具有極值hyper-Wiener指標的多聯苯鏈

張艷玲 陳香蓮 馬志輝

（1.昌吉學院數學系 新疆 昌吉 831100;2.石河子大學理學院數學系 新疆 石河子 832003）

1 引言

設G=(V,E)是一個簡單，無向連通圖，V(G)和E(G)分別是它的點集和邊集，圖G中u和v之間的距離d(u,v)是G中連接u、v的最短路的邊數[1]。G的Wiener指標記為W(G)，定義如下：

圖的hyper-Wiener指標被定義為

多聯苯鏈[3]是由n個苯環B1,B2,…,Bn組成的，其中對任意的正整數k和 j(1≤k＜j≤n)，當且僅當 j=k+1時，Bk和Bj才由一條割邊聯接，且每一個苯環和一個割邊的公共頂點是三度點。

顯然，“多聯苯鏈”可以看作是一類重要的線性的無分支的簡單的聚苯分子結構圖的代表。

圖1 三種非同構的聯接方式

用Ωn表示包含n個苯環的多聯苯鏈的集合。設Gn∈Ωn，Gn-1∈Ωn-1，Gn能夠由Gn-1在其終端由一條割邊再聯接一個苯環得到，其中n≥2。如果B1,B2,…,Bn是Gn中的n個苯環，我們記Gn=B1B2…Bn，其中Bi和Bi+1是鄰接的(i=1,2,···,n-1)。如圖1所示，每個在鏈中的苯環可聯接位有五個，但只有三個不同構的聯接方式Gn-1→［Gn-1］k=Gn，其中k=1，2，3，我們把這3種不同的粘結方式稱為：way-1，way-2，way-3。

特別地，在多聯苯鏈中每個苯環都可以以一樣的聯接方式進行聯接，如圖2。如果多聯苯鏈Gn中的每個苯環都是以“way-1(way-2或way-3)”通過一條割邊聯接在前一個苯環上的，則記作Zn(Rn或Ln)。

若Gn是一個多聯苯鏈，類似于文獻［3］，記［Gn］k是由多聯苯鏈Gn通過way-k(k∈{1,2,3})聯接一個新的苯環得到的多聯苯鏈，顯然，每個Gn(n≥2)能被寫為，其中 kj∈{1,2,3}，則 Gn可簡記為：Gn=3k2k3…kn-1(約定L2的代碼為3)。對于Gn，若每個kj=1，則Gn=Zn；若每個kj=2，則Gn=Rn；若每個 kj=3，則Gn=Ln。易見

2 主要結果

本文主要研究多聯苯鏈的hyper-Wiener指標，并得到了Zn，Ln分別具有多聯苯鏈Gn的最小、最大hyper-Wiener指標。

圖3 Gn(i,k)

文［3］定義Gn(i,k)(k=1,2,3)如下（見圖3）。設 A∈Ωi-1，B∈Ωn-i且Bi是Gn中的第i個苯環，Bi聯接A所得的多聯苯鏈記為Gi，B通過way-k(k∈{1,2,3})聯接到Gi的最后一個苯環Bi所得的多聯苯鏈記作Gn(i,k)。

為了得到多聯苯鏈的hyper-Wiene指標，先介紹幾個引理。

證明：對于任意的Gn(i,k)∈Ωn，由公式（2）可以得到：

由于

因此有：

由引理1，引理2和（2）式，易得下面引理：

引理3：WW(Gn(i,1))＜WW(Gn(i,2))＜WW(Gn(i,3))

現在，我們給出主要結果及其證明。

定理1：設n為任意正整數且Zn,Ln和Gn∈Ωn，則

(1)WW(Zn)≤WW(Gn)，等號成立當且僅當Gn=Zn。

(2)WW(Gn)≤WW(Ln)，等號成立當且僅當Gn=Ln。

證明：我們通過反證法證明定理1。

情況1.若ki=2,即，由 引 理 3,這與Gn具有最小hyper-Wiener指標矛盾，故Gn=Zn。

情況2.若ki=3，用證明情況1的方法類似可證。

(2)用類似（1）的方法可以證明WW(Gn)≤WW(Ln)。

［1］Bondy JA,Murty USR.Graph theory with applications［M］.New York:The Macmillan Press,1976.

［2］羅朝陽等.具有極值的Wiener和hyper-Wiener指標的六環螺鏈［J］.山東大學學報，2010，45（12）:16-21.

［3］X.Gu,B.Zhao,J.Tang,Polyphenyl Chains with Extremal Wiener Index［J］.新疆大學學報，2010，27（1）：32-36.

［4］X.Chen,B.Zhao,P.zhao,Six-membered ring spiro chains with extremal Merrifield-Simmons index and Hosoya index,MATH.Commun.Math.Comput.Chem.62(3)(2009)657-665.