來是相對而言的，沒有被認為是“靜止”的標準，就沒有“運動”的概念。運動速度為零的參考系就可以認為是靜止參考系。慣性系與非慣性系也是相對而言的，沒有“慣性系”作為參考，就沒有“非慣性系”的概念。加速度為零的非慣性系就可以認為是慣性系。所以絕對時空觀也包含有相對性思想。應該承認，絕對時空觀僅是牛頓力學的時空信念，相對性思想才是牛頓力學的生命力和散光點［15－17］。

只有承認宏觀低速條件下絕對時空觀的正確性，站在跨學科層面開展教學，才能完成好時空觀的教學任務。

通過這種講授與介紹，學生開闊了思路，提升學科綜合素養，也會激發學生的探索和求知欲望。對培養辯證唯物主義的世界觀和方法論也大有裨益。

哲學思想的介紹和對比不應絕對受“理論力學”內容的限制。這種哲學思想可以貫穿于不同學科之間，對所有學科都有指導意義，在大學物理和“理論力學”教學中可做相互對比介紹。

四、引入數學工具，培養數學思維

牛頓以《自然哲學的數學原理》給經典力學命名，足以說明經典力學與數學的關系。

縱觀力學發展史，力學的發展與數學是分不開的，力學的發展是與數學同步的。有什么樣的力學就有什么樣的數學，許多力學家本身又是數學家，牛頓除了在經典力學方面的卓越貢獻外還發明了微積分。

“理論力學”是數學的一個組成部分，也是各種應用力學的基礎。它一般應用微積分、微分方程、矢量分析等數學工具對牛頓力學作深入闡述。由于數學更深入地應用于“理論力學”，才使其更加理論化。

數學是研究數量關系與空間形式的科學。它是科學的語言，是一切科學和技術的基礎。數學為“理論力學”提供描述物體運動現象與規律的語言與工具。反過來，“理論力學”也為數學概念的建立提供原形。事實上，數學中的不少概念首先是由力學家提出，然后再由數學家逐步嚴謹化。例如，牛頓與萊布尼茲分別從運動學和幾何學出發，各自獨立提出微積分。數學的分支矢量分析也是如此［14］。

根據數學與“理論力學”課程特點，可以在數學與“理論力學”教學中搭建一個橋梁，使學生從可能熟悉的內容與經歷出發，以便跟他們已有的知識結構聯系起來，這應是教師重點研究的問題。新的內容的提出應該有的放矢，與實際的應用有關，并與已有的知識結構聯系起來，而不是僵硬地提出來。如果學生能看到他們先前已掌握的知識或理論有用，可以用來演繹、推理新課程的命題，他們就會更加有積極性。這樣學生才會強烈主動地去學，并自主填補知識的空白。

桁架是工程中應用廣泛的一種結構，也是“理論力學”靜力學部分一個教學內容［18］。桿件軸線都位于同一平面內的桁架，稱為平面桁架。平面桁架可按下述方法組成：以三根桿用三個鉸鏈連接的三角形為基礎，這個三角形稱為基本三角形，如圖1a所示。以后每增加一個節點，相應增加兩根不在同一直線上的桿件，它們與原幾何圖形的兩個節點或一根桿，又構成一個新的三角形如圖1b所示。依此類推就構成了一個幾何形狀不變的結構，這個結構就是一個簡單的平面桁架，如圖1c。

按照上述構成規律，從基本三角形出發，以后增加的桿數總是新增節點數的兩倍，因此，平面簡單桁架的節點數n與桿數m之間存在如下關系

關系式（11）是一個典型的數列問題。一般教材上都是直接給出表達式后再加以說明，沿襲的是典型的演繹式教學方式。學生總有“知其然，不知其所以然的混沌狀態”。筆者經過多次教學實踐，在此引入數學歸納法開展教學，解決了學生的困惑，也收獲了研究性教學的樂趣。

下面用數學歸納法證明式（5）。

（1）當m＝n＝3時，對應基本三角形，將m＝n＝3代入式（5），有3＝3恒等式，命題式（11）自然成立。

（2）設n＝k（k＞3的整數）時，命題式（5）成立。即

將n＝k＋1代入式（11），得

式（7）說明，在k個節點基礎上再增加1個節點，桿件數就要增加2。

綜合（1），（2）兩個步驟，由數學歸納法知，命題式（5）成立。

動力學是“理論力學”的一部分。韋達定理在動力學特征值反問題中有精彩應用。

已知振動系統的幾何參數與物理參數，求振動系統的固有頻率，為動力學正問題。已知振動系統的固有頻率和部分物理參數，求振動系統的剩余參數，為動力學逆問題。動力學逆問題難度大，應用廣。下面是筆者研究性教學實踐涉及動力學逆問題的一個例子。

圖2a所示為兩自由度無阻尼自由扭轉振動系統，I1和I2代表兩個集中質量的轉動慣量，K1和K2代表兩個軸段的線性扭轉剛度，軸段的軸段的質量忽略不計，求系統的固有頻率，這是動力學正問題［19］。

按線性振動理論的剛度法，可得系統的轉動慣量矩陣和剛度矩陣。

對應特征值問題為

式中α代表扭振角位移列陣。

系統的特征值可轉化為下面矩陣的特征值：

令上式矩陣對應的行列式等于零，可得

式（11）是關于系統固有頻率λ2的一元二次方程，按照一元二次方程根與系數關系，即韋達定理，可得系統固有頻率與物理參數之間的關系：

若已知系統的固有頻率λ12和λ12，求系統的物理參數，就屬于動力學逆問題。這是筆者在工程力學教學中引入的研究性學習課題之一。它是一個開放性課題，沒有現成答案。學生必須在研究性學習過程中主動獲取知識，綜合應用知識，通過探究性、互動性學習過程，才有可能解決問題。經過幾輪研究性教學與學習實踐，我們巧妙解決了此問題。結果敘述如下。

若已知系統的固有頻率λ12和λ22及其中I1、I2、K1、K2四個物理參數中的一個，求系統的其余3個物理參數，要應用式（12）和式（13），2個方程3個未知量，從數學上講是無確定解的。如何根據振動系統的力學模型和數學方法之間的關系，解決上述問題，需要教師與學生的運用智慧，建立合理的補充方程。

將圖2a中I固定，則系統變成單自由度振動系統，如圖2b所示。此時系統的固有頻率為

將式（14）代入式（12）和式（13），得

分析式（15），只需知道I1、I2、K1、K2四個物理參數中的一個，便可以由式（15）求出系統其余的三個物理參數。

應用一元二次方程根與系數的關系－韋達定理，將力學模型與物理概念結合，創造性的引入補充方程，解決單純從數學或力學均不能解決的動力學逆問題，這是初等數學與動力學在研究性教學中完美結合。

牛頓從運動學角度發明發明微積分，運動學是“理論力學”的一部分。微積分在“理論力學”中的應用廣泛?！袄碚摿W”是高等數學的直接用戶，高等數學的概念滲透到“理論力學”的每一部分。例如，運動學中的速度、加速度的引入過程。動力學中虛位移原理、動力學普遍方程和拉格朗日方程的導出等。“理論力學”教學離不開數學，“理論力學”回饋數學的也很豐厚。首先學生在“理論力學”的學習中看到數學的應用前景，可以了解深邃的數學意境，進一步了解具有豐富內涵和高度概括力的數學語言。

協調數學與“理論力學”的沖突，使用更加適合的教材，對教學內容進行重構，使用更恰當的教學方法，也只能說解決了表面的問題，更深層次的問題是關于數學思想與力學思想的水乳交融問題。

五、引入物理思維方法，促進學科交叉發展

物理是研究物質結構、物質相互作用和運動規律的自然科學，是人們對無生命自然界中物質的轉變的知識做出規律性的總結。物理作為自然科學的重要分支，不僅對物質文明的進步和人類對自然界認識的深化起了重要的推動作用，而且對人類的思維發展也起到了不可或缺的影響。從亞里斯多德時代的自然哲學，到牛頓時代的經典力學，直到現代物理中的相對論和量子力學等，都是物理學家科學素質、科學精神及科學思維的有形體現。大學物理是理工科專業開設的一門公共基礎課，涉及的學科專業廣，人數多，且與后續對接的課程多，“理論力學”是大學物理的同步課。

在學習“理論力學”之前，學生基本力學知識是建立在初等數學基礎之上。而大學物理課程中的基礎力學知識，從某種意義上講，在于強調力學在物理學發展史上的地位，且“力”的概念早已滲透到物理的更多領域（如電磁力學、熱力學、量子力學、機電系統動力學）。另外從物理的發展角度看，牛頓力學、愛因斯坦相對論、普朗克量子力學步步發展構成了物理學的理論精華，且它們對人類思想的進步產生了巨大的推動作用。但是隨后物理側重于研究熱、電、磁、分子和原子等的運動，而力學則在工程技術的推動下按自身的邏輯發展，逐步從物理學中獨立出來，直接服務于工程學。其分析方法、理論體系成為工程的支撐。這樣大學物理課程無論在力學基礎知識的系統論述方面或是在力學知識工程應用方面都沒有做更多的安排，這一任務正好由“理論力學”完成。

另外，在強調“理論力學”與物理學的關系上，兩者既相互獨立又相互聯系。從學科滲透與融合的角度開展教學，“理論力學”與大學物理是最佳組合。

下面是筆者將經典力學拉格朗日方程與大學物理的基爾霍夫定律結合，開展跨學科研究性教學的教學實踐，得到推廣形式拉格朗日麥克斯韋方程的又一推廣形式。

1873年麥克斯韋在他的電與磁的論文中，應用拉格朗日方法，第一次描述了機電系統的運動方程。經典的拉格朗日麥克斯韋方程是基于電場能We和磁場能Wm線性情況下得到的。文獻［20］推廣了經典的拉格朗日麥克斯韋方程，使其適用于磁路非線性特點。無論是經典的拉格朗日麥克斯韋方程，還是其推廣形式，均是以電荷、電流、位移、速度作為廣義坐標。突破了在機電系統動力學建模中均以電荷量、電流、位移、速度作為廣義坐標的理論思維定式，是機電系統動力學理論發展的需要。

從動力學角度分析，可以把機電耦合系統看成由許多相互連接并受到一定約束力的質點或元件所構成。當機電耦合系統中存在電容、電感等元件時，可以選電荷、電流作為電系統部分的廣義坐標，來建立機電耦合系統的運動方程。經典的拉格朗日麥克斯韋方程都是基于此建立的。若將電荷改為電容器兩端電壓作為廣義坐標，其系統的運動方程形式如何［21］？這就是我們開展“理論力學”跨學科教學的最佳切入點。

對于具有集中參數和元件的機電耦合系統，運動方程通常由兩部分組成：一組是電路方程；一組是機械方程。下面選取電壓、磁鏈作為機電耦合系統電部分的廣義坐標，推導系統的運動方程，推導過程參見文獻［21］。

這部分內容是筆者在“理論力學”和機電系統動力學教學與研究中得到的理論研究成果，說它具有偶然性，是因為只有從事“理論力學”與機電系統動力學教學與研究的人才可能得到機電耦合系統的運動方程。筆者認為偶然性的背后存在必然，只要在在教學與研究中注意學科的交叉滲透與融合，就會取得好的教學效果，就會在交叉邊緣學科有所建樹。機會成就有心的人，把握住機會就成功了一半，偶然的東西帶給我們的可能就是靈感和機遇，所以說偶然性是科學的朋友。

六、“理論力學”自由度概念在物理化學中的遷移

物理化學又叫理論化學，是化學學科的一個分支。物理化學的先導課程是高等數學、大學物理和“理論力學”。對于以物理化學為后續課程的基礎課教師要特別注意施教對象的專業特點?！袄碚摿W”與物理化學的一個重要聯系時吉布斯相律［22］，它表述為：“只受外界溫度和壓力影響的相平衡系統，其自由度數目等于組分數減去平衡的項數加2。”用公式表示為

式中f表示相平衡系統的自由度數；φ表示相平衡系統的相數；k表示相平衡系統的組分數；2代表相平衡系統溫度和壓力2個變數。

吉布斯相律看似簡單，它幾乎成為物理化學最難理解內容，它還是處理相平衡問題的核心理論。關于吉布斯相律講授策略，仁者見仁，智者見智。筆者認為需要公共基礎課與物理化學課教師的共同智慧。只要教師從學生的認知結構出發，通過相關知識的拓展或遷移，還是可以巧妙解決的。

根據數學知識，對于一個數學系統，獨立變量數等于總變量數減去平衡條件的限制數。

用公式表示為

式中f表示獨立變量數，即自由度數；m表示總變量數；p表示平衡條件的限制數。

數學系統是一個廣義系統，它可以是數學系統本身，也可以是力學系統、生物系統、化學系統，以及更為復雜的社會系統。上述式（17）表述應用于“理論力學”的非自由質點系動力學，就有如下表述：

對于具有n個質點和k個幾何約束的力學系統，描述這個系統的獨立變數的個數，即自由度數f等于3n減去l，即

式中f表示自由度數；3n表示總變量數，n為質點個數；l表示幾何約束數。

對于以物理化學為核心課程的學生來講，式（17）、式（18）是其已經掌握的知識，式（16）是在已有的知識結構上要學的新知識。可以通過式（17），（18）兩條途徑，將自由度概念遷移拓展至式（16）。

從式（17）出發，對于一個只受外界溫度和壓力影響的相平衡系統，將組分數k與溫度和壓力兩個變數之和看做系統的總變量數，將相數φ看做平衡條件的限制數就自然得到式（16）。

從式（18）出發，非自由n質點力學系統總變量數為3n，對應相平衡系統組分數k與溫度和壓力兩個變數之和；幾何約束數l對應相數φ。依此對應關系就自然得到式（16）。

如果物理化學課教師掌握數學和“理論力學”相關知識，并將不同學科相關自由度方面知識進行融合與滲透，吉布斯相律不用講解就可以觸類旁通，反之，對于教授以物理化學為后續課程的“理論力學”或大學物理課教師，在講授有關自由度內容時應主動聯系吉布斯相律，說明自由度概念可以在物理化學中得到遷移和拓展。這樣既能大大節約學時，給學生以自主學習時間，又能取得好的教學效果。

七、“理論力學”模型在骨傷科學中的應用

Sastry曾對創傷人員進行調查，分析了87174例樣本，發現頜面部創傷率占34%［23］。頜面部結構復雜，提高臨床救治水平和增強醫療防護手段的一個重要內容是加強對頜面部損傷機制的研究。薄斌在頜面骨損傷研究方面取得進展，文中用模態分析的方法建立人顱頜面骨骼系統的動力學模型。通過互易性驗證，表明離體顱骨滿足線彈性假設。通過對實驗數據回歸分析，求出顱骨前4階模態動力學參數，建立了頜面骨骼系統動力學模型。應用此模型還可以進行各種撞擊條件的仿真實驗。［24］

遠端骨折多數由間接暴力跌傷所致。從跌傷的體位分析，可以將其分為伸直型和屈曲型兩種。文獻［25］以跌傷時橈骨遠端伸直型為例對橈骨進行了力學分析。

取橈骨為研究對象，伸直位跌傷時橈骨受力有：地面對人體的反沖力經腕關節對其的作用力N，方向偏向背側上；肘以上部分身體通過肱橈關節對其的作用力F，方向偏向背側下，在橈骨的重心c處，作用有慣性力－ma，方向偏向掌側下。在跌地后尚未發生骨折瞬間，在忽略橈骨重力條件下，可以將橈骨視為平面匯交力系，根據達朗伯原理和牛頓第二定律，可以列出橈骨的動力學平衡方程。文中還利用截面法分析了橈骨遠端伸直型骨折骨折端的錯動趨勢為遠端近掌。

八、結論

在“理論力學”緒論課教學中引入經典力學發展史，使學生受到勵志與創新教育。根據講授內容的需要主動引入科學方法論，進行針對性教學，培養學生綜合能力。絕對時空觀是“理論力學”的基石。引入哲學思想和愛因斯坦的相對時空觀進行主題教學，使學生樹立辯證的自然時空觀。根據“理論力學”與數學的特點，在“理論力學”與數學教學中搭建一個橋梁，使數學思想與力學思維有機結合。在“理論力學”動力學部分引入研究性教學方法，提出科學技術中涉及交叉學科的問題，開展研究性教學。并將自由度概念遷移拓展至物理化學吉布斯相律教學。

以上從“理論力學”與科學史、科學方法論、哲學、數學、物理、化學的相關內容出發，敘述“理論力學”教學中的學科滲透與融合，提出的基于“理論力學”跨學科問題式教學模式。“理論力學”是理工科學生的必修課，開展跨學科教學，學生受益面大。提出的基于“理論力學”跨學科問題式教學模式，會對“理論力學”教學改革與復合型人才的培養起到推動作用，同時對其他學科的跨學科教學也會有引領和示范作用。

“理論力學”問題與其他學科的全方位碰撞，還會產生新的理論方法。為了在有限的課堂教學中獲取更高的教學效益，除“理論力學”的教學內容要改革外，跨學科的教學研究更需要加強，以便課程能有機的結合起來。只有我們站在一個更高的層面上，也就是站在跨學科層面上來看待這個問題，這個問題才能得到解決。

［1］顧海良.推進跨學科研究破解重大理論和現實問題［N］.光明日報，2010－02－09.

［2］羅衛東.跨學科社會科學研究：理論創新的新途徑［J］.浙江社會科學，2007（2）：35－41.

［3］黃新華.跨學科研究中的問題意識［N］.光明日報，2011－03－29.

［4］Barr R.From teaching to learning－a new paradigm for undergraducate education［J］.Change，1995（6）：13－24.

［5］David Kember，Lyn gow.Orientation to teaching and their effect on the quality of student learing［J］.Journal of Higher Education，1994，65（1）：58－73.

［6］南京工學院.理論力學［M］.北京：高等教育出版社，1986.

［7］王東云，楊光弟，黃銻儒.大學物理教學的學科滲透［J］.高師理科學刊，2009，29（4）：91－93.

［8］張凌.工程力學課程設置與教材建設的再認識與再思考［J］.中國大學教學，2009（1）：55 －57.

［9］郭定和.大學物理課程跨學科教學研究與實踐［J］.物理通報，2005（7）：23 25.

［10］陳詩谷.數學大師啟示錄［M］.北京：開明出版社，2005.

［11］汪家訸.分析力學［M］.北京：高等教育出版社，1980.

［12］張速.科學方法論在理論力學教學中的綜合應用［J］.合肥師范學院學報，2010，28（3）：49－51.

［13］胡百鳴，龔相超.淺議大學物理與理論力學靜力學的兩個問題［J］.高等函授學報，2004，17（6）：27 －29.

［14］楊志安，辛靜，李高峰.力學教學中向量的導入與應用［J］.唐山學院學報，2010，23（6）：3－7.

［15］曾慶發.馬克思哲學時空觀芻議［J］.湖北師范學院學報，2004，24（3）：33－36.

［16］劉鳳英，陳惟蓉.以唯物辯證思想滲透物理教學［J］.清華大學教育研究，1999（3）：136 －138.

［17］董萍，陶蕊.理論力學教學中的幾點思考［J］.合肥師范學院學報，2010，28（3）：43－45.

［18］楊志安，李高峰，賈培強.基于數學歸納法的工程力學教學實踐［J］.唐山學院學報，2010，23（3）：1－3.

［19］楊志安.雙質量扭振系統特征值反問題［J］.唐山高等?？茖W校學報，2001，14（2）：1－2.

［20］YANG Zhi－an，LI Wen－lan，QIU Jia－jun，et al.Lagrang－Maxwell Equation and Magnetic Saturation Parametric resonance of generator set［J］.Applied Maths and Mech，2007，28（11）：1545 －1553.

［21］楊志安.基于磁鏈和電壓為廣義坐標機電耦合系統動力學方程［J］.工程力學，2012，28（5）：189－192.

［22］陳丙義，鄭海金.物理化學［M］.徐州：中國礦業大學出版社，2010：106 114.

［23］Sastry S M，Sastry C N，Paul Bk.Leading cause of facial trauma in the major trauma outcome study［J］.Plast Reconstr Surg，1995，95：196－197.

［24］薄斌，周樹夏，白西剛.用模態分析法建立人顱頜面骨骼系統動力學模型［J］.中華創傷雜志，2000，16（12）：716－718.

［25］程方榮，王學昌，王健智.橈骨遠端骨折的生物力學分析［J］.中醫正骨，2001，13（2）：43－44.