基于達(dá)朗貝爾解法的一維有界弦振動(dòng)方程的求解

葉 松 王向賢 余建立

（巢湖學(xué)院電子工程與電氣自動(dòng)化學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

弦振動(dòng)方程有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。求解一維弦振動(dòng)方程得到斜拉橋鋼索的應(yīng)力與固有頻率的函數(shù)關(guān)系，對(duì)評(píng)估斜拉橋梁承載能力和安全系數(shù)是有利的；基于弦振動(dòng)方程建立弦線密度與固有頻率的函數(shù)關(guān)系，可以應(yīng)用到弦線密度測(cè)量[1-4]。描述固有頻率與各物理量關(guān)系的理想化方程是弦振動(dòng)方程。

無界弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法的物理思想是將弦振動(dòng)視作一定初值條件下的兩列行波的疊加。達(dá)朗貝爾解法是應(yīng)用物理思想指導(dǎo)在數(shù)學(xué)物理方程求解的典型案例。但是對(duì)有界弦振動(dòng)方程，目前國內(nèi)流行的相關(guān)教材均采用分離變量法求解，其解表示不同頻率簡諧波的疊加。物理上，聯(lián)系達(dá)朗貝爾解法和分離變量法的紐帶是波的疊加原理。因此利用達(dá)朗貝爾解法的物理思想推導(dǎo)出弦振動(dòng)方程的解是可行的。而目前使用較為廣泛的幾本數(shù)學(xué)物理方法的教材均沒有對(duì)該方法的論述[5，6]。本文基于達(dá)朗貝爾解法的基本思想，分析狄利克雷邊界條件和諾依曼邊界條件時(shí)的弦振動(dòng)方程解的特征，得到弦振動(dòng)方程的傅立葉級(jí)數(shù)解。本文的解法拓寬了達(dá)朗貝爾解法的應(yīng)用，對(duì)加深分離變量解法的理解有一定的意義，一定程度上豐富了工程數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。

1 兩端固定的有界弦振動(dòng)方程達(dá)朗貝爾解法

兩端固定的有界弦振動(dòng)方程為：

考慮泛定方程行波形式的通解：

為得到滿足定解條件的解的表達(dá)式，應(yīng)用邊界條件（2）：

（5）和（6）式等價(jià)于：

或

因此，狄利克雷邊界條件的解是以2l為周期的函數(shù)：

所以，u（x，t）是 x 自變量以 2l為周期的奇函數(shù)。因此u（x，t）可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示：

將（11）式帶入（1）式，得到：

因此方程（1-3）的解為：

其中：

2 兩端自由的有界弦振動(dòng)方程達(dá)朗貝爾解法

兩端自由的有界弦振動(dòng)方程為：

與兩端固定的弦振動(dòng)的分析相似，并注意到周期函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是同周期的函數(shù)和奇 （偶）函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是偶（奇）函數(shù)，可以證明：

因此 u（x，t）可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示：

同上討論，解的形式為：

其中：

3 一端自由一端固定的有界弦振動(dòng)方程達(dá)朗貝爾解法

一端自由一端固定的有界弦振動(dòng)方程為：

設(shè)方程（1）的解為：

其對(duì)x的一階偏導(dǎo)數(shù)為：

由方程 （3）″得：

（21）和（22）式等價(jià)于：

（28-29）式說明 ux（x，t）是 x 自變量的周期偶函數(shù)，其傅立葉級(jí)數(shù)形式為：

因此，方程的解為：

其中：

4 結(jié)論

本文運(yùn)用達(dá)朗貝爾解法的物理思想得到了在工程中有實(shí)際意義的三種邊界條件下的弦振動(dòng)方程的解。本文的解法拓寬了達(dá)朗貝爾解法的應(yīng)用，對(duì)理解分離變量解法有一定的幫助，豐富了工程數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。

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