分支井筒穩(wěn)定的塑性力學模型及分析

張廣清

(中國石油大學石油工程學院，北京 102249)

多分支井起源于20世紀30年代，1953年在蘇聯(lián)用渦輪鉆具鉆成第一口分支井，隨后逐步推廣到中東、南美、歐洲與亞洲［1］。國內(nèi)外學者對分支井井壁穩(wěn)定問題展開了廣泛研究，Aadn?y［2］和 Hoang［3］分別提出了分支井的二維與三維模型;Manriquez［4］、Fuentes［5］和 Manríquez［6］等運用有限元方法模擬了裸眼條件下分支井連接井段的穩(wěn)定問題，Liu等［7］還考慮過地層流體作用。針對現(xiàn)有研究的不足，筆者考慮地層、水泥環(huán)和套管的彈塑性模型差異，建立彈塑性有限元模型，以中國東部油田的地應力特性為基礎，分析不同分支井方位對井壁穩(wěn)定性的影響。

1 分析模型

基本假設:① 巖層均質(zhì)且各向同性;② 僅考慮應力場影響，不考慮溫度場和滲流場影響;③ 不考慮材料的蠕變效應。

1.1 材料模型

介紹有關模型的基本控制方程方面的材料很多，Zienkiewicz等［8］結(jié)合有限元方法進行了全面討論。本文中重點介紹使用的塑性模型，水泥環(huán)采用混凝土損傷塑性模型(CDP模型)，地層采用M-C塑性模型，套管采用Tresca彈塑性模型。水泥混凝土的塑性和脆性是材料兩個方面的性質(zhì)，采用的損傷塑性模型包含了低圍壓下的脆性和高圍壓下的延性特征。

(1)水泥環(huán)的混凝土損傷塑性模型(CDP模型)。CDP模型采用的是 Lubliner［9］提出的、由 Lee和Fenves［10］修正的屈服函數(shù)。用有效應力表示的屈服函數(shù)形式為

模型破壞包絡線如圖1所示。CDP模型采用各向同性損傷彈性和各向同性拉伸壓縮塑性表示混凝土的非彈性行為［11］。兩種破壞方式為拉伸破裂與壓縮破壞，屈服面的變化規(guī)律主要由硬化參數(shù)和決定。

圖1 混凝土破壞包絡線Fig.1 Envelope of concrete failure

CDP模型可表示壓縮和拉伸的塑性特征。圖2為CDP模型的應力應變特征曲線。圖2中OABI段為受拉屈服條件下的應力應變曲線，σto為無損傷條件下的抗拉屈服值，E0為無損傷條件下的彈性模量;左側(cè)OK段虛線為無損傷前單軸受壓條件下的應力應變曲線;BCEF段為受拉損傷后卸載并單軸加壓條件下的應力應變曲線;FGH段為二次受壓損傷后卸載并單軸受拉條件下的應力應變曲線。其中dt和dc分別為受拉損傷值與受壓損傷值，它們是塑性應變、溫度、與場變量的函數(shù)，當dt和dc的數(shù)值為0時，說明材料無損傷，當數(shù)值為1時，說明材料已經(jīng)破壞;wt和wc分別為受拉和受壓的剛度恢復值，它們是塑性應變、溫度、與場變量的函數(shù)，當wt和wc的數(shù)值為0時，說明材料無任何剛度恢復，外載在拉壓轉(zhuǎn)換時彈性模量不會恢復到E0，當數(shù)值為1時，說明材料的彈性模量恢復到E0。

圖2 CDP模型應力應變曲線Fig.2 Stress-strain curve of CDP model

(2)地層的MC塑性模型，

式中，σ1和σ3分別為最大和最小主應力，Pa;C為黏聚力，Pa;φ 為內(nèi)摩擦角，(°)。(3)套管的理想彈塑性模型，

式中，σs為材料屈服應力，Pa。

通過API規(guī)范得到套管和水泥環(huán)的彈性參數(shù)，通過力學參數(shù)測試得到地層巖石參數(shù)和水泥環(huán)的壓縮和拉伸塑性損傷參數(shù)。

J55套管彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，屈服應力為379 MPa;水泥環(huán)彈性模量為30 GPa，泊松比為 0.2，膨脹角 50°，Kc=1/3，fb0/fc0=1.15，其他材料參數(shù)見表1;地層彈性模量為11.1 GPa，泊松比為0.3，摩擦角為14.4°，黏聚力為34.8 MPa。

表1 CDP模型屈服參數(shù)Table 1 Yield parameters of CDP model

1.2 幾何模型

由TAML分級體系［12］可知，從二級完井分支井開始，主井眼采用的都是固井完井，而國內(nèi)外對二級以上分支井井身結(jié)構(gòu)的認識不同，主要為兩種結(jié)構(gòu)形式［13］:①預留窗口式，分支井眼一般較小，多采用Φ 244.5 mm套管預留 Φ 114.3 mm窗口，鉆 Φ 107.9 mm分支井眼;②套管側(cè)鉆式，主井眼Φ 339 mm，Φ 244.5 mm套管側(cè)鉆Φ 215.9 mm井眼，下Φ 139.7 mm套管。國內(nèi)多采用后者，本文分析采用第二種井身結(jié)構(gòu)設計。

進行非均勻地應力作用下的井壁穩(wěn)定性分析時，由于同時考慮支井方位與應力夾角變化，因此一般采用長方體外部邊界［5，14］，見圖3。這樣在三個相互垂直的矩形面上施加遠場地應力，井壁上施加鉆井液壓力。支井方位變化后，幾何模型變化，對應的網(wǎng)格也發(fā)生變化。這樣每個支井方位的計算結(jié)果之間會存在模型網(wǎng)格差異造成的誤差。一般將網(wǎng)格加密可減小網(wǎng)格引起的誤差，但采用彈塑性計算模型會使計算時間大大增加。為此提出基于坐標變換的方法，采用圓柱狀的幾何外部邊界，在外邊界上施加變換后的應力分量。這樣對不同的支井方位情況可以保持劃分的網(wǎng)格不變，僅通過平面坐標變換獲得新坐標系下應力分量值。只改變施加在柱狀外表面的應力分量的大小和方向，消除不同支井方位情況下網(wǎng)格變化引起的誤差，

式中，γ為分支井方位角(分支井水平投影與水平最大主應力夾角)，(°);角標x、y表示轉(zhuǎn)換前坐標系下參量;角標x'、y'表示轉(zhuǎn)換后坐標系下參量。

考慮到邊界效應的影響，模型整體高10 m，直徑3 m，分支井的初始造斜角為3°，圖4為建立的圓柱狀幾何模型。

圖3 分支井有限元幾何模型的長方體外部邊界Fig.3 Finite element geometry model of branch well with cuboid outer boundary

圖4 分支井有限元幾何模型的圓柱狀外部邊界Fig.4 Finite element geometry model of branch well with cylindrical outer boundary

1.3 地應力條件

地應力是油田開發(fā)和鉆井方案設計的基礎數(shù)據(jù)，也是影響井壁穩(wěn)定的一個重要因素。葛洪魁等［15］根據(jù)渤海灣盆地油田水力壓裂地應力測量資料，對地應力測量數(shù)據(jù)按深度進行線性回歸，得到了中國東部油田的地應力分布規(guī)律，總體上三個主應力滿足 σH＞σV＞ σh，σH、σh和 σV分別為最大、最小水平地應力和垂向地應力，MPa。通過式(2)可以獲得分支段的初始地應力條件。

2 結(jié)果分析

根據(jù)材料彈塑性模型，輸入對應的初始地應力條件、材料參數(shù)以及幾何參數(shù)，通過數(shù)值軟件Abaqus大量計算，可以獲得模型的位移、應力和應變分布。通過分析當量應力和當量塑性應變，得到支井連接段各個位置的破壞情況，分析各因素對分支井井壁穩(wěn)定性的影響。

主要分析分支井方位對分支井穩(wěn)定性的影響。假定沿最大水平地應力方向支井方位角為0°。圖5為支井方位角為45°情況下的整個模型、地層、套管、水泥環(huán)以及分支井井壁的位移、等效應力和塑性屈服區(qū)的分布。

圖5 支井方位角為45°時模型的部分計算結(jié)果Fig.5 Calculation results of numerical model of branch well azimuth angle 45°

從圖5可以看出，支井的存在使模型的位移、應力應變分布非常復雜，但各個量的最大值均在支井連接部位或鄰近部位。因此，采用水泥環(huán)-地層-套管作為整體研究對象分析支井井壁穩(wěn)定性十分必要。

2.1 不同支井方位下的等效應力分布

等效應力即Mises應力，其最大值可以表示模型各位置處發(fā)生塑性變形或破壞的趨勢和相對大小。假設其他參數(shù)保持不變，隨著支井方位變化，水泥環(huán)-井壁-地層上的等效應力最大值的大小和位置也在不斷變化，說明分支井失穩(wěn)的規(guī)律受支井方位的影響。此處由于套管的強度遠高于水泥環(huán)和地層，暫不討論套管上的等效應力。

圖6為不同支井方位下地層中等效應力分布。由圖6看出，隨著支井方位角增加(即由水平最大地應力方向逐漸變化到水平最小地應力方向)，等效應力的分布及最大值位置隨之變化。支井方位角小于15°時最大等效應力在水平最小地應力方向上，即主井筒發(fā)生井壁失穩(wěn)的趨勢更大。當支井方位角達20°后，最大等效應力的位置由主井筒的水平最小地應力方向轉(zhuǎn)移到分支井筒的連接部位下部，即支井筒發(fā)生井壁失穩(wěn)的趨勢更大。隨著支井方位的增加，等效應力的最大值增大，表明隨支井方位接近水平最小地應力方向，支井井壁失穩(wěn)的趨勢增加。圖6表示的等效應力分布隨支井方位的變化僅為變化趨勢，無法表示具體數(shù)值的變化。圖7為等效應力的最大值隨支井方位的變化曲線。支井方位角的變化為5°，共有19種情況。將水泥環(huán)、地層和支井井壁上的等效應力最大值隨支井方位的變化劃分為5個階段:

(1)當方位角小于15°時，水泥環(huán)、地層和支井井壁上的最大等效應力變化不大，且水泥環(huán)最大等效應力值大于地層和支井井壁的。從圖6可知，此時地層的最大等效應力位置在主井筒的最小地應力方位上，因此支井井壁不會發(fā)生破壞。

(2)當方位角為15°～20°時，水泥環(huán)上的等效應力最大值減小，而地層和支井井壁上的等效應力最大值增大，且二者值逐漸接近。最大等效應力位置發(fā)生改變，轉(zhuǎn)移到分支井連接處下部位置。

(3)當方位角為20°～35°時，分支井壁與巖層的最大等效應力變化趨勢曲線基本重合，說明此時井壁上最大應力位于巖層上。

(4)當方位角為35°～40°時，水泥環(huán)上等效應力最大值增加速度加快，與支井井壁上的等效應力最大值重合，而地層中等效應力的最大值增加幅度減小，從與支井井壁的等效應力的最大值重合變?yōu)樾∮谄鋽?shù)值。

(5)當方位角為40°～90°時，分支井壁與水泥環(huán)的最大等效應力變化趨勢曲線完全重合，說明此時井壁上最大等效應力位于水泥環(huán)和支井井壁上。因此支井方位大于35°以后，最大等效應力位于分支井壁和水泥環(huán)，水泥環(huán)可以采用強度較高的材料，因而支井井壁發(fā)生破壞的趨勢增加。

圖6 地層最大等效應力分布Fig.6 Distribution of the maximum equivalent stress in rock

圖7 最大等效應力隨方位角的變化Fig.7 Variation of the maximum equivalent stress with azimuth angle

當方位角小于15°時，地層與水泥環(huán)最大等效應力位于主井筒上，這有利于分支井井眼穩(wěn)定;隨著方位角的增加，分支井井眼趨向于不穩(wěn)定;當方位角為75°時，等效應力最大值位于分支井井壁上，不利于井壁穩(wěn)定。

2.2 不同支井方位下的套管變形

由于套管的力學性能比地層和水泥環(huán)高出很多，分支井鉆進過程中一般沒有必要討論套管的破壞問題。但套管對主井筒起到顯著的支撐作用，使得支井鉆進過程中地層和井筒的穩(wěn)定性增強，尤其是對于分支井井壁穩(wěn)定方面。

分支井鉆井時在套管上形成不規(guī)則側(cè)向開窗，該部位套管的應力集中增加，變形量也增加。套管開窗部分的變形量過大會造成鉆進過程中套管局部破壞，影響正常鉆進過程。

圖8為不同支井方位下的套管開窗部位的變形。可以看出，套管變形量最大的位置在開窗部位的下端，該位置窗口的曲率半徑小，應力集中程度大。當支井方位角為0°和90°時，變形關于開窗對稱，隨著支井方位變化，套管變形分布和最大值也發(fā)生變化。

圖8 套管的位移云圖Fig.8 Displacement distribution of casing

圖9 最大位移隨方位角的變化Fig.9 Variation of the maximum displacement with azimuth angle

圖9為各部分變形量(位移)最大值隨支井方位的變化。隨方位角增大，各部分變形量最大值增大，70°時達到最大值，隨后形變有所減小。在70°時套管最大變形量達到0.52 mm，由于窗口幾何形狀對稱，則窗口變形量達到1.02 mm。這是假設開窗形狀為理想光滑條件得出的，如果考慮開窗的實際形狀，其窗口變形可達幾個毫米，會造成鉆進過程中套管局部破壞，影響正常鉆進過程。因此，從套管側(cè)窗變形的角度來看，分支井方位應該盡量靠近水平最大地應力方向。

2.3 不同支井方位下的水泥環(huán)塑性應變分布

地層、套管、水泥環(huán)和鉆進中的支井形成了一個受力變形系統(tǒng)，其中一部分的破壞會導致其他部分的破壞。主井眼的水泥環(huán)在支井鉆進過程中是否破壞對支井井壁的穩(wěn)定也很重要。主井眼的水泥環(huán)破壞后，分支井連接部位及支井井壁更容易產(chǎn)生破壞。主井眼水泥環(huán)的受力和套管類似，但其力學參數(shù)和模型不同。

水泥環(huán)采用混凝土損傷塑性模型(CDP模型)，可以模擬產(chǎn)生的拉伸和壓縮破壞，為了直觀表示水泥環(huán)的破壞區(qū)分布，采用塑性應變表示其破壞。圖10為不同支井方位對應的水泥環(huán)上的塑性應變分布，圖中的紅色表示發(fā)生塑性變形的部分?？梢钥闯觯喹h(huán)上的塑性應變分布隨支井方位變化。支井方位角為0°時，水泥環(huán)塑性區(qū)最小，分布在開窗下部的兩側(cè)，15°～60°時水泥環(huán)塑性區(qū)增加，塑性區(qū)主要分布在開窗右側(cè);75°～90°時水泥環(huán)塑性區(qū)出現(xiàn)在開窗兩側(cè)，且分布范圍占據(jù)開窗部位的大部分。

圖10 水泥環(huán)塑性變形區(qū)Fig.10 Plastic deformation zone of cement

圖11為水泥環(huán)中塑性應變最大值隨支井方位的變化?？梢钥闯?，水泥環(huán)中塑性應變最大值隨支井方位先增大后減小，在50°時對應最大值0.006。

圖11 最大塑性應變隨方位角的變化Fig.11 Variation of the maximum plastic strain with azimuth angle

根據(jù)圖10得到的水泥環(huán)塑性變形范圍和圖11得到的塑性變形的最大值，可以對水泥環(huán)破壞進行綜合判斷。當支井方位角大于30°時，主井眼水泥環(huán)出現(xiàn)的破壞可引起支井鉆進問題，如支井或連接部位的坍塌。雖然支井方位角大于70°以后水泥環(huán)的塑性應變的最大值明顯下降，但塑性應變的范圍大大增加，同樣會引起支井鉆進問題。

當支井方位角小于25°時，地層和分支井壁的塑性應變不產(chǎn)生塑性變形，而后隨著支井方位角的增大而增大。這也說明支井方位角小于30°可明顯降低支井鉆進過程中井壁失穩(wěn)問題。

3 結(jié)論

(1)水泥環(huán)-地層-套管-井筒系統(tǒng)對分支井連接部位的穩(wěn)定性影響顯著，相比裸眼假設更接近鉆井工程實際情況。

(2)建立的三維彈塑性有限元模型，將水泥環(huán)、地層和套管分別視為不同的塑性材料，同時建立了各向異性地層中應力分量轉(zhuǎn)換方法，得到不隨支井方位變化的有限元幾何模型，消除了不同支井方位之間的模型誤差。

(3)當支井方位角小于15°時，地層與水泥環(huán)最大等效應力位于主井筒上，有利于分支井井眼穩(wěn)定;隨著支井方位角的增加，分支井井眼趨向于不穩(wěn)定;當方位角為75°時，等效應力最大值位于分支井井壁上，不利于井壁穩(wěn)定。

(4)當支井方位角為70°時套管開窗部位的最大變形達到1.02 mm，從套管側(cè)窗變形的角度來看，分支井方位應該盡量靠近水平最大地應力方向。

(5)當支井方位角大于30°時，主井眼水泥環(huán)出現(xiàn)的破壞可引起支井鉆進問題，如支井或連接部位的坍塌。支井方位角大于70°以后水泥環(huán)的塑性應變的最大值明顯下降，但塑性應變的范圍大大增加，同樣會引起支井鉆進問題。

(6)綜合當量應力、套管變形和水泥環(huán)塑性變形分布，認為在分支井井身結(jié)構(gòu)設計中，為保證分支井井壁的穩(wěn)定應采用較小方位角，同時避免采用50°～80°的分支井方位，以保證水泥環(huán)-地層-套管-井筒系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性。

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