淺談《概率論》課程中的啟發教學與互動模式

◆徐 晨

(東北大學)

《概率論》是研究隨機現象的規律性的一門學科，在生物、計算機技術、經濟、工業生產、醫學等領域中有著廣泛的應用，是理、工、農、林、經濟管理等非數學專業的必修課程，也是數學專業與統計專業的必修課程。與其他基礎數學課程不同的是概率論中研究的是不確定現象、隨機事件，因此思維方式有很多不同的地方，并且現在通行的教材中為了理論的嚴謹，因此概率的定義是從測度論的角度出發的，而學生又很少接觸測度論的內容，因此在概率的定義，密度函數的定義等地方，學生通常會感到晦澀難懂，理論與實際很難有效結合?；谶@種情況教師更應該注意理論與實際結合。而不是只講理論、定義和無實際意義的計算例題，教師還應注重趣味性和啟發性，引導學生自主思考，和學生建立良好的互動性。

教師在課堂上不是一味自主式填鴨教學，定義、知識點等一個一個介紹，而不了解學生真正理解和掌握情況。教師往往是一個問題提出者，這個問題最好還是身邊熟悉的例子，然后提問讓學生思考，并給學生思考時間，等學生陸續響應后，要給出總結，指出哪點是正確的，哪點是不對的，還有什么是學生沒想到的。當然這需要教師本身知識點全面，實際經驗豐富，教學經驗豐富，因為教師不僅要引導學生回答問題，而且要保證課堂紀律，使得課程得以順利繼續，因此何時提問，何時適時終結回答，都需要在長期教學中得以摸索總結。

本文將結合多年《概率論》的教學經驗，對于課程中的啟發式與互動性教學給出一些探討與建議。

一、如何介紹概念與定義

概率論中有很多專業名詞與概念，例如:隨機事件、概率、隨機變量、分布率、密度函數、期望、方差、協方差、相關系數等。這些概念是這門學科的基礎，也是這門學科解決實際問題的工具，讓學生能理解并熟練應用這些概念解決問題，才是教學的本質目的。因此介紹概念不應是照本宣科機械的介紹，而應從概念是如何產生的，它們的發展歷史是什么，主要應用，來解決什么問題這種角度出發來介紹。例如，“概率”一詞定義，一般通行的教材上都是從測度論角度定義的，概率是一個測度，應滿足非負性、規范性、和可列可加性。如果在課堂直接介紹定義，學生一般都很難理解，在生活實際中概率一詞往往解釋為隨機事件發生的可能性大小，與現行的概率一詞的定義很難產生聯系。因此，在課堂上為同學講解概率一詞的定義的產生歷史很有必要，可先讓同學思考:概率的定義是什么，多數同學會回答是發生可能性大小，這時可再讓學生思考，把發生可能性大小直接作為定義嚴謹嗎?合適嗎?接著就可引出概率的本質是什么?概率定義的產生歷史，概率與頻率的關系等問題，最后介紹概率的定義。這種提問——思考——再提問——再思考，聯系歷史，按照邏輯演義方式來講解概念，往往使得同學能理解概念，并保持思考的習慣去探究概念的合理性，發展性。

二、生活實際中的例題

概率論中很多經典的分布都來自于生活實際，例如泊松分布，背景是一段時間內稀有事件發生的次數;再如指數分布，背景是生物或元件壽命的分布，等等。因此在介紹這些分布時，更不能離開生活中的實際例子?？梢詮漠a生背景，分布律或密度函數的推出，實際應用等幾個方面展開說明。又如在講二維隨機變量的和函數、最大函數、最小函數的分布時，就可以以物理中的元件的備用電路、并聯電路、串聯電路為例(如圖1所示)進行講解，這個例子還結合指數分布、獨立性等知識，在講解時候應注意融會貫通，將前后知識點聯系在一起處理實際問題，并還可以進一步提問，例如備用電路、串聯電路、并聯電路的平均壽命是否一樣，平均壽命用什么表示等等問題，為后面的數字特征知識點做鋪墊。

三、與其他學科的聯系

數學是為很多其他學科解決實際問題而服務的，概率論作為數學學科的一個分支，因此也和其他學科有著很多的聯系，而教師如果在課堂能介紹一些有關概率論和其他學科聯系的內容，對于豐富學生知識面，引導同學對交叉學科之間問題的思考是有很大好處的。例如，在介紹古典概型時候著名的波利亞罐模型，就是醫學統計中流行病學的數學模型，因此在講這個例題的時候，怎樣計算往往是次要的，而是模型的建立，如何用模型來描述生活實際中問題，等等，這些給同學介紹清楚，那么同學們在聽這個例題的時候就不只是要知道怎樣計算了，而是學習了用數學的知識聯系實際，建立模型，達到解決問題的這套方法。再如，連續性隨機變量的密度函數和期望，可以和物理學中的密度與重心聯系起來，如果把一個一維概率密度函數理解為一個質量均勻的平面，那么期望所在的位置恰好就是平面的平衡點，這樣同學們在密度函數圖像上大致標注期望的位置時候，會有一個直觀感覺，也能理解期望為什么受隨機變量的異常取值的影響比較大。

四、結語

實踐證明，啟發式教學與互動模式對于活躍課堂氣氛，引導學生獨立思考，激發學生求知欲與興趣，保持良好的思考習慣是大有裨益的。教學本來就是一個不斷發展、不斷革新的過程，在秉承著教書育人的精神時，還應不斷摸索怎樣教好，宗旨應該是教會學生思考。本文給出了一些建議，可以在這個思想下繼續探究更好的教學模式，使得學生對于知識的掌握更靈活，教師的能力也不斷提高。

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