全帶隙六邊形晶格二維光子晶體結構研究*

陳 眾，谷磊磊，柏寧豐，孫小菡

(東南大學電子科學與工程學院光子學與光通信研究室，南京210096)

1987 年Yablonovitch 和John 分別在討論周期性電介質結構對材料中光傳播行為的影響時，各自獨立地提出了“光子晶體”這一新概念［1－2］。從被提出的那一刻起，光子晶體就備受人們關注，20 年來在理論與應用中都有很大的發展。

近些年來，對其控制光傳輸能力的研究已成為熱點。光子晶體的介質周期性結構會產生“光子帶隙”(Photonic Band Gap)，任何頻率的光將無法在帶隙內傳輸［3］。光子晶體的廣泛應用主要集中在在高效率濾波，全光邏輯器件，高效率激光器，慢光緩存和光子晶體波導耦合等方面，這些研究都是基于光子晶體帶隙的。

一般來說，帶隙越大，光子晶體越穩定，越容易制作，其應用價值也就越高。因此，人們一直關注著如何通過設計光子晶體結構來獲得更好的帶隙特性。三維光子晶體具有更好的光子帶隙特性，但是計算復雜度太高，而制作問題對人們來說也是個困擾.相比之下二維光子晶體因其制作相對簡單，又存在著眾多的應用，所以一直受到人們的廣泛關注。

常見的二維光子晶體有空氣孔型和介質柱型兩種常見類型，其介質柱或空氣孔的形狀有圓形，四方形等，常見的晶格結構有正方形晶格以及六邊形晶格等。M.Qiu 在文獻［4］中指出，在正方形晶格中加入波導連接能夠使其產生較大的全帶隙。隨后，Chau等人則進行了更進一步的研究，并得到了較好的全帶隙帶寬［5－7］。Sedghi 等人的研究工作發現，相比于正方形晶格，采用六邊晶格更容易產生全帶隙特性［8］。

本文基于六邊形晶格結構，通過引入波導和中心空氣柱的方法，使用平面波展開法仿真其全帶隙特性，并且得到了較好的結果。

1 數值計算結果和討論

我們選用半導體材料GaAs 作為六邊晶格的介質，其折射率n 為3.4，并且有成熟的刻蝕工藝，容易制作;在介質的周圍采用折射率近似為1 的空氣作為的填充介質(在本文中以下的晶格結構圖示中，黑色部分代表GaAs，白色部分代表空氣);由于我們仿真的目標是全帶隙的寬度，根據光子晶體的標度不變性，可以固定晶格常數a=1 μm。

普通二維六邊形晶格結構如圖1 所示，因為晶格常數固定，所以該結構只有一個基本參量:半徑R。當R 改變，使其從0.1a ～0.3a 連續變化時，能夠得到帶隙仿真圖示圖2，從圖中可以看出，當半徑R 從0.1a 變化到0.3a 時，雖然TE/TM 分別在一定的頻率范圍內存在著較寬的帶隙，但是二者沒有頻率重合部分，也就是不存在全帶隙;所以普通的二維六邊形晶格結構是不能產生全帶隙現象的。

圖1 普通二維六邊晶格結構示意圖

圖2 改變R 時帶隙寬度的變化

在低頻領域，根據二維光子晶體禁帶存在的經驗法則E 偏振波(TE 模)禁帶的存在要求高介電材料在結構中分布較集中，而H 偏振波(TM 模)禁帶的存在則要求高介電材料呈網帶連通［9］。而我們所期望的絕對禁帶是TE 模禁帶和TM 模禁帶的重疊區域，基于這一理論，我們嘗試在普通二維六邊形晶格結構的基礎上添加連接線，這樣不僅提高了高介電材料在結構中的集中分布，而且連通了高介電材料。在全帶隙的研究中，引入空氣柱缺陷也是常用的一種［10］。因此，在六邊形的頂點上引入了圓形空氣柱作為缺陷，構建了如圖3 所示的新結構，并取名為“封槽缺陷結構”。

圖3 封槽缺陷結構

在這一結構中存在著三個基本參量:外半徑R，連接波導的寬度w 和內半徑r。按常規的優化方法，首先R=0.3a，w=0.0435a，然后改變內半徑r 的值從0.02a 變化到0.3a，得到的仿真結果如圖4 所示。在圖中，r 在兩個范圍內出現了全帶隙，分別為0.02a ～0.051a 和0.154a ～0.234a，在前一段范圍內，r 很小，連接波導的寬度對新結構的影響占主要部分，因此在新結構中0.154a ～0.234a 才是r 的作用顯現的范圍。

圖4 r 對全帶隙的影響

當r=0.187a 時，全帶隙帶寬最大，此時絕對禁帶寬度Δω 為0.060 8ωe，中心頻率ωmid為0.665 9ωe，相對禁帶寬度為Δω/ωmid=9.1%;之后取R=0.3a，r=0.187a，改變w 的大小，來研究波導寬度w 在新結構中的作用，從仿真結果圖5(a)中，可以看到:當w=0.044 6a 時，全帶隙帶寬最大為0.0619ωe;最后取r=0.187a，w=0.044 6a，改變外半徑R 從r 到0.4a 進行仿真，同樣在圖5(b)所示的結果上，可以看出:當R=0.3a 時，全帶隙帶寬最大，Δω 為0.619ωe。

從圖5 能夠看到:在封槽缺陷結構中，當R=0.275a ～0.4a，w=0.029a ～0.071a 時能夠產生全帶隙現象。在封槽缺陷結構中，當R=0.3a，w=0.044 6a，r=0.187a 時，全帶隙帶寬最大，從圖6 帶隙圖中可以看到，此時絕對禁帶寬度Δω 為0.619ωe，禁帶中心頻率ωmid為0.663ωe，相對禁帶寬度為Δω/ωmid=9.3%。

圖5

圖6 R=0.316a，w=0.043 5a，r=0.187a 時的帶隙圖

2 結論

綜上所述，本文利用平面波展開法計算了基于六邊形結構的全帶隙光子晶體，通過參數優化，本文所提封槽型結構存在全帶隙。該結構在波導的基礎上引入圓形空氣柱，最大的絕對禁帶寬度Δω 為0.061 9ωe，禁帶中心頻率ωmid為0.663ωe，相對禁帶寬度為Δω/ωmid=9.3%。其絕對禁帶寬度在0.05ωe以上，相對禁帶在8%以上，禁帶變化連續，并且結構比較簡單。較寬的波導寬度w 就意味著減輕了在實用過程中加工制作的難度，為實際制作二維全帶隙結果提供了理論依據。

［1］ Yablonovitch E.Inhibited Spontaneous Emission in Solid－State Physics and Electronics［J］.Phys Rev Lett，1987，58(2):2059－2062.

［2］ Yablonovitch E. Photonic Band－Gap Structures［J］. J Opt Phys，1993，10(2):283－295.

［3］ Joannopoulos J D，Meade R D，Winn J N.Photonic Crystals［M］.Princeton University Press，1995.

［4］ Qiu M，He S. Optimal Design of a Two－Dimensional Photonic Crystal of Square Lattice with a Large Complete Two－Dimensional Bandgap［J］.J Opt Soc Am B，2000，17(6):1027－1030.

［5］ Chau Yuanfong，Wu Fonglin. Evolution of the Complete Photonic Bandgap of Two－Dimensional Photonic Crystal［J］.Optics Express，2011，6(19):4862－4867.

［6］ Chau Hong－Fa，Chau Yuan－Fong，Yeh Hsiao－Yu，et al. Complete Bandgap Arising from the Effects of Hollow，Veins，and Intersecting Veins in a Square Lattice of Square Dielectric Rods Photonic Crystal［J］.Appl Phys Lett，2011，98，263115:1－2.

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［8］ Sedghi A A，Kalafi M，Soltani Vala A，et al.The Influence of Shape and Orientation of Scatterers on the Photonic Band Gap in 2D Metallic Photonic Crystals［J］.Optics Communications，2010，283:2356－2362.

［9］ Qui?ónez F，Menezes J W，Cescato L，et al.Band Gap of Hexagonal 2D Photonic Crystals with Elliptical Holes Recorded by Interference Lithography［J］.Optics Express，2006，11(14):4873－4879.

［10］ Liu W L，Yuang T J. Photonic Band Gaps in a Two Dimensional Photonic Crystal with Open Veins［J］.Solid State Commun，2006，140(3－4):144－148.