高等數學中一類證明題的解題方法

周 千

（西安航空學院 理學院，陜西 西安 710077）

1 引言

高等數學是理工類專業學生參加普通高等教育專升本考試的必考課程。每年考試的最后一題一般設置為證明題，旨在考查學生應用所學知識分析問題、解決問題的能力。筆者積累多年輔導專升本考試的經驗，總結出了一些解決證明問題的常用而有效的方法。

2 證明題的常見類型及解題方法

在專升本高等數學的考試中，證明題的常見類型有兩種，分別是：函數不等式的證明和適合某種條件下ξ的存在性問題的證明。

2.1 函數不等式的證明

對于函數不等式的證明，最常見的方法是利用函數的單調性證明不等式，其基本思路是：選取變量構造輔助函數，研究輔助函數的單調性。而構造輔助函數的基本思想是從欲證問題的結論入手，通過逆向分析，去尋找一個滿足題設條件和結論要求的函數，一般是將待證不等式進行移向，使其右端為零，則左邊的函數就是要構造的輔助函數。

例1：（2010年陜西省專升本考試·22題）證明：當x＞0時，ex－ln（1＋x）－1＞xln（1＋x）

分析：首先構造輔助函數，將不等式右端的項移至左邊，使右端為零，則不等式變形為ex－ln（1＋x）－1－xln（1＋x）＞0，令f（x）＝ex－ln（1＋x）－1－xln（1＋x），即為輔助函數，然后分析其單調性即可證明原不等式。

而對于ex－1－ln（1＋x），無法判斷其正負，故應該繼續求導。

設g（x）＝ex－1－ln（1＋x）（x＞0）

總結：在解決有關函數不等式的證明問題時，利用導數研究輔助函數的單調性是解題的關鍵，但是在有些問題中，僅求一次導數是無法判斷其單調性的，此時，需要進一步求導，然后將結果逆推，即可使待證不等式得到證明。

2.2 適合某種條件下ξ的存在性問題的證明

討論中值存在性的一般方法是：先用逆向分析法尋求輔助函數，再驗證該輔助函數滿足某個微分中值定理的條件，從而由該定理結論導出欲證結果。在專升本考試中，最常用到的定理是羅爾中值定理。

常用輔助函數的構造步驟：①將欲證結論中的ξ變為x；②通過恒等變形將式子化為易于消去導數符號的形式；③ 通過觀察法或積分法求出原函數（即不含導數符號的式子）；④ 移項使等式一端為零，另一端即為所求輔助函數F（x）。

構造輔助函數的常用結論：

① 若方程為f（x）＋xf′（x）＝0，則令F（x）＝xf（x）；

② 若方程為f′（x）＋λf（x）＝0，則令F（x）＝f（x）eλx；

③ 若方程為f′（x）＋f（x）g′（x）＝0，則令F（x）＝f（x）eg（x）；

對于①②③，我們可以總結為一個更加一般的結論：若方程為f′（x）＋f（x）g（x）＝0，則令F（x）＝f（x）e∫g（x）dx，②③ 容易證明，我們僅證明 ①：

因此，對于適合某種條件下ξ的存在性問題的證明，都可以先轉化為形如f′（x）＋f（x）g（x）＝0的形式，然后利用上述結論構造輔助函數F（x）。

分析：由f（c）＝－cf′（c）可得，f（c）＋cf′（c）＝0，滿足常用結論①，故令輔助函數F（x）＝xf（x）。

3 結語

對于專升本高等數學考試中的證明題，尤其是適合某種條件下ξ的存在性問題的證明，正確的構造輔助函數是解題的關鍵，應用本文給出的結論，能夠很容易地構造出相應的輔助函數，對于學生正確解答證明問題顯得非常的重要。

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