高中代數(shù)思想在“密鑰共享”中的應(yīng)用

◆趙世棋 林昌露

(福建南安市柳城中學(xué);福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院)

華羅庚先生說過:“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”數(shù)和形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的兩個重要內(nèi)容。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“數(shù)形結(jié)合”不僅是一個重要的代數(shù)數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)解題方法。“信息安全與密碼”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中選修系列3的六個專題之一。在當(dāng)今信息化的社會當(dāng)中，人們每天在互聯(lián)網(wǎng)和物聯(lián)網(wǎng)上傳輸、獲取、交換海量的信息，這也帶來更多的信息安全問題。在高中階段對信息安全與密碼知識的學(xué)習(xí)，不僅有助于培養(yǎng)和增強(qiáng)學(xué)生的信息安全意識，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本文將從密碼學(xué)中的“密鑰共享”與高中數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”的代數(shù)思想入手，分析數(shù)學(xué)在信息安全與密碼中的重要作用。

一、問題的提出

密鑰共享的基本思想，可以通過如下例子來表述:某個銀行的保險庫，每天至少需要用密碼(即密鑰)打開一次;銀行雇傭四位出納，但是銀行為提高保險庫的安全性并不想將密鑰委托給單個出納。這時，銀行可以利用密鑰共享的方法來設(shè)計(jì)一個安全的系統(tǒng)保護(hù)這個密鑰。在該系統(tǒng)中，銀行把密鑰分成四部分并獨(dú)立分發(fā)給四位出納;該系統(tǒng)保證任意三位或四位出納同時在場才可用密鑰打開保險庫，而任意單獨(dú)或兩位的出納不能打開保險庫。此外，即使有一位出納的那份密鑰意外地丟失，其他三位出納仍然可正常恢復(fù)整個密鑰。對于上述的問題和要求，如何用一個數(shù)學(xué)的方法來有效地解決呢?

二、問題的求解

解法一:解方程組方法

1979年，著名密碼學(xué)家阿迪·沙米爾利用解方程組的方法給出了一個簡單且有效的方法。我們用一個簡單的例子展示該方法:在數(shù)字化世界中，可假設(shè)密鑰是一個數(shù)字，這是發(fā)揮數(shù)學(xué)作用的第一步。具體地，設(shè)密鑰為2，四位出納分別用1、2、3和4表示，選取一個二次多項(xiàng)式f(x)=2+3x+x2，它滿足f(0)=2，即當(dāng)x取零時，由這個多項(xiàng)式計(jì)算的結(jié)果恰好是密鑰值2;計(jì)算f(1)=6，f(2)=12，f(3)=20和f(4)=30，并把這四個值分別秘密地分發(fā)給四位出納。這樣，我們已經(jīng)完成這個保護(hù)系統(tǒng)的設(shè)置，該密鑰的部分密鑰分別由四位出納安全地保管。假設(shè)前三位出納同時在場，此時只需把由他們保管的秘密值6、12、20拿出來，大家就可以用解方程組的方法簡單地恢復(fù)得到密鑰值，計(jì)算過程如下:假設(shè)該二次方程是f(x)=a+bx+cx2，則可得到如下方程組:通過求解該方程組，可得a=2，即f(0)=a=2為密鑰值。若只有一位或兩位出納同時在場，由解方程組的方法可知，則他們只能得到有一個方程或兩個方程的方程組，但有三個未知數(shù)，故該秘密值無法正確地被恢復(fù)。

解法二:幾何方法

現(xiàn)在，從幾何角度來更直觀地分析一下上述方法。我們先把出納的代表值和各自的部分秘密值分別看成直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)點(diǎn)，即(1，6)、(2，12)、(3，20)和(4，30)，且把密鑰也看一個坐標(biāo)點(diǎn)(0，2)。可把二次多項(xiàng)式看成一條二次曲線，密鑰值是該曲線與縱軸的交點(diǎn)，每位出納的部分秘密值均是曲線上某個點(diǎn)的縱坐標(biāo)值(見圖1)。由二次曲線的性質(zhì)可知，若已知曲線上的三個坐標(biāo)點(diǎn)，可容易在直角坐標(biāo)系上畫出完整的曲線，即可以獲得與縱軸的交點(diǎn)值;若僅知道曲線上一個或兩個坐標(biāo)點(diǎn)(如A和B，見圖2)，那么該曲線與縱軸的交點(diǎn)可能有無數(shù)個(如:C1，C2，…，Cn)，即無法確定該密鑰值。

綜上所述，我們分別從代數(shù)的觀點(diǎn)和幾何的觀點(diǎn)，分析了密鑰共享的基本思想，充分展現(xiàn)了高中代數(shù)學(xué)習(xí)中“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。從這兩個角度看問題，不僅可以讓學(xué)生直觀體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的鑒賞力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且可以幫助學(xué)生對密鑰共享方法的理解，提高他們對“信息安全和密碼”學(xué)習(xí)的興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展，對實(shí)現(xiàn)“信息安全與密碼”模塊教學(xué)也起到探索的作用。

［1］袁智強(qiáng).《信息安全與密碼》教學(xué)構(gòu)思及評價設(shè)想.數(shù)學(xué)通訊，2005，(11):9-10.

［2］劉木蘭，張志芳.密鑰共享體制和安全多方計(jì)算.北京:電子工業(yè)出版社，2008.