橢圓曲線的Bézier多項式逼近

王 珺

（巢湖學院數學系，安徽 巢湖 238000）

引言

橢圓曲線是一種在繪圖、機械加工中常用的圓錐曲線.因為CAD/CAM系統只能處理有理多項式或多項式曲線，所以橢圓曲線在該系統中無法精確表示.因此對橢圓進行有理逼近就顯得十分重要。文獻[1-3]用低次的Bézier曲線逼近圓弧，文獻[4]利用在最小二乘法范數下所定義的距離函數取最小值來得到圓弧的Bézier多項式曲線。本文給出了橢圓曲線的Bézier多項式逼近，首先利用Tchbyshev多項式去逼近橢圓，再利用Tchebyshev基與Bernstein基的基轉換公式得到橢圓的n次Bézier多項式逼近。該算法同樣適合圓弧的逼近。

1 橢圓曲線的Bézier多項式逼近及其逼近的誤差函數

1.1 預備知識

中心在坐標原點，主軸為x軸方向的橢圓，其標準形式為：

其中，θ為參數，a和b分別表示橢圓的長、短軸的長度。非標準形式的橢圓曲線都可通過仿射變換轉化為標準形式。因此，本文只考慮標準形式的橢圓曲線的Bézier多項式逼近。

引理 1[5]如果函數 f（x）在區間［-1， 1］上連續；f′（x）在區間［-1， 1］上分段連續，則 f（x）在［-1，1］上可展開為一致收斂的Tchebyshev級數，其形式為：

其中， Ti（x）=cos（iarccosx）為第一類 Tchebyshev 多項式。

引理 2[6]Tchebyshev 基轉化成 Bernstein 基的基轉化矩陣為 M：｛Mij｝，i，j=1，2，…，n 其中

1.2 橢圓曲線的Bézier多項式逼近

對（1）式作參數變換 θ=α+（β-α）t，則當 θ∈［α，β］ 時，t∈［0，1］，式（1）變為：

下面先討論 x（t）的逼近。

尋求一個 n（n＞3）次多項式

逼近 x（t），并且滿足插值條件：

根據引理，將自變量區間［-1，1］變到區間［0，1］，可以對x=（t）分別進行 Tchebyshev 展開：

其中：

由引理2可得：

綜上所述，得到插值C（t）首、末端點的n次Bézier多項式逼近：

1.3 圓弧逼近的誤差函數

定義1 橢圓曲線的Bézier多項式逼近的誤差函數為：

2 實例

圖1 橢圓的9次Bézier多項式逼近曲線， ε=6.31×10-4

圖2 橢圓的 12次 Bézier多項式逼近曲線，ε=7.39×10-7

結論

本文提出的逼近橢圓的方法，可以用任意次數的Bézier多項式去近似的表示橢圓，而且可以插值橢圓的首末端點。通過例1可以看出用這種方法逼近橢圓，逼近誤差小，逼近效果較好。

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