液體靜壓導(dǎo)軌靜態(tài)特性的計算

王焱清， 黃 振， 吳星成

(湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

高端制造裝備的進(jìn)一步發(fā)展對決定裝備性能的主軸回轉(zhuǎn)主運(yùn)動系統(tǒng)以及工作臺、刀架拖板進(jìn)給運(yùn)動系統(tǒng)等關(guān)鍵運(yùn)動部件的動態(tài)性能及其穩(wěn)定性、可靠性提出了更加苛刻的要求，促進(jìn)了液體靜壓支承技術(shù)的研究向更加深入的方向發(fā)展．靜壓導(dǎo)軌作為重要的支承部件，其運(yùn)動精度將直接影響到工件的加工質(zhì)量．故對靜壓導(dǎo)軌的設(shè)計顯得尤為重要，在靜壓導(dǎo)軌設(shè)計與優(yōu)化中所需考慮的三個典型的靜壓系統(tǒng)特性是：承載量、剛度和流量．這三個靜態(tài)靜壓系統(tǒng)特性的計算是由油腔內(nèi)的壓力分布決定的，與速度無關(guān)．所以計算油腔壓力分布是計算靜態(tài)系統(tǒng)特性的基礎(chǔ)．

1 液體靜壓導(dǎo)軌的工作原理及其靜態(tài)特性

1.1 液體靜壓導(dǎo)軌的工作原理

由液體靜壓導(dǎo)軌的結(jié)構(gòu)(圖1)可看出液體靜壓導(dǎo)軌是利用潤滑油膜來支承載荷并起潤滑作用[1]，根據(jù)供油方式的不同，可將液體靜壓導(dǎo)軌分為定量式靜壓導(dǎo)軌和定壓式靜壓導(dǎo)軌．本文中計算定量供油時的開式靜壓導(dǎo)軌．

所謂開式靜壓導(dǎo)軌，是在工作臺和導(dǎo)軌面間通入壓力油，使運(yùn)動件浮起，工作在不同速度下都能保證導(dǎo)軌面在液體潤滑摩擦狀態(tài)下工作．

液體靜壓導(dǎo)軌中各獨立的承載部分稱作油墊，由油腔、封油邊和進(jìn)油孔組成(圖2)，計算液體靜壓導(dǎo)軌靜態(tài)特性時通常對其中一個油墊進(jìn)行分析計算．設(shè)從供油系統(tǒng)供給一定壓力p、流量為Q的潤滑油，導(dǎo)軌上的負(fù)載大小為W，油膜厚度為h．當(dāng)導(dǎo)軌運(yùn)動處于穩(wěn)定狀態(tài)時，不同的載荷W對應(yīng)一個不同的油膜厚度h，當(dāng)導(dǎo)軌上負(fù)載W增大，油膜厚度h會減小，導(dǎo)軌間的液阻增大，但是定量供油的流量不變使得油腔壓力升高從而平衡增大的負(fù)載；反之，當(dāng)負(fù)載減小時，油膜厚度增大，液阻減小，油腔壓力降低，平衡減小的負(fù)載[2]．

1-工作臺； 2-油封面； 3-油腔； 4-導(dǎo)軌座圖 1 開式靜壓導(dǎo)軌

圖 2 液體靜壓導(dǎo)軌中承載部分工作原理

1.2 液體靜壓導(dǎo)軌的靜態(tài)特性

1.2.1靜承載力W0液體靜壓導(dǎo)軌的靜承載力是表征液體導(dǎo)軌在導(dǎo)軌運(yùn)動副之間無相對運(yùn)動時承載力的參數(shù)，其值表示在一定油膜厚度下液體導(dǎo)軌的負(fù)載能力，可以通過對整個油膜表面的壓力積分而得，即

(1)

式中：p為油膜表面的壓力分布；A為油膜表面的區(qū)域面積．

1.2.2靜剛度K0液體靜壓導(dǎo)軌的靜剛度表征液體靜壓導(dǎo)軌在油膜發(fā)生變化時承載力的變化程度，說明了當(dāng)油膜變化時的承載力的變化情況，其值為

．

(2)

式中：Wh1，Wh2分別是不同油膜厚度時的承載力值；h1，h2分別是兩個不同油膜厚度的值．

1.2.3封油邊出口流量Q0是表征液體靜壓導(dǎo)軌在工作時的液體消耗量，常被分為體積流量和質(zhì)量流量．液體靜壓導(dǎo)軌的分析中通常用質(zhì)量流量，液體靜壓導(dǎo)軌的封油邊出口流量可以通過對封油邊出口邊界區(qū)域的液體流速積分得到，即

ρvdA.

(3)

式中：ρ是液體的密度，v是液體出口的流速分布，A是出口邊界的區(qū)域面積．[3]

2 液體靜壓導(dǎo)軌油膜壓力分布計算方法

2.1 液體靜壓導(dǎo)軌壓力分布

由液體靜壓導(dǎo)軌靜態(tài)特性可得，承載能力W0油膜剛度K0都與油膜壓力分布有關(guān)，要計算承載能力和油膜剛度就必須先計算油膜壓力的分布p．

油膜壓力的分布p的計算是基于雷諾方程的解，雷諾方程是流體潤滑軸承的基礎(chǔ)方程，它描述了在微小間隙內(nèi)流體的壓力分布，它的普遍形式是

(4)

式中：x和y分別是指的導(dǎo)軌長度方向和寬度方向的坐標(biāo)；η是潤滑流體粘度；ρ是潤滑流體密度；h是油膜厚度；U是導(dǎo)軌運(yùn)動速度；方程的解p是油膜壓力分布．這個橢圓型的偏微分方程僅僅對于特殊的間隙形狀才可能求得解析解，而對于復(fù)雜的幾何形狀或工況條件下的潤滑問題，無法用解析方法求得精確解．隨著電算技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)值法成為求解潤滑問題的有效途徑．

2.2 液體靜壓導(dǎo)軌壓力分布數(shù)值解法

因為靜壓軸承的靜態(tài)特性中承載量、剛度與速度無關(guān)，且在靜態(tài)狀態(tài)下油膜厚度h不隨時間變化．簡化式(4)可得在靜態(tài)下的雷諾方程式：

．

(5)

式(5)是一個Laplace算子，其在油膜分布區(qū)域上的解就是壓力在油腔中的分布．其數(shù)值解法是將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的變換方法．它的一般原則是：首先將求解區(qū)域劃分成有限個數(shù)的單元，并使得每個單元充分小，以至于可以認(rèn)為在各單元內(nèi)的未知量(油膜壓力p)相等或者依照線性變化，而不會造成很大的誤差．然后通過物理分析和數(shù)學(xué)變換方法將求解的偏微分方程寫成離散形式，即轉(zhuǎn)化為一組線性代數(shù)方程組．該方程組表示了各個單元的帶球未知量與周圍各單元未知量的關(guān)系，最后根據(jù)Gauss消去或者Gauss-Seidel迭代法求解代數(shù)方程組，從而求得整個求解域上的未知量．

靜壓導(dǎo)軌油腔求解區(qū)域的物理模型可簡化圖1．其長度方向L=50 mm，寬度方向B=30 mm，封油邊的寬度b=5 mm．中間區(qū)域為進(jìn)油口，其壓力為10 mPa．

圖 3 靜壓導(dǎo)軌油腔求解區(qū)域的物理模型

求解區(qū)域是一個環(huán)形區(qū)域的油膜，求解前先定義邊界條件．根據(jù)壓力邊界條件可以得出：1)在腔內(nèi)p=10 mPa，即內(nèi)部矩形內(nèi)的p為常數(shù)10；2)在四周邊緣上p=0 mPa，即在外部矩形的邊界上的p為常數(shù)0 .將式(2)進(jìn)行五點差分可以表達(dá)如下：

2.2 基于matlab計算方程數(shù)值解

按照上述方法先將求解區(qū)域劃分成如圖4所示的網(wǎng)格，劃分后的求解區(qū)域一共有560個網(wǎng)格節(jié)點．根據(jù)差分?jǐn)?shù)值解法，即式(3)代替式(2)，將問題轉(zhuǎn)化為未知函數(shù)p(x,y)在節(jié)點(i,j)上的數(shù)值位置量的線性方程組Ax=b；A是系數(shù)矩陣，是網(wǎng)格節(jié)點p(x,y)差分成的560×560的稀疏矩陣(圖5)．

圖 4 靜壓導(dǎo)軌油腔求解區(qū)域網(wǎng)格化,mm

圖 5 系數(shù)矩陣A

b是560×1的稀疏向量，是進(jìn)口壓力邊界條件，表示了進(jìn)口壓力的位置和壓力值大小．然后對方程組Ax=b進(jìn)行Gauss-Seidel迭代法求解，得出的解向量x是壓力p的稀疏向量，用matlab中的full函數(shù)將其轉(zhuǎn)化成滿矩要求的壓力分布(圖6)．

圖 6 滿矩要求的壓力分布,mm

分別做出在中間平面x方向和y方向截面的壓力分布曲線(圖7)．

(a)x方向

(b) y方向圖 7 中間平面截面的壓力分布曲線

由圖7可以看出：在油腔內(nèi)部附近區(qū)域內(nèi)，壓力分布基本維持在10 mPa左右，從封油邊至出口，壓力由2 mPa逐漸降到0，存在較大的壓降，并且下降呈現(xiàn)明顯的非線性．

3 液體靜壓導(dǎo)軌油膜靜態(tài)特性參數(shù)的計算分析

3.1 液體靜壓導(dǎo)軌承載能力的計算

在供油方式為定量的情況下，對導(dǎo)軌承載底部區(qū)域的壓力進(jìn)行積分，得到導(dǎo)軌的承載能力(圖8)．

圖 8 不同油膜厚度下矩形導(dǎo)軌的承載能力

為進(jìn)一步研究靜壓導(dǎo)軌的承載能力特性，將不同油膜厚度下的承載能力用多項式擬合表示．當(dāng)油膜厚度為10～25 μm時，該導(dǎo)軌的承載能力的數(shù)學(xué)擬合可近似表示為

W=-124.9h6+20.21h5+335.7h4+

50.57h3-53.97h2-1183h+2895．

式中：W為導(dǎo)軌承載力，N；h為油膜厚度，μm．

3.2 液體靜壓導(dǎo)軌油膜靜剛度的計算

根據(jù)導(dǎo)軌在不同油膜厚度時承載能力的計算結(jié)果，用式(2)可求出導(dǎo)軌油膜的靜剛度，結(jié)果如圖9所示．當(dāng)油膜厚度為10～25 μm時，導(dǎo)軌的剛度數(shù)學(xué)擬合式可以近似表示為

K=-30.06h6-83.23h5+318.9h4+

289h3-834.2h2-276.5h+771.2．

式中：K為導(dǎo)軌油膜剛度；h為油膜厚度．

圖 9 導(dǎo)軌油膜的靜剛度

4 結(jié)論

通過求解雷諾方程計算油膜壓力分布，根據(jù)導(dǎo)軌靜態(tài)參數(shù)的計算可以得出：靜壓導(dǎo)軌的承載能力隨著油膜厚度的增大呈減小的趨勢，靜剛度隨著油膜厚度的增大，在10～15 μm時呈增長趨勢，在15 μm時達(dá)到最大值.在15～25 μm時呈減少趨勢．

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