兩類多項式微分系統的可積性問題

桑 波

(聊城大學 數學科學學院，聊城252059)

0 引言

在常微分方程定性理論中，焦點量與鞍點量是兩類重要的奇點判定量．形式冪級數法作為計算這兩類判定量的理論方法，在實際應用中效率普遍不高．劉一戎、陳海波［1］基于奇點量與焦點量、鞍點量的代數等價關系，給出了奇點量的線性遞推公式，從而避免了復雜的非線性代數方程組的求解．王東明［2］在形式冪級數法的基礎上，通過反復使用偽除法有效地提高了焦點量的計算效率．

考慮平面微分系統

對于系統(1)，總存在形式冪級數

使得

其中Ws稱為系統(1)在原點的第s階奇點量．

設n為任意給定的自然數，對(2)式中間部分合并同類項得:

其中 Vn，fl，j，f2n+2，j都是關于諸參數 ak，j，bk，j和諸變量 Bk，j的多項式，且關于諸變量 Bk，j是線性的;h．o．t．表示2n+3次以上的項．

根據［7］的消元技巧，先指定諸變量 Bk，j的次序;再將諸 f2n+2，j，fl，j適當整序得到關于諸變量 Bk，j的三角列TSn;最后求多項式Vn+v關于三角列TSn的偽余式Rn，則第n階奇點量Wn滿足－v，其中coeff(Rn，v)表示多項式Rn關于v的一次項系數，v為臨時引進的變量．由于奇點量序列W1，W2，…，Wn通常非常復雜，在具體應用時需要約化．即求諸 Wk(2 ≤k ≤n)相對于多項式組 W1，W2，…，Wk－1的 Gr?bner基［8－9］的余多項式 W1k，從而得到約化奇點量序列

考慮右端函數為n次多項式的二維微分自治系統

定義1［10］設f(x，y)是一個m次多項式，如果存在多項式h(x，y)，使得

則稱f=0是系統(3)的m次不變代數曲線，并稱f是系統(3)的代數積分，h稱為f的余因子．

注 由上面的定義，多項式f是系統(3)的代數積分的充要條件是在純字典序plex(x，y)下，)關于f的余式R≡0．

引理1［10］設f1，f2，…，fm是系統(3)的m個獨立的代數積分，滿足

如果存在一組不全為零的復常數 α1，α2，…，αm，使得

則 f=fα11fα22…fαmm是系統(3)的一個 Darboux 積分因子．

引理2［11］系統(1)在原點可積的充要條件是該系統具有形式首次積分

1 一類復三次系統的可積性條件

考慮一類復三次系統

利用引言給出的奇點量計算方法，求得系統(4)的前7階約化奇點量:

定理1 系統(4)在原點可積的充要條件是下列6組條件之一成立:

(1)b1=b2=b4=b5=b6=0;

(2)b2=b4=b6=0，b3=

(3)b4=0，b1

(4)b1=b3=b4=b6=0，b5=

(5)b7=0，b6= －b2b3;

(6)b1=

證明 必要性首先計算系統(4)的前7階奇點量的約化Gr?bner基G;然后對多項式組G進行零點分解，共得到6組獨立的系數條件．

充分性 當條件(1)成立時，系統(4)變為:

當條件(2)成立時，系統(4)變為:

當條件(3)成立時，系統(4)變為:

系統(7)以μ3x，(y)=e為積分因子，因此系統(7)在原點可積．

當條件(4)成立時，系統(4)變為:

當條件(5)成立時，系統(4)變為:

假設系統(9)具有形如F(x，y)=∑∞n=1vn(y)xn的形式積分，則有遞推公式

令v－2(y)=v－1(y)=v0(y)=0，通過逐項求解并適當選取積分常數，依次得到:

通過數學歸納法和遞推公式，不難證明vn(y)可具有如下形式:

其中Pn(y)為次數為n的多項式．所以系統(9)具有形式首次積分，從而由引理2，系統(9)在原點可積．

當條件(6)成立時，系統(4)變為:

2 一類復四次系統的可積性條件

考慮一類復四次系統

利用引言給出的奇點量計算方法，求得系統(11)的前8階約化奇點量:

定理2 系統(11)在原點可積的充要條件是下列兩組條件之一成立:

(1)b7=0， b6=－b2b3;

(2)b1=b2=b3=b4=b5=b6=0．

證明 必要性 首先計算系統(11)的前8階奇點量的約化Gr?bner基G;然后對多項式組G進行零點分解，共得到兩組獨立的系數條件．

充分性 當條件(1)成立時，系統(11)化為

假設系統(12)以 F(x，y)= ∑∞n=1vn(y)xn為形式首次積分，則有遞推公式

令v－3(y)=v－2(y)=…=v0(y)=0，通過逐項求解并適當選取積分常數，依次得到:

其中

通過數學歸納法和遞推公式，不難證明vn(y)可具有如下形式:

其中Pn(y)為次數為n的多項式．所以系統(12)具有形式首次積分，從而由引理2，系統(12)在原點可積．

當條件(2)成立時，系統(11)化為

假設系統(13)以 F(x，y)= ∑∞n=1v4n－3(y)x4n－3為形式首次積分，則有遞推公式

令v－3(y)=0，通過逐項求解并適當選取積分常數，依次得到:

通過數學歸納法和遞推公式，不難證明當n＞1時，v4n－3(y)可具有如下形式:其中Pn－2(y)為次數為n－2的多項式．所以系統(13)具有形式首次積分，從而由引理2，系統(13)在原點可積．

［1］CHEN H B，LIU Y R．Linear recursion formulas of quantities of singular point and applications［J］．Applied Mathematics and Computation，2004，148(1):163 －171．

［2］WANG D M．Mechanical manipulation for a class of differential systems［J］．Journal of symbolic computations，1991，12(2):233－254．

［3］劉一戎．一類三次系統的奇點量公式和可積性條件，M(3)≥7［J］．科學通報，1989，34(17):1299－1301．

［4］ROMANOVSKII V G，SHCHEGLOVA N L．The integrability conditions for two cubic vector fields［J］．Differential Equations，2000，36(1):108 －112．

［7］楊路，張景中，侯曉榮．非線性代數方程組與定理機器證明［M］．上海:上海科技教育出版社，1996．

［8］劉木蘭．Gr?bner基理論及其應用［M］．北京:科學出版社，2000．

［9］桑波．兩類三次微分系統的中心焦點問題［J］．南京師范大學學報:自然科學版，2012，35(2):16－21．

［10］劉一戎，李繼彬．平面向量場的若干經典問題［M］．北京:科學出版社，2010．

［11］MATTEI JF，MOUSSU R．Holonomie et intégrates premières［J］．Ann Sci Ecole Normale Superieure，1980，13(4)，469－523．