基于zemax的新型折返式卡塞格林望遠鏡系統設計

錢 超， 張金業

(湖北工業大學理學院， 湖北 武漢 430068)

計算機技術的發展不僅使光學設計工作從繁雜性和龐大的計算工作中解放出來，而且給光學設計帶來了新的活力．光學設計問題從數學角度看，就是建立和求解像差方程組[1]．卡塞格林望遠鏡因其能在較小的結構尺寸內獲得較長的焦距，所以其在天文觀測以及激光雷達回波的接收領域有著廣泛應用．但是由于非球面鏡的加工難度及成本問題，制造一臺口徑大的卡塞格林式望遠鏡的工藝要求極其嚴苛，加工工藝以及非球面鏡的質量將直接影響望遠鏡的成像質量．相比較而言球面鏡的加工則相對容易得多，再加上校正透鏡來校正球面鏡在非傍軸區產生的像差，則可大大降低卡式系統的加工難度和加工成本．

1 卡塞格林望遠鏡基本結構和工作原理

反射式望遠鏡通常由主鏡和次鏡構成，卡塞格林望遠鏡也不例外．其主鏡為拋物面的凹面反射鏡，次鏡為雙曲面的凸面反射鏡．主鏡拋物面的焦點與次鏡雙曲面的左焦點重合，這樣入射的平行光將匯聚在雙曲面的另一焦點處．這種類型的望遠鏡系統在后來的許多領域都有過廣泛的應用[2]．

隨著科技的發展，卡式系統的結構不斷得到改進，隨之出現加施密特校正板的卡塞格林望遠鏡、Maksutov卡塞格林望遠鏡等帶有折射元件的卡塞格林望遠鏡，以增大視場．這種類型的望遠鏡后來被定義為折反射光學系統望遠鏡．

2 基于Zemax的設計

2.1 初始結構

在設計之初只要給出系統的筒長和像面位置，主次面的曲率半徑只需給出大致的值，系統最前面的平板玻璃是折射元件的雛形．在需要加入透鏡時，只要改變平板玻璃兩個面的曲率半徑即可，由幾何光學的知識可知，它不會影響系統的像差及色差．這塊平板玻璃還有另一個作用：在設計之初，它并不產生像差，所有的像差均由主次鏡的球面鏡產生；在改變其兩個面的曲率半徑即加入校正透鏡后，通過觀察評價圖表可以看出其像差的明顯變化，這些變化就是由于透鏡校正了部分像差．所以通過加入這塊平板玻璃可方便對比系統前后的成像質量變化．

系統的初始結構如圖1所示．

圖 1 系統的結構示意圖,cm

2.2 默認評價函數的創建

將主次鏡的曲率半徑設為變量后，創建默認評價函數(圖2)．

圖 2 鏡頭編輯器

在上述鏡頭編輯器中，Radius表示曲面的曲率半徑；thickness表示此面與下一面的距離；glass表示玻璃的類型，玻璃平板采用BK7(nf=1.52238，nd=1.51680，nc=1.51432)玻璃，圖3的Default Merit Function(默認評價函數)對話框由四組選項構成:Optimization Function and Reference(優化函數和參考點)、PupilIntergration Method(人瞳積分式),Thickness Boundary Values(厚度間隔邊界條件)和評價函數其它輔助選項．默認評價函數通過使用4個基本選擇：優化類型、像差類型、像差計算參考點和入瞳積分方式來構建．

圖 3 創建默認評價函數

在Optimization Function Reference(優化函數和參考點)一項中，RMS為默認的優化類型，表示評價函數由像差的均方根偏差組成 ；wavefront表示采用的像差類型為波像差，其單位為λ；Centroid表示像差計算的參考點為彌散斑的質心．

ZEMAX中像差值計算是追跡視場中代表物點發出若干條光線實現的，ZEMAX提供了兩種光線通過人瞳的分布形式:高斯積分(Gaussian Quadrature)法和矩陣 (Rectangular Array)法．GQ法中通過設定軸對稱入瞳面上劃分的環帶數(Rings)以及沿每個環上的半徑臂數 (Arms ),確定每個視場和每種波長將被追跡的光線; RA法中則通過設定入瞳面上的網格(Grid )，對軸對稱的入瞳按照正方形進行各種密度的抽樣，確定每個視場和每種波長將被追跡的光線．如果網格上的光線落在入瞳之外，那么這條光線將被自動省略，因此實際使用的光線要比Grid的乘積少(圖4)．在上面的兩種算法中，GQ算法在所有實際意義的算法中具有很大的優勢，它比其他方法精確并且所需要追跡的光線較少，計算速度較快，并且具有中心對稱的特性，有利于減少所需要追跡的光線[1]．

圖 4 兩種光線的入瞳分布方式

第三欄為厚度邊界值設定，用于設定評價函數中對空氣間隔和(或)玻璃厚度的邊界約束．第四欄為其他輔助選項，通常勾選中其中的Assume Axial Symmetry(假設軸對稱)一項，這樣在構造和計算評價函數時，默認評價函數將認為光學系統是左右對稱和旋轉對稱的，此時更少的光線將被追跡，優化速度快而不降低精度．若在設計非旋轉對稱系統時，此項可不選．Ignore Lateral Color(忽略垂軸色差)復選框默認條件下不予選擇．Start At(起始為序)用來設定Merit Function Editor(默認函數編輯器)中加入默認評價函數的操作符的起始行序．Overall Weight(全部權重)文本框:默認值為1，表示構建默認評價函數時，操作符原默認權重和權重．

設置好所有的約束條件后，點擊OK生成圖5的MFE(默認評價函數編輯器)．第一列為操作數序號．第二列為操作數類型：MNCG、MXCG、MNEG、MXEG操作符用來約束玻璃的邊界條件；OPDX用來指定Wave,(Hx,Hy)，(Px,Py)光線相對于一個移動和傾斜的球面的光程差．該球面可以使RMS波前差最小化，ZEMAX用質心作為參考．

默認評價函數創建后調用優化，優化后系統的評價函數的值為0.0746．此值越小表示系統的性能越好(圖6)．圖6中：“Automatic”表示自動執行優化循環，直到系統優化不再有明顯改善為止；“1 Cycle、5Cycle、10 Cycle、50 Cycle”分別表示執行1、5、10和50次優化循環；“Inf. Cycle”表示執行無限次循環，直到按下“Terminate”按鈕為止；“Terminate”表示終止循環；“#CPU’s”表示分配運算的cpu核心數；“Algorithm”表示在下拉菜單中可選擇合適的優化算法；“Variable”表示“設定的變量個數”．

圖 5 默認評價函數

圖 6 優化操作圖

優化完成之后，可以通過點列圖來查看初步優化后系統的成像質量如何．在理想光學系統中，經入瞳的平行光線會匯聚在像面的某點處，但在實際的成像過程中，由于球差、色差等因素的存在，經入瞳的平行光線并不能嚴格匯聚在像面的某點處，而是在此點處形成一個彌散斑，理論上該彌散斑的半徑越小越好．在zemax中有兩種對彌散斑半徑的描述，它們分別是RMS Radius(均方根半徑)、GEO Radius(幾何半徑)．前者是追跡每條光線到達像面后的坐標平方和然后再除以點的數量后再開方的值，這個值能近似反映彌散斑的質量；后者則表示彌散斑的最大半徑．

光線經球面鏡反射后形成的彌散斑，主要還和球面鏡幾何性質有關．拋物線、橢圓以及雙曲線都是有焦點一說的：從拋物線凹的一面入射的平行光經拋物面反射后會匯聚在其焦點處；從橢圓一焦點發出的發散光鏡橢圓面反射后會匯聚在另一焦點處；匯聚到雙曲線一焦點處的光線經雙曲面反射后會匯聚到另一焦點處．雖然圓卻沒有這種性質，但是在幾何光學中可近似地認為：在傍軸條件下，其焦點在圓心與曲面頂點的中心處．這可以由物像公式[3]得出

1l'+ 1l= 2f,l'=∞，所以l=r2．

但這僅僅在傍軸條件下才成立，對于望遠鏡這種大孔徑系統來說很難做到．

由于系統主要采用反射鏡設計，而且平板玻璃不產生任何單色像差和色差，所以此時的系統是沒有色差的，這在圖7中得到了充分的體現，因為 F、D、C三種顏色的彌散斑是嚴格重合的．但是點列圖的中心結構是放射狀的，這說明此時系統存在著離焦，這樣較大的彌散斑直徑就不可避免了．

圖 7 點列圖

在實際的成像過程中，無窮遠處的光線并不是嚴格的匯聚在某一點的，所以對整個入瞳而言，球面鏡的球差是不可消除的．在點列圖中RMS Radius 為13.76 μm；GEO Radius 為24.131 μm，這兩個半徑均可以通過引入校正透鏡來降低．

2.3 優化后成像質量評價

初步的優化完成后，為了使系統的性能得到更大的提升，還需要對其進行更進一步的優化．在初步的優化中只引入了兩個變量，即主次鏡的曲率半徑，這一步僅僅通過控制這兩個量來減小像面上球差．現在要將透鏡引入，并同時控制主次面的曲率半徑，透鏡的引入只要將之前的平板玻璃的兩個面設為變量即可．按照上面的步驟創建默認評價函數并運行優化之后的LDE(鏡頭數據編輯器)如圖8所示.

圖 8 鏡頭編輯器

從圖9中可以看到，此時系統的評價函數下降到0.000 34．評價函數的下降表示透鏡的引入對成像質量有了較為明顯的改善．

圖 9 優化操作圖

系統的2D結構圖如圖10所示.

圖10 系統的2D模型

2.4 系統的圖表分析

系統的結構設計及優化已經基本完成，接下來要用zemax給出的分析圖表判斷所設計系統的成像優劣．主要通過點列圖(SPOT DIAGRAM)、光線扇面圖(RAY FAN)、光程差圖(OPD)以及MTF函數來分析．

圖11 點列圖

與圖7相比，因為引入了透射元件，所以色差被引入，點列圖的半徑有所下降．RMS RADIUS從0.436下降到0.256；GEO RADIUS從0.977下降到0.549．這兩個半徑都不超過1 μm ，所以此時的色差相對而言也是很小的．點列圖中心的放射狀結構消失，大部分光線都集中在點列圖中央，可以認為此時離焦的情況已基本消除．

圖12給出了視場角為0°時的橫向球差曲線．橫坐標表示系統的入瞳，縱坐標為橫向球差的值．從圖中可以得出系統橫向球差與入瞳半徑的關系，原點附近曲線的斜率還可以反映系統的離焦情況．此時縱坐標的最大橫向球差為1 μm，總體球差都控制在0.5 μm之內；代表F、D、C三種色光的曲線彼此之間離得很近，這說明色差是很小的；原點附近的曲率也可以證實上面點列圖的判斷結果．

圖12 光線扇面圖

圖13 光程差圖

圖13給出了系統的光程差曲線，它表示不同入瞳高度的光線經過系統后到達像面時的光程與主光線的光程之差．根據瑞利判據，當最大光程差小于波長的1/4可以認為是理想成像[4]．此時圖中縱坐標的最大光程差下降到0.01個波長，遠小于瑞利判據的0.25個波長．

3 最終系統設計結構

最后為了模擬次鏡對光線的遮擋，在系統第一面與主鏡之間加入一個半徑與次鏡相同的輔助鏡面，并在主鏡中心開一個半徑為0.5 cm的圓孔以便讓光線通過并與后方的目視系統銜接．最終的系統結構如圖14所示．

圖14 最終系統的2D及3D模型

由于遮攔面的加入，MTF曲線在中頻部分有所下降．

圖15中，當MTF的值為0.1時，最大分辨率為229線對/mm．MTF曲線的低頻反映輪廓，中頻反映層次，高頻反映細節．在60線對/mm處，MTF的值為0.4，此時系統能準確的反映出物體的輪廓，但是細節反映較差．

圖15 MTF曲線

上面的各項圖表都是在視場角為0°的情況下得出的．從圖16中可以看出系統的視場角非常小的，雖然視場角的變化不大，但是MTF曲線的下降非常明顯，成像質量也隨之下降．這說明，系統的視場角依然非常小．小視場是卡塞格林望遠鏡的缺點之一，雖然本設計中的卡式望遠鏡的主次鏡都采用球面鏡，并且通過透鏡校正了球面鏡的球差，這雖然降低了成本和加工難度，但是系統的視場并沒有因此而變大．

圖16 視場角分別為0°、0.3°、0.5°時的MTF曲線

4 結束語

采用球面鏡的卡塞格林系統，降低了系統鏡面的加工難度和加工成本，并且利用透射元件校正了兩球面鏡的固有球差．在視場角為0°時，從各項分析圖表來看，該系統具有較好的成像質量，但是當視場角變化很小時，成像質量便有了較嚴重的惡化，該缺點可以通過增加更復雜的前置透鏡組和后置透鏡組來解決，這是以后工作中所要解決的問題．

[參考文獻]

[1] 遲澤英，陳文建.應用光學與光學設計基礎[M].南京：東南大學出版社，2008：467-501.

[2] 潘君驊.一個新的泛卡塞格林望遠鏡系統[D].江蘇：蘇州大學圖書館，2007.

[3] 張以謨.應用光學[M].北京：電子工業出版社，2008：345-360.

[4] 劉 鈞，高 明.光學設計[M].北京：國防工業出版社，2012：10-95.