質(zhì)數(shù)傳奇

陳重威

數(shù)學(xué)家的“帽子戲法”

假如你覺得身份證號(hào)碼、手機(jī)號(hào)碼太長(zhǎng)，記憶起來費(fèi)勁的話，那么今年初由美國(guó)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的最大質(zhì)數(shù)，會(huì)讓你更頭疼。該質(zhì)數(shù)一共有17425170位。這個(gè)1700多萬位的數(shù)字有多大呢？如果以每天寫12個(gè)小時(shí)，每秒1位的速度手寫，全部寫完需要一年多的時(shí)間。如果用普通的五號(hào)字將它連續(xù)打印下來，它的長(zhǎng)度可超過65千米。

經(jīng)過了四年的空檔期之后，數(shù)學(xué)家終于發(fā)現(xiàn)了這個(gè)新的，同時(shí)也是已知的最大的質(zhì)數(shù)。這一發(fā)現(xiàn)要?dú)w功于美國(guó)中央密蘇里大學(xué)的柯蒂斯·庫珀教授的工作，用足球迷的話來說，這位數(shù)學(xué)家也完成了“帽子戲法”，因?yàn)榍皟蓚€(gè)最大的質(zhì)數(shù)也是他發(fā)現(xiàn)的。

數(shù)海明珠

質(zhì)數(shù)，又叫素?cái)?shù)，指的是只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)的大于1的自然數(shù)。例如，2、3、5、7、11等都是質(zhì)數(shù)。因?yàn)樗鼈儾荒鼙怀薼和它本身之外的任何數(shù)整除。

質(zhì)數(shù)有無限個(gè)。人類在公元前300年的時(shí)候就知道了這～點(diǎn)，是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得首次證明了這一結(jié)論。此次發(fā)現(xiàn)的質(zhì)數(shù)，不僅是目前已知的最大的質(zhì)數(shù)，而且還是很少見的梅森質(zhì)數(shù)。所謂梅森質(zhì)數(shù)，是指能夠?qū)懗伞?^p-1”即2的P次方減l形式的質(zhì)數(shù)，其中的P也是質(zhì)數(shù)。以此次發(fā)現(xiàn)的最大質(zhì)數(shù)為例，它可以寫成2的57885161次方減1，其中57885161本身也是一個(gè)質(zhì)數(shù)。

這種特殊形式的質(zhì)數(shù)，具有獨(dú)特的性質(zhì)和無窮的魅力，千百年來一直吸引著包括費(fèi)馬、笛卡兒、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等眾多數(shù)學(xué)家和無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者對(duì)它進(jìn)行探究。其中17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林·梅森是成果較為卓著的一位，因此數(shù)學(xué)界將能夠?qū)懗伞?^p-1”形式的質(zhì)數(shù)稱為“梅森質(zhì)數(shù)”。迄今為止，人們僅發(fā)現(xiàn)了48個(gè)梅森質(zhì)數(shù)。例如，在從l到2的25964951次方減1之間的所有自然數(shù)中，有1622441個(gè)質(zhì)數(shù)，其中只有42個(gè)是梅森質(zhì)數(shù)。正因?yàn)槊飞|(zhì)數(shù)稀少而又迷人，所以被人們稱為“數(shù)海明珠”。

互聯(lián)網(wǎng)梅森質(zhì)數(shù)大搜索

雖然質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)有無窮多，但并沒有公式來產(chǎn)生這些數(shù)值，因此發(fā)現(xiàn)新的質(zhì)數(shù)需要大量的計(jì)算。雖然梅森質(zhì)數(shù)貌似簡(jiǎn)單，但當(dāng)指數(shù)P值較大時(shí)。其探究難度就會(huì)很大。特別值得一提的是，1772年，人稱“數(shù)學(xué)英雄”的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2的31次方減1，即2147483647是第8個(gè)梅森質(zhì)數(shù)。這個(gè)具有10位的質(zhì)數(shù)，堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大質(zhì)數(shù)。在整個(gè)“手算筆錄”的年代，人們僅找到12個(gè)梅森質(zhì)數(shù)。

為了加速梅森質(zhì)數(shù)探究的進(jìn)程，1996年初，一位美國(guó)數(shù)學(xué)家編制了一個(gè)尋找梅森質(zhì)數(shù)的計(jì)算機(jī)程序，并把它放到了互聯(lián)網(wǎng)上，供全球數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者免費(fèi)使用。它就是舉世聞名的“互聯(lián)網(wǎng)梅森質(zhì)數(shù)大搜索”項(xiàng)目。任何人都可以從www.mersenne.org網(wǎng)站上下載這一軟件，并利用自己的計(jì)算機(jī)來尋找更人的質(zhì)數(shù)。

目前，世界上共有180多個(gè)國(guó)家和地區(qū)，近27萬人參加了這一國(guó)際合作項(xiàng)目；該項(xiàng)目利用志愿者的電腦對(duì)每一個(gè)質(zhì)數(shù)候選值按順序進(jìn)行篩選，直到某個(gè)幸運(yùn)者發(fā)現(xiàn)新的質(zhì)數(shù)。迄今為止，該項(xiàng)目已找到了14個(gè)梅森質(zhì)數(shù)，其發(fā)現(xiàn)者來自美國(guó)、英國(guó)、法同、德國(guó)、挪威和加拿大。這次由庫珀領(lǐng)導(dǎo)的研究小組，在大約1000臺(tái)大學(xué)里的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行“互聯(lián)網(wǎng)梅森質(zhì)數(shù)大搜索”的軟件，每臺(tái)計(jì)算機(jī)都不j間斷地用了39天時(shí)間來證明這個(gè)有1700多萬位的數(shù)值是個(gè)梅森質(zhì)數(shù)。隨后，運(yùn)行其他不同軟件的高級(jí)計(jì)算機(jī)證實(shí)了他的發(fā)現(xiàn)。

梅森質(zhì)數(shù)有什么用

很多人都會(huì)問，費(fèi)這么大的勁尋找質(zhì)數(shù)，找到的質(zhì)數(shù)究竟有什么用呢？或許就其本身而言，質(zhì)數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)家并沒有什么價(jià)值，但它們因?yàn)殡y找而出了名。用一位美國(guó)科學(xué)家的話來說：“這有點(diǎn)像發(fā)現(xiàn)鉆石。出于某種原因人們認(rèn)為它就像鉆石，因此它們就有了價(jià)值。”事實(shí)上，搜尋梅森質(zhì)數(shù)并非一種神秘的消遣，也不是一場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)游戲；對(duì)它的探究直接推動(dòng)了人稱“數(shù)學(xué)皇后”的數(shù)論的研究。并促進(jìn)了計(jì)算技術(shù)、密碼技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、程序設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展。

人們都習(xí)慣地相信計(jì)算機(jī)運(yùn)算的結(jié)果一定是可靠的準(zhǔn)確無誤的，但很少有人知道科學(xué)家經(jīng)常在用梅森質(zhì)數(shù)來測(cè)試計(jì)算機(jī)硬件的運(yùn)算是否正確。既然梅森質(zhì)數(shù)如此難以尋找，因此也理所當(dāng)然地在加密技術(shù)中起著支撐作用，成為密碼專家編碼的“鑰匙”，用以編制那些關(guān)乎國(guó)家重要機(jī)密的密碼，或確保網(wǎng)上重大交易安全的密碼。

由于梅森質(zhì)數(shù)的探究需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，所以許多科學(xué)家認(rèn)為，梅森質(zhì)數(shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個(gè)國(guó)家的科技水平。一位英國(guó)頂尖科學(xué)家甚至認(rèn)為，梅森質(zhì)數(shù)的研究進(jìn)展標(biāo)志著科學(xué)發(fā)展的里程碑。

不是為了獎(jiǎng)金

為了激勵(lì)人們尋找梅森質(zhì)數(shù)和促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國(guó)的電子新領(lǐng)域基金會(huì)，于1999年設(shè)立了專項(xiàng)獎(jiǎng)金，懸賞參與“互聯(lián)網(wǎng)梅森質(zhì)數(shù)大搜索”項(xiàng)目的梅森質(zhì)數(shù)發(fā)現(xiàn)者。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過100萬位數(shù)的梅森質(zhì)數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)5萬美元。后面的獎(jiǎng)金依次為：超過1000萬位數(shù)，10萬美元；超過1億位數(shù)，15萬美元；超過10億位數(shù)，25萬美元。庫珀教授因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了這個(gè)最大的梅森質(zhì)數(shù)而獲得了3000美元的獎(jiǎng)金。不過，絕大多數(shù)人參與該項(xiàng)目并不足為了獎(jiǎng)金，而是出于好奇心、求知欲和榮譽(yù)感。”

歐拉的故事

在本文提到的著名數(shù)學(xué)家中，歐拉是一位了不起的英雄。1707年4月15日，歐拉出生于瑞士的巴塞爾，父親是一位鄉(xiāng)村窮牧師，一心想讓聰穎的歐拉學(xué)習(xí)神學(xué)，以承父業(yè)。而歐拉最喜愛的卻是數(shù)學(xué)。為了不使父親傷心，小歐拉經(jīng)常等到父親熟睡后，再偷偷地起來做數(shù)學(xué)題，或者在數(shù)學(xué)書外面套一張圣經(jīng)的書皮，以逃避父親的注意。

但父命難違。1720年，13歲的歐拉還是按照父親的意愿，考入了巴塞爾大學(xué)學(xué)神學(xué)。當(dāng)時(shí)，杰出的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家伯努里正在該校執(zhí)教。他的講課旁征博引、生動(dòng)風(fēng)趣、極富魅力，吸引了許多外系學(xué)生來旁聽。歐拉便是其中最忠實(shí)的一個(gè)。有一次，伯努里教授在講課時(shí)，無意中提到一個(gè)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家還沒能解決的難題。沒有想到，這個(gè)13歲的孩子課后交來了一份關(guān)于該難題的解答，盡管還有不嚴(yán)謹(jǐn)之處，但構(gòu)思非常精巧，論述恢宏大氣。伯努里教授非常驚喜，當(dāng)即決定，每星期在家里單獨(dú)為歐拉授課一次。

1723年，16歲的歐拉成了這所古老的大學(xué)有史以來最年輕的碩士。但父親執(zhí)意要?dú)W拉放棄數(shù)學(xué)，把精力用在神學(xué)上。在這決定人生方向的關(guān)鍵時(shí)刻，伯努里教授動(dòng)情地對(duì)固執(zhí)的父親說：“親愛的神甫，您知道我遇到過不少才氣洋溢的青年，但是要和您的兒子相比，他們都相形見絀。假如我的眼力不錯(cuò)，他無疑是瑞士未來最了不起的數(shù)學(xué)家。為了數(shù)學(xué)，為了孩子，我請(qǐng)求您重新考慮您的決定。”父親被打動(dòng)了。從此，歐拉和數(shù)學(xué)終身相伴。